Нечеткое множество - Fuzzy set

В математике , нечеткие множества ( так называемый неопределенные наборы ) несколько , как наборы , чьи элементы имеют степени членства. Нечеткие множества были введены независимо Лотфи А. Заде и Дитером Клауа  [ де ] в 1965 году как расширение классического понятия множества. В то же время Салий (1965) определил более общий вид структуры, называемой L- соотношением , которую он изучал в абстрактном алгебраическом контексте. Нечеткие отношения, которые сейчас используются во всей нечеткой математике и имеют приложения в таких областях, как лингвистика ( De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000 ), принятие решений ( Kuzmin 1982 ) и кластеризация ( Bezdek 1978 ), являются частными случаями L- отношений. когда L - единичный интервал [0, 1].

В классической теории множеств принадлежность элементов к набору оценивается в бинарных терминах в соответствии с двухвалентным условием - элемент либо принадлежит, либо не принадлежит набору. Напротив, теория нечетких множеств позволяет постепенно оценивать принадлежность элементов к множеству; это описывается с помощью функции принадлежности, имеющей значение в реальном единичном интервале [0, 1]. Нечеткие множества являются обобщением классических множеств, поскольку индикаторные функции (также известные как характеристические функции) классических множеств являются частными случаями функций принадлежности нечетких множеств, если последние принимают только значения 0 или 1. В теории нечетких множеств классические двухвалентные множества обычно называются хрустящие наборы . Теория нечетких множеств может использоваться в широком диапазоне областей, в которых информация является неполной или неточной, например в биоинформатике .

Определение

Нечеткое множество - это пара, в которой - множество (часто требуется, чтобы оно было непустым ) и функция принадлежности. Опорный набор (иногда обозначается или ) называется множество суждений , и для каждого значения называется класс членства в . Функция называется функцией принадлежности нечеткого множества .

Для конечного множества нечеткое множество часто обозначается как

Пусть . Затем называется

  • не входит в нечеткое множество if (no member),
  • полностью включен, если (полноправный член),
  • частично включен if (нечеткий член).

(Четкое) множество всех нечетких множеств во вселенной обозначается (или иногда просто ).

Четкие множества, относящиеся к нечеткому множеству

Для любого нечеткого множества и следующей определены четкие наборы:

  • называется его α-разрезом (он же α-уровень )
  • называется его сильным α-разрезом (также известным как сильное множество α-уровня )
  • называется его опорой
  • называется его ядром (или иногда ядром ).

Обратите внимание, что некоторые авторы понимают «ядро» иначе; см. ниже.

Другие определения

  • Нечеткое множество является пустым ( ) тогда и только тогда (если и только если)
  • Два нечетких множеств и являются равными ( ) тогда и только тогда
  • Нечеткое множество является включено в нечетком множестве ( ) тогда и только тогда
  • Для любого нечеткого множества любой элемент , удовлетворяющий
называется точкой пересечения .
  • Для нечеткого множества любое , для которого не пусто, называется уровнем A.
  • Набор уровней A - это набор всех уровней, представляющих отдельные разрезы. Это изображение из :
  • Для нечеткого множества его высота определяется выражением
где обозначает супремум , который существует, потому что не пуст и ограничен сверху числом 1. Если U конечно, мы можем просто заменить супремум на максимум.
  • Нечеткое множество называется нормализованным тогда и только тогда, когда
В конечном случае, когда супремум максимален, это означает, что хотя бы один элемент нечеткого множества имеет полное членство. Непустое нечеткое множество может быть нормализовано с результатом делением функции принадлежности нечеткого множества на его высоту:
Помимо сходства, это отличается от обычной нормализации тем, что нормализующая константа не является суммой.
  • Для нечетких множеств действительных чисел ( U ⊆ ℝ) с ограниченным носителем ширина определяется как
В случае, когда это конечное множество или, в более общем смысле, замкнутое множество , ширина просто равна
В n -мерном случае ( U ⊆ ℝ n ) указанное выше можно заменить n -мерным объемом .
В общем, это может быть определено с учетом любой меры на U , например, интегрированием (например, интегрированием Лебега ) .
  • Вещественное нечеткое множество ( U ⊆ ℝ) называется выпуклым (в нечетком смысле, не путать с четким выпуклым множеством ), если и только если
.
Без ограничения общности мы можем взять xy , что дает эквивалентную формулировку
.
Это определение может быть продлено на один для общего топологического пространства U : мы говорим , что нечеткое множество является выпуклым , если для любого подмножества Z в U , то условие
имеет место, где обозначает границу из Z и обозначает изображение из множества X (здесь ) при некоторой функции F (здесь ).

