Раздвоение Хопфа - Hopf bifurcation

Комплексные собственные значения произвольного отображения (точки). В случае бифуркации Хопфа два комплексно сопряженных собственных значения пересекают мнимую ось.

В математической теории бифуркаций , Хопф раздвоение является критической точкой , где стабильность способности системы переключается и периодическое решение возникает. Более точно, это локальная бифуркацией , в котором фиксированная точка из динамической системы теряет устойчивость, как пара комплексно сопряженных собственных значений -of на линеаризации вокруг неподвижной точки, пересекает комплексную плоскость мнимой оси. При достаточно общих предположениях о динамической системе предельный цикл малой амплитуды разветвляется от фиксированной точки.

Бифуркация Хопфа также известна как бифуркация Пуанкаре – Андронова – Хопфа , названная в честь Анри Пуанкаре , Александра Андронова и Эберхарда Хопфа .

Обзор

Сверхкритические и подкритические бифуркации Хопфа

Динамика бифуркации Хопфа вблизи . Возможные траектории показаны красным цветом, устойчивые структуры - синим, а неустойчивые структуры - голубым пунктиром. Сверхкритическая бифуркация Хопфа: 1a) устойчивая неподвижная точка 1b) неустойчивая неподвижная точка, устойчивый предельный цикл 1c) динамика фазового пространства. Докритическая бифуркация Хопфа: 2a) устойчивая неподвижная точка, неустойчивый предельный цикл 2b) нестабильная неподвижная точка 2c) динамика фазового пространства. определяет угловую динамику и, следовательно, направление намотки траекторий.${\ displaystyle \ lambda = 0}$${\ displaystyle \ omega}$

Предельный цикл орбитально устойчив, если определенная величина, называемая первым коэффициентом Ляпунова, отрицательна, а бифуркация является сверхкритической. В противном случае он нестабилен, а бифуркация подкритична.

Нормальная форма бифуркации Хопфа:

${\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + b | z | ^ {2}),}$где z ,  b являются комплексными, а λ - параметром.

Напишите: Число α называется первым коэффициентом Ляпунова . ${\ Displaystyle б = \ альфа + я \ бета. \,}$

• Если α отрицательно, то существует устойчивый предельный цикл при λ  > 0:

${\ Displaystyle г (т) = ре ^ {я \ омега т} \,}$

куда

${\ displaystyle r = {\ sqrt {- \ lambda / \ alpha}} {\ text {and}} \ omega = 1 + \ beta r ^ {2}. \,}$

В таком случае бифуркация называется сверхкритической.

• Если α положительно, то существует неустойчивый предельный цикл при λ  <0. Бифуркация называется докритической.

Пример

Бифуркация Хопфа в системе Селькова (см. Статью). При изменении параметров предельный цикл (отмечен синим цветом) выходит из устойчивого равновесия.

Хопфа бифуркации происходят в модели Лотки-Вольтерра от взаимодействия хищник-жертва (известный как парадокс обогащения ), в модели Ходжкина-Хаксли для нерва мембранного потенциала, модель Селькова из гликолиза , то реакция Белоусова-Жаботинского , то аттрактор Лоренца , то Брюсселятор и классический электромагнетизм .

Модель Селькова - это

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = - x + ay + x ^ {2} y, ~~ {\ frac {dy} {dt}} = b-ay-x ^ {2} y. }$

Справа показан фазовый портрет, иллюстрирующий бифуркацию Хопфа в модели Селькова.

В системах железнодорожного транспорта особенно важен анализ бифуркаций Хопфа. Обычно устойчивое движение железнодорожного подвижного состава на низких скоростях переходит в неустойчивое движение на высоких скоростях. Одной из целей нелинейного анализа этих систем является выполнение аналитического исследования бифуркации, нелинейной поперечной устойчивости и поведения рельсовых транспортных средств на касательной дороге с использованием метода Боголюбова.

Определение бифуркации Хопфа

Возникновение или исчезновение периодической орбиты из-за локального изменения свойств устойчивости неподвижной точки известно как бифуркация Хопфа. Следующая теорема работает для неподвижных точек с одной парой сопряженных ненулевых чисто мнимых собственных значений . Он сообщает условия, при которых происходит это явление бифуркации.

