Среднее геометрическое - гармоническое - Geometric–harmonic mean
В математике , то геометрические гармоническое среднее М ( х , у ) два положительных действительных чисел х и у определяются следующим образом : мы формируем среднее геометрическое из г 0 = х и ч 0 = у и назову его г 1 , т.е. г 1 - квадратный корень из ху . Мы также образуют гармоническое среднее по х и у и называть его ч 1 , т.е. час 1 является обратная из среднего арифметического из обратных х и у . Это можно делать последовательно (в любом порядке) или одновременно.
Теперь мы можем повторить эту операцию с g 1 вместо x и h 1 вместо y . Таким образом определяются две взаимозависимые последовательности ( g n ) и ( h n ):
а также
Обе эти последовательности сходятся к одному и тому же числу, которое мы называем геометрическим гармоническим средним M ( x , y ) x и y . Среднее геометрическое гармоническое также обозначается как среднее геометрическое гармоническое . (см. ниже Wolfram MathWorld.)
Существование предела можно доказать с помощью теоремы Больцано – Вейерштрасса способом, почти идентичным доказательству существования среднего арифметико-геометрического .
Характеристики
M ( x , y ) - число между геометрическим и гармоническим средним значений x и y ; в частности, он находится между x и y . M ( x , y ) также однородно , т.е. если r > 0, то M ( rx , ry ) = r M ( x , y ).
Если AG ( x , y ) - среднее арифметико-геометрическое , то мы также имеем
Неравенства
У нас есть следующее неравенство, включающее пифагоровы средние { H , G , A } и повторяющиеся пифагоровы средние { HG , HA , GA }:
где повторяющиеся средние Пифагора были отождествлены с их частями { H , G , A } в последовательном порядке:
- H ( x , y ) - среднее гармоническое,
- HG ( x , y ) - среднее геометрическое,
- G ( x , y ) = HA ( x , y ) - среднее геометрическое (которое также является средним гармоническим арифметическим),
- GA ( x , y ) - среднее геометрическое арифметическое,
- A ( x , y ) - среднее арифметическое.