Операции с нечетким множеством - Fuzzy set operations

Нечеткое множество операция представляет собой операцию на нечетких множествах . Эти операции являются обобщением операций четкого множества . Есть несколько возможных обобщений. Наиболее широко используемые операции называются стандартными операциями нечеткого множества . Есть три операции: нечеткие дополнения , нечеткие пересечения и нечеткие объединения .

Стандартные операции с нечеткими множествами

Пусть A и B - нечеткие множества, причем A, B ⊆ U, u - любой элемент (например, значение) во вселенной U: u ∈ U.

Стандартное дополнение

Дополнение иногда обозначается ∁ А или А ∁ вместо ¬ А.

Стандартный перекресток
Стандартный союз

В общем, тройка (i, u, n) называется триплетом Де Моргана тогда и только тогда, когда

так что для всех x , y ∈ [0, 1] выполняется следующее:

и ( х , у ) = п ( я ( п ( х ), п ( у )))

(обобщенное соотношение Де Моргана). Это подразумевает аксиомы, подробно изложенные ниже.

Нечеткие дополнения

μ ( х ) определяется как степень , в которой х принадлежит A . Пусть ∁A обозначает нечеткое дополнение к A типа c . Тогда μ ∁A ( х ) является степень , в которой х принадлежит ∁A , и степень , в которой х не принадлежит A . ( μ A ( x ) - это степень, в которой x не принадлежит A. ) Пусть дополнение ∁ A определяется функцией

c  : [0,1] → [0,1]
Для всех x ∈ U : μ ∁A ( x ) = c ( μ A ( x ))

Аксиомы для нечетких дополнений

Аксиома c1. Граничное условие
c (0) = 1 и c (1) = 0
Аксиома c2. Монотонность
Для всех a , b ∈ [0, 1], если a < b , то c ( a )> c ( b )
Аксиома c3. Непрерывность
c - непрерывная функция.
Аксиома c4. Инволюции
c - инволюция , что означает, что c ( c ( a )) = a для каждого a ∈ [0,1]

c - сильный отрицатель (он же нечеткое дополнение ).

Функция c, удовлетворяющая аксиомам c1 и c2, имеет по крайней мере одну неподвижную точку a * с c (a * ) = a * , и если аксиома c3 также выполняется, существует ровно одна такая неподвижная точка. Для стандартного отрицателя c (x) = 1-x единственной фиксированной точкой является a * = 0,5.

Нечеткие пересечения

Основная статья: Т-норма

Пересечение двух нечетких множеств A и B в общем случае задается бинарной операцией на единичном интервале, функцией вида

i : [0,1] × [0,1] → [0,1].
Для всех x ∈ U : μ A ∩ B ( x ) = i [ μ A ( x ), μ B ( x )].

Аксиомы нечеткого пересечения

Аксиома i1. Граничное условие
я ( а , 1) = а
Аксиома i2. Монотонность
b ≤ d влечет i ( a , b ) ≤ i ( a , d )
Аксиома i3. Коммутативность
я ( а , б ) = я ( б , а )
Аксиома i4. Ассоциативность
я ( а , я ( б , г )) = я ( я ( а , б ), г )
Аксиома i5. Непрерывность
i - непрерывная функция
Аксиома i6. Субидемпотентность
я ( а , а ) ≤ а
Аксиома i7. Строгая монотонность
i ( a 1 , b 1 ) ≤ i ( a 2 , b 2 ), если a 1 ≤ a 2 и b 1 ≤ b 2

Аксиомы с i1 по i4 определяют t-норму (также известную как нечеткое пересечение ). Стандартная t-норма min является единственной идемпотентной t-нормой (т.е. i ( a 1 , a 1 ) = a для всех a ∈ [0,1]).

Нечеткие союзы

Объединение двух нечетких множеств A и B обычно задается бинарной операцией над функцией единичного интервала вида

u : [0,1] × [0,1] → [0,1].
Для всех x ∈ U : μ A ∪ B ( x ) = u [ μ A ( x ), μ B ( x )].

Аксиомы нечеткого союза

Аксиома u1. Граничное условие
и ( а , 0) = и (0, а ) = а
Аксиома u2. Монотонность
b ≤ d влечет u ( a , b ) ≤ u ( a , d )
Аксиома u3. Коммутативность
и ( а , Ь ) = и ( Ь , а )
Аксиома u4. Ассоциативность
u ( a , u ( b , d )) = u ( u ( a, b ), d )
Аксиома u5. Непрерывность
u - непрерывная функция
Аксиома u6. Суперидемпотентность
и ( а , а ) ≥ а
Аксиома u7. Строгая монотонность
a 1 < a 2 и b 1 < b 2 влечет u ( a 1 , b 1 ) < u ( a 2 , b 2 )

Аксиомы от u1 до u4 определяют t-конорму (также известную как s-норма или нечеткое пересечение ). Стандартная t-конорма max является единственной идемпотентной t-конормой (т.е. u (a1, a1) = a для всех a ∈ [0,1]).

Агрегационные операции

Операции агрегирования над нечеткими наборами - это операции, с помощью которых несколько нечетких наборов объединяются желаемым образом для создания единого нечеткого набора.

Операция агрегации на n нечетком множестве (2 ≤ n ) определяется функцией

h : [0,1] n → [0,1]

Аксиомы для операций агрегирования нечетких множеств

Аксиома h1. Граничное условие
h (0, 0, ..., 0) = 0 и h (1, 1, ..., 1) = один
Аксиома h2. Монотонность
Для любой пары < 1 , 2 , ..., п > и < б 1 , б 2 , ..., б п > из п -наборов таким образом, что я , б я ∈ [0,1] для для всех i ∈ N n , если a i ≤ b i для всех i ∈ N n , то h ( a 1 , a 2 , ..., a n ) ≤ h ( b 1 , b 2 , ..., b n ); то есть h монотонно возрастает по всем своим аргументам.
Аксиома h3. Непрерывность
h - непрерывная функция.

Смотрите также

дальнейшее чтение

  • Клир, Джордж Дж .; Бо Юань (1995). Нечеткие множества и нечеткая логика: теория и приложения . Прентис Холл. ISBN 978-0131011717.

Ссылки