Теорема (см. Раздел 11.2). Позвольте быть якобианом непрерывной параметрической динамической системы, вычисленной в устойчивой точке . Предположим, что все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, кроме одной сопряженной ненулевой чисто мнимой пары . Хопфа возникает тогда , когда эти два собственных пересекают мнимую ось из - за изменениями параметров системы. ${\ displaystyle J_ {0}}$${\ displaystyle Z_ {e}}$${\ displaystyle J_ {0}}$${\ displaystyle \ pm я \ бета}$

Критерий Рауса-Гурвица

Критерий Рауса – Гурвица (раздел I.13) дает необходимые условия для возникновения бифуркации Хопфа. Посмотрим, как можно конкретно использовать эту идею.

Серия Штурм

Пусть - ряд Штурма, связанный с характеристическим многочленом . Их можно записать в виде: ${\ displaystyle p_ {0}, ~ p_ {1}, ~ \ dots ~, ~ p_ {k}}$ ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle p_ {i} (\ mu) = c_ {i, 0} \ mu ^ {ki} + c_ {i, 1} \ mu ^ {ki-2} + c_ {i, 2} \ mu ^ { ки-4} + \ cdots}$

Коэффициенты для in соответствуют так называемым определителям Гурвица . Их определение связано с ассоциированной матрицей Гурвица . ${\ displaystyle c_ {я, 0}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ {1, ~ \ точки ~, ~ к \}}$

Предложения

Предложение 1 . Если все детерминанты Гурвица положительны, возможно, тогда ассоциированный якобиан не имеет чисто мнимых собственных значений. ${\ displaystyle c_ {я, 0}}$${\ displaystyle c_ {k, 0}}$

Предложение 2 . Если все детерминанты Гурвица (для всех в положительны, и тогда все собственные значения ассоциированного якобиана имеют отрицательные действительные части, за исключением чисто мнимой сопряженной пары. ${\ displaystyle c_ {я, 0}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ {0, ~ \ точки ~, ~ k-2 \}}$${\ displaystyle c_ {k-1,0} = 0}$${\ displaystyle c_ {k-2,1} <0}$

Это последнее предложение дает условия, которые мы ищем для возникновения бифуркации Хопфа (см. Теорему выше) для параметрической непрерывной динамической системы.

Пример

Рассмотрим классический осциллятор Ван-дер-Поля, записанный с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dfrac {dx} {dt}} = \ mu (1-y ^ {2}) xy, \\ {\ dfrac {dy} {dt }} = x. \ end {array}} \ right.}$

Матрица Якоби, ассоциированная с этой системой, выглядит следующим образом:

${\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} - \ mu (-1 + y ^ {2}) & - 2 \ mu yx-1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Характеристический полином (in ) линеаризации в точке (0,0) равен: ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle P (\ lambda) = \ lambda ^ {2} - \ mu \ lambda +1.}$

Коэффициенты: Соответствующий ряд Штурма : ${\ displaystyle a_ {0} = 1, a_ {1} = - \ mu, a_ {2} = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} p_ {0} (\ lambda) = a_ {0} \ lambda ^ {2} -a_ {2} \\ p_ {1} (\ lambda) = a_ {1 } \ lambda \ end {массив}}}$

В Sturm полиномы можно записать в виде (здесь ): ${\ Displaystyle я = 0,1}$

${\ displaystyle p_ {i} (\ mu) = c_ {i, 0} \ mu ^ {ki} + c_ {i, 1} \ mu ^ {ki-2} + c_ {i, 2} \ mu ^ { ки-4} + \ cdots}$

Вышеупомянутое предложение 2 говорит, что нужно иметь:

${\ displaystyle c_ {0,0} = 1> 0, c_ {1,0} = - \ mu = 0, c_ {0,1} = - 1 <0.}$

Поскольку 1> 0 и −1 <0 очевидны, можно сделать вывод, что бифуркация Хопфа может произойти для осциллятора Ван-дер-Поля, если . ${\ displaystyle \ mu = 0}$

Смотрите также

• Реакционно-диффузионные системы

использованная литература

дальнейшее чтение

• Guckenheimer, J .; Myers, M .; Штурмфельс, Б. (1997). "Вычисление бифуркаций Хопфа I". Журнал СИАМ по численному анализу . 34 (1): 1-21. CiteSeerX  10.1.1.52.1609 . DOI : 10.1137 / S0036142993253461 .
• Hale, J .; Кочак, Х. (1991). Динамика и бифуркации . Тексты по прикладной математике. 3 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
• Хассард, Брайан Д .; Казаринов, Николай Д .; Ван, Йе-Хей (1981). Теория и приложения бифуркации Хопфа . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-23158-2.
• Кузнецов, Юрий А. (2004). Элементы прикладной теории бифуркаций (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21906-6.
• Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-7382-0453-6.

внешние ссылки

• Бифуркация Хопфа
• Страница бифуркации Андронова – Хопфа в Scholarpedia