Теорема Гордона – Люке - Gordon–Luecke theorem

В математике , то теорема Гордон-Luecke на узел комплементы утверждает , что если комплементы двух ручных узлов гомеоморфны, то узлы эквивалентны. В частности, любой гомеоморфизм между дополнительными узлами должен переводить меридиан в меридиан.

Теорема обычно формулируется как «узлы определяются своими дополнениями»; однако это немного неоднозначно, поскольку он считает два узла эквивалентными, если существует самогомеоморфизм, переводящий один узел в другой. Таким образом, зеркальное отображение игнорируется. Часто два узла считаются эквивалентными, если они изотопны . Правильная версия в этом случае состоит в том, что если два узла имеют дополнения, которые сохраняют ориентацию, гомеоморфны, то они изотопны.

Эти результаты вытекают из следующего (также называемого теоремой Гордона – Люке): никакая нетривиальная перестройка Дена на нетривиальном узле в 3-сфере не может дать 3-сферу .

Теорема была доказана Кэмероном Гордоном и Джоном Люке . Существенными составляющими доказательства являются их совместная работа с Марком Каллером и Питером Шеленом над теоремой о циклической хирургии , комбинаторными методами в стиле Литерленда, тонкой позицией и циклами Шарлемана .

Что касается дополнений ссылок, на самом деле неверно, что ссылки определяются их дополнениями. Например, Дж. Х. К. Уайтхед доказал, что существует бесконечно много зацеплений, все дополнения которых гомеоморфны зацеплению Уайтхеда . Его конструкция заключается в том, чтобы скручивать диск, охватывающий неузлованный компонент (как в случае любого компонента связи Уайтхеда). Другой метод заключается в скручивании кольцевого пространства, охватывающего два компонента. Гордон доказал, что для класса зацеплений, где эти две конструкции невозможны, существует конечное число зацеплений в этом классе с заданным дополнением.

Рекомендации

• Кэмерон Гордон и Джон Люке, Узлы определяются их дополнениями . J. Amer. Математика. Soc. 2 (1989), нет. 2, 371–415.
• Кэмерон Гордон, Ссылки и их дополнения. Топология и геометрия: память SISTAG, 71–82, Contemp. Матем., 314, амер. Математика. Soc., Providence, RI, 2002.