Гипотеза Герцога – Шёнхейма - Herzog–Schönheim conjecture

В математике , то гипотеза Herzog-Schönheim является комбинаторной задачей в области теории групп , которую Марсель Херцог и Йоханан Schönheim в 1974 году.

Позвольте быть группой , и пусть ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle A = \ {a_ {1} G_ {1}, \ \ ldots, \ a_ {k} G_ {k} \}}$

конечная система левых смежных классов по подгруппам из . ${\ Displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {k}}$${\ displaystyle G}$

Herzog и Schönheim предположили , что если образует перегородку из с , то (конечным) индексы не могут быть различны. Напротив, если разрешены повторяющиеся индексы, то разделить группу на смежные классы легко: если есть любая подгруппа с индексом, то ее можно разделить на левые смежные классы . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k> 1}$${\ Displaystyle [G: G_ {1}], \ ldots, [G: G_ {k}]}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle к = [G: H] <\ infty}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H}$

Субнормальные подгруппы

В 2004 году Чжи-Вэй Сунь доказал расширенную версию гипотезы Герцога – Шёнхейма в случае, когда являются субнормальными в . Основная лемма в доказательстве Сана утверждает, что если они субнормальны и имеют конечный индекс in , то ${\ Displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {k}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {k}}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ bigg [} G: \ bigcap _ {i = 1} ^ {k} G_ {i} {\ bigg]} \ {\ bigg |} \ \ prod _ {i = 1} ^ {k} [G: G_ {i}]}$

и, следовательно

${\ displaystyle P {\ bigg (} {\ bigg [} G: \ bigcap _ {i = 1} ^ {k} G_ {i} {\ bigg]} \ {\ bigg)} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {k} P ([G: G_ {i}]),}$

где обозначает множество простых делителей числа . ${\ Displaystyle P (п)}$ ${\ displaystyle n}$

Теорема Мирского – Ньюмана.

Когда - аддитивная группа целых чисел, смежные классы - это арифметические прогрессии . В этом случае гипотеза Герцога-Шёнхейма утверждает, что каждая покрывающая система , семейство арифметических прогрессий, которые вместе покрывают все целые числа, должна либо покрывать некоторые целые числа более одного раза, либо включать по крайней мере одну пару прогрессий, которые имеют такую ​​же разницу, как и каждая. Другой. Этот результат был предположен в 1950 году Полом Эрдёшем и вскоре после этого доказан Леоном Мирски и Дональдом Дж. Ньюманом . Однако Мирский и Ньюман так и не опубликовали свое доказательство. Такое же доказательство было независимо найдено Гарольдом Давенпортом и Ричардом Радо . ${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle G}$

В 1970 году на советской математической олимпиаде была поставлена ​​задача геометрической раскраски, эквивалентная теореме Мирского – Ньюмана: предположим, что вершины правильного многоугольника раскрашены таким образом, что каждый цветовой класс сам образует вершины правильного многоугольника. Тогда существуют два класса цветов, которые образуют конгруэнтные многоугольники.

использованная литература