Операции с нечеткими множествами

Хотя дополнение нечеткого множества имеет единственное наиболее распространенное определение, другие основные операции, объединение и пересечение, действительно имеют некоторую двусмысленность.

  • Для данного нечеткого множества его дополнение (иногда обозначаемое как или ) определяется следующей функцией принадлежности:
.
  • Пусть t - t-норма , а s - соответствующая s-норма (также известная как t-конорма). Для пары нечетких множеств их пересечение определяется следующим образом:
,
и их объединение определяется:
.

По определению t-нормы мы видим, что объединение и пересечение коммутативны , монотонны , ассоциативны и имеют как нулевой, так и единичный элемент . Для пересечения это ∅ и U соответственно, а для объединения - наоборот. Однако объединение нечеткого множества и его дополнения может не привести к полному универсуму U , а их пересечение может не дать пустого множества ∅. Поскольку пересечение и объединение ассоциативны, естественно определить пересечение и объединение конечного семейства нечетких множеств рекурсивно.

  • Если стандартный отрицатель заменен другим сильным отрицателем , разница нечетких множеств может быть обобщена следующим образом:
  • Тройка нечеткого пересечения, объединения и дополнения образует Триплет Де Моргана . То есть на эту тройку распространяются законы Де Моргана .
Примеры нечетких пар пересечений / объединений со стандартным отрицателем можно получить из примеров, приведенных в статье о t-нормах .
Нечеткое пересечение, вообще говоря, не идемпотентно , потому что стандартная t-норма min - единственная, которая обладает этим свойством. Действительно, если арифметическое умножение используется в качестве t-нормы, результирующая операция нечеткого пересечения не будет идемпотентной. То есть итеративное пересечение нечеткого множества с самим собой не является тривиальным. Вместо этого он определяет m степень нечеткого множества, которое можно канонически обобщить для нецелочисленных показателей следующим образом:
  • Для любого нечеткого множества и ν-я степень определяется функцией принадлежности:

Случай экспоненты два достаточно особенный, чтобы дать ему имя.

  • Для любого нечеткого множества концентрация определяется

Взяв , у нас есть и

  • Для нечетких множеств различие нечетких множеств , также обозначаемое , может быть определено напрямую через функцию принадлежности:
что означает , например:
Другое предложение по разнице в наборах может быть следующим:
  • Предложения о различиях симметричных нечетких множеств были сделаны Дюбуа и Прад (1980) либо путем взятия абсолютного значения , что дает
или используя комбинацию только max , min и стандартного отрицания, давая
Аксиомы для определения обобщенных симметричных разностей, аналогичные аксиомам для t-норм, t-конорм и отрицателей, были предложены Вемуром и др. (2014) с предшественниками Alsina et. al. (2005) и Bedregal et. al. (2009).
  • В отличие от четких множеств, операции усреднения также могут быть определены для нечетких множеств.

Непересекающиеся нечеткие множества

В отличие от общей неоднозначности операций пересечения и объединения, существует ясность для непересекающихся нечетких множеств: два нечетких множества не пересекаются тогда и только тогда, когда

что эквивалентно

а также эквивалентен

Мы помним, что min / max - это пара / s-norm, и любая другая пара здесь также будет работать.

Нечеткие множества не пересекаются тогда и только тогда, когда их носители не пересекаются согласно стандартному определению четких множеств.

Для непересекающихся нечетких множеств любое пересечение даст ∅, а любое объединение даст тот же результат, который обозначается как

с его функцией принадлежности, заданной

Обратите внимание, что только одно из обоих слагаемых больше нуля.

Для непересекающихся нечетких множеств верно следующее:

Это можно обобщить на конечные семейства нечетких множеств следующим образом: дано семейство нечетких множеств с индексным множеством I (например, I = {1,2,3, ..., n }). Это семейство (попарно) не пересекается тогда и только тогда, когда

Семейство нечетких множеств не пересекается, если семейство базовых носителей не пересекается в стандартном смысле для семейств четких множеств.

