Эрмитов вейвлет - Hermitian wavelet

Эрмитовые вейвлеты - это семейство непрерывных вейвлетов , используемых в непрерывном вейвлет-преобразовании . Эрмитова вейвлет определяются как производная распределения Гаусса : ${\ Displaystyle п ^ {\ textrm {th}}}$${\ Displaystyle п ^ {\ textrm {th}}}$

${\ displaystyle \ Psi _ {n} (t) = (2n) ^ {- {\ frac {n} {2}}} c_ {n} He_ {n} \ left (t \ right) e ^ {- { \ frac {1} {2n}} т ^ {2}}}$

где обозначает полином Эрмита . ${\ Displaystyle He_ {п} \ влево ({х} \ вправо)}$${\ Displaystyle п ^ {\ textrm {th}}}$

Коэффициент нормализации определяется как: ${\ displaystyle c_ {n}}$

${\ displaystyle c_ {n} = \ left (n ^ {{\ frac {1} {2}} - n} \ Gamma (n + {\ frac {1} {2}}) \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ left (n ^ {{\ frac {1} {2}} - n} {\ sqrt {\ pi}} 2 ^ {- n} (2n-1) !! \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ quad n \ in \ mathbb {Z}.}$

Предварительный фактор в разрешающей способности идентичности непрерывного вейвлет-преобразования для этого вейвлета определяется выражением: ${\ Displaystyle C _ {\ Psi}}$

${\ Displaystyle С _ {\ Psi} = {\ гидроразрыва {4 \ pi n} {2n-1}}}$

т.е. эрмитовы всплески допустимы для всего положительного . ${\ displaystyle n}$

В компьютерном зрении и обработке изображений производные по Гауссу операторы различного порядка часто используются в качестве основы для выражения различных типов визуальных операций; см. масштаб пространства и N-струи .

Примеры эрмитовых вейвлетов: начиная с функции Гаусса с : ${\ Displaystyle \ му = 0, \ sigma = 1}$

${\ Displaystyle е (т) = \ пи ^ {- 1/4} е ^ {(- т ^ {2} / 2)}}$

первые 3 производные читаются

${\ displaystyle {\ begin {align} f '(t) & = - \ pi ^ {- 1/4} te ^ {(- t ^ {2} / 2)} \\ f' '(t) & = \ pi ^ {- 1/4} (t ^ {2} -1) e ^ {(- t ^ {2} / 2)} \\ f ^ {(3)} (t) & = \ pi ^ { -1/4} (3t-t ^ {3}) e ^ {(- t ^ {2} / 2)} \ конец {выровнено}}}$

и их нормы${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle || f '|| = {\ sqrt {2}} / 2, || f' '|| = {\ sqrt {3}} / 2, || f ^ {(3)} || = {\ sqrt {30}} / 4}$

Итак, вейвлеты, которые являются отрицательными нормализованными производными:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Psi _ {1} (t) & = {\ sqrt {2}} \ pi ^ {- 1/4} te ^ {(- t ^ {2} / 2)} \\\ Psi _ {2} (t) & = {\ frac {2} {3}} {\ sqrt {3}} \ pi ^ {- 1/4} (1-t ^ {2}) e ​​^ {(-t ^ {2} / 2)} \\\ Psi _ {3} (t) & = {\ frac {2} {15}} {\ sqrt {30}} \ pi ^ {- 1/4 } (t ^ {3} -3t) e ^ {(- t ^ {2} / 2)} \ end {align}}}$