Независимо от пары t / s-норм, пересечение непересекающегося семейства нечетких множеств снова даст ∅, в то время как объединение не имеет двусмысленности:

с его функцией принадлежности, заданной

Снова только одно из слагаемых больше нуля.

Для непересекающихся семейств нечетких множеств верно следующее:

Скалярная мощность

Для нечеткого множества с конечным носителем (т. Е. «Конечного нечеткого множества») его мощность (также известная как скалярная мощность или количество сигм ) определяется как

.

В случае, когда само U является конечным множеством, относительная мощность определяется выражением

.

Это можно обобщить, чтобы дивизор был непустым нечетким множеством: для нечетких множеств с G ≠ ∅ мы можем определить относительную мощность следующим образом:

,

что очень похоже на выражение для условной вероятности . Примечание:

  • здесь.
  • Результат может зависеть от конкретного выбранного пересечения (t-нормы).
  • Ибо результат однозначен и напоминает предыдущее определение.

Расстояние и сходство

Для любого нечеткого множества функцию принадлежности можно рассматривать как семейство . Последнее представляет собой метрическое пространство с несколькими известными метриками . Метрика может быть получена из нормы (векторной нормы) с помощью

.

Например, if конечно, то есть такая метрика может быть определена следующим образом:

где и - последовательности действительных чисел от 0 до 1.

Для бесконечности максимум можно заменить супремумом. Поскольку нечеткие множества однозначно определяются их функцией принадлежности, эту метрику можно использовать для измерения расстояний между нечеткими множествами в одном и том же юниверсе:

,

что становится в приведенном выше примере:

Опять же для бесконечности максимум должен быть заменен супремумом. Другие расстояния (например, каноническая 2-норма) могут расходиться, если бесконечные нечеткие множества слишком разные, например, и .

Меры подобия (здесь обозначаемые ) могут быть затем получены из расстояния, например, после предложения Коци:

если конечно, иначе,

или после Уильямса и Стила:

если конечно, иначе

где - параметр крутизны и .

Другое определение интервальных (скорее «нечетких») мер сходства дано Бегом и Ашрафом.

L- нечеткие множества

Иногда используются более общие варианты понятия нечеткого множества, когда функции принадлежности принимают значения в (фиксированной или переменной) алгебре или структуре данного вида; обычно требуется, чтобы она была хотя бы чугуном или решеткой . Их обычно называют L- нечеткими множествами , чтобы отличить их от тех, которые оцениваются на единичном интервале. Обычные функции принадлежности со значениями в [0, 1] тогда называются [0, 1] -значными функциями принадлежности. Подобные обобщения были впервые рассмотрены в 1967 году Джозефом Гогуэном , учеником Заде. Классическое следствие может указывать значения истинности и членства с помощью {f, t} вместо {0, 1}.

Расширение нечетких множеств было предоставлено Атанасовым и Баруахом. Интуиционистская нечеткое множество (МФС) характеризуется двумя функциями:

1. - степень принадлежности x
2. - степень непринадлежности к x

с функциями с

Это похоже на ситуацию, когда какой-то человек обозначается голосованием

  • для предложения : ( ),
  • против: ( ),
  • или воздержаться от голосования: ( ).

В конце концов, у нас есть процент одобрений, процент отказов и процент воздержавшихся.

Для этой ситуации можно определить специальные «интуитивно нечеткие» отрицатели, t- и s-нормы. С помощью комбинирования обеих функций эта ситуация напоминает особый вид L- нечетких множеств.

Еще раз, это было расширено путем определения нечетких множеств изображений (PFS) следующим образом: PFS A характеризуется тремя функциями, отображающими U в [0, 1]: «степень положительного членства», «степень нейтрального членства», и «степень отрицательного членства» соответственно и дополнительное условие. Это расширяет приведенную выше выборку голосования за счет дополнительной возможности «отказа в голосовании».

Со специальными «нечеткими» отрицателями, t- и s-нормами это похоже на еще один тип L- нечетких множеств.

Нейтрософные нечеткие множества

Некоторые ключевые достижения во введении концепций нечетких множеств.

Концепция IFS была расширена до двух основных моделей. Двумя расширениями IFS являются нейтрософные нечеткие множества и пифагоровы нечеткие множества.

Нейтрософные нечеткие множества были введены Смарандаче в 1998 году. Как и IFS, нейтрософные нечеткие множества имеют две предыдущие функции: одну для принадлежности, а другую - для отсутствия принадлежности . Основное отличие состоит в том, что у нейтрософных нечетких множеств есть еще одна функция: для неопределенных . Это значение указывает на степень неуверенности в том, что объект x принадлежит набору. Эта концепция наличия неопределенного значения может быть особенно полезной, когда нельзя быть очень уверенным в значениях членства или отсутствия членства для элемента x . Таким образом, нейтрософные нечеткие множества связаны со следующими функциями:

1. - степень принадлежности x
2. - степень непринадлежности к x
3. - степень неопределенности значения x

Пифагоровы нечеткие множества

Другое расширение IFS - это так называемые нечеткие множества Пифагора. Нечеткие множества Пифагора более гибкие, чем IFS. IFS основаны на ограничении , которое в некоторых случаях может считаться слишком строгим. Вот почему Ягер предложил концепцию нечетких пифагоровых множеств. Такие множества удовлетворяют ограничению , напоминающему теорему Пифагора. Нечеткие множества Пифагора могут быть применимы к реальным приложениям, в которых предыдущее условие не выполняется. Однако менее строгие условия могут быть подходящими для большего количества доменов.

Нечеткая логика

Как расширение случая многозначной логики , оценки ( ) пропозициональных переменных ( ) в набор степеней принадлежности ( ) можно рассматривать как функции принадлежности, отображающие предикаты в нечеткие множества (или, более формально, в упорядоченный набор нечеткие пары, называемые нечеткими отношениями). С помощью этих оценок многозначная логика может быть расширена, чтобы учесть нечеткие предпосылки, из которых могут быть сделаны дифференцированные выводы.

Это расширение иногда называют «нечеткой логикой в ​​узком смысле» в отличие от «нечеткой логики в более широком смысле», которая возникла в инженерных областях автоматизированного управления и инженерии знаний и охватывает многие темы, связанные с нечеткими множествами и «приближенными рассуждениями». . "

Промышленные применения нечетких множеств в контексте «нечеткой логики в широком смысле» можно найти в нечеткой логике .

Нечеткое число и единственное число

Нечеткое число А является нечетким множеством , которое удовлетворяет все следующие условия:

  • A нормализовано;
  • A - выпуклое множество;
  •  ;
  • Функция принадлежности по крайней мере сегментарно непрерывна.

Если эти условия не выполняются, то A не является нечетким числом . Ядро этого нечеткого числа - синглтон ; его расположение:

При невыполнении условия единственности нечеткое множество характеризуется как нечеткий интервал . Ядром этого нечеткого интервала является четкий интервал с:

.

Нечеткие числа можно сравнить с веселой игрой «Угадай свой вес», где кто-то угадывает вес участника, причем более точные предположения более верны, и где угадывающий «выигрывает», если он или она угадает достаточно близкое к весу участника, с помощью фактический вес полностью правильный (отображение на 1 функцией принадлежности).

Ядро нечеткого интервала определяется как «внутренняя» часть без «исходящих» частей, где значение принадлежности является постоянным до бесконечности. Другими словами, наименьшее подмножество, где константа вне его, определяется как ядро.

Однако существуют и другие концепции нечетких чисел и интервалов, поскольку некоторые авторы не настаивают на выпуклости.

Нечеткие категории

Использование принадлежности к множеству в качестве ключевого компонента теории категорий можно обобщить на нечеткие множества. Этот подход, начатый в 1968 году вскоре после введения теории нечетких множеств, привел к развитию категорий Гогена в 21 веке. В этих категориях вместо использования членства в двухзначных множествах используются более общие интервалы, которые могут быть решетками, как в L- нечетких множествах.

Уравнение нечеткой связи

Нечеткое уравнение соотношения является уравнением вида A · R = B , где и В являются нечеткими множествами, R является нечетким отношением, и · R обозначает композицию из А с  R .

Энтропия

Мера нечеткости d для нечетких множеств вселенной должна удовлетворять следующим условиям для всех :

  1. если хрустящий набор:
  2. имеет уникальный максимум тогда и только тогда
что означает , что Б является «четче» , чем A .

В этом случае называется энтропией нечеткого множества A .

Для конечного энтропия нечеткого множества определяется выражением

,

или просто

где - функция Шеннона (функция естественной энтропии)

и является константой, зависящей от единицы измерения и используемого основания логарифма (здесь мы использовали натуральное основание e ). Физическая интерпретация к является постоянной Больцмана к B .

Позвольте быть нечетким множеством с непрерывной функцией принадлежности (нечеткая переменная). потом

и его энтропия

Расширения

Существует множество математических построений, похожих или более общих, чем нечеткие множества. С тех пор, как в 1965 году были введены нечеткие множества, было разработано много новых математических построений и теорий, касающихся неточностей, неточностей, двусмысленности и неопределенности. Некоторые из этих построений и теорий являются расширениями теории нечетких множеств, в то время как другие пытаются математически моделировать неточность и неопределенность другим способом ( Burgin & Chunihin 1997 ; Kerre 2001 ; Deschrijver and Kerre, 2003).

Смотрите также

использованная литература

Библиография

  • Алхазале С. и Саллех А.Р. Теория нечетких мягких множеств , абстрактный и прикладной анализ, 2012, статья ID 350600, 20 стр.
  • Атанасов К.Т. (1983) Интуиционистские нечеткие множества , VII сессия ИТКР, София (депонировано в Центральной научно-технической библиотеке Болгарской академии наук, 1697/84) (на болгарском языке)
  • Атанасов К. (1986) Интуиционистские нечеткие множества, нечеткие множества и системы, т. 20, № 1, стр. 87–96.
  • Баруа, Хеманта К. (2011) Теория нечетких множеств: убеждения и реальности, Международный журнал энергетики, информации и коммуникаций, том 2, выпуск 2, 1-22.
  • Баруа, Хеманта К. (2012) Введение в теорию неточных множеств: математика частичного присутствия, Международный журнал вычислительных и математических наук, Vol. 2, № 2, 110 - 124.
  • Бездек, JC (1978). «Нечеткие разбиения и отношения и аксиоматическая основа кластеризации». Нечеткие множества и системы . 1 (2): 111–127. DOI : 10.1016 / 0165-0114 (78) 90012-X .
  • Близард, WD (1989) Действительные мультимножества и нечеткие множества, нечеткие множества и системы, т. 33, стр. 77–97.
  • Brown, JG (1971) A Note on Fuzzy Sets, Information and Control, v. 18, pp. 32–39.
  • Brutoczki Kornelia: Fuzzy Logic (Diploma) - Хотя этот сценарий имеет много странностей и недостатков из-за его неполноты, его можно использовать в качестве шаблона для упражнения по устранению этих проблем.
  • Бургин, М. Теория именованных множеств как основа математики, Структуры в математических теориях, Сан-Себастьян, 1990, стр. 417–420.
  • Бургин М., Чунихин А. (1997) Именованные множества в анализе неопределенности, в Методологических и теоретических проблемах математики и информатики, Киев, стр. 72–85.
  • Джанпьеро Каттанео и Давиде Чуччи, «Алгебры Гейтинга Вайсберга как абстрактная среда, связывающая нечеткие и грубые множества» в JJ Alpigini et al. (Ред.): RSCTC 2002, LNAI 2475, стр. 77–84, 2002. DOI : 10.1007 / 3-540-45813-1_10
  • Чаморро-Мартинес, Дж. И др.: Обсуждение нечеткой мощности и количественной оценки. Некоторые приложения в обработке изображений , SciVerse ScienceDirect: Fuzzy Sets and Systems 257 (2014) 85–101, 30 мая 2013 г.
  • Чапин, EW (1974) Многозначная теория множеств, I, Нотр-Дам Дж. Формальная логика, т. 15, стр. 619–634
  • Чапин, EW (1975) Многозначная теория множеств, II, Нотр-Дам Дж. Формальная логика, т. 16, стр. 255–267
  • Крис Корнелис, Мартин Де Кок и Этьен Э. Керр, [Интуиционистские нечеткие грубые множества: на перекрестке несовершенного знания], Expert Systems, т. 20, выпуск 5, стр. 260–270, 2003 г.
  • Корнелис, К., Дешрайвер, К., и Керр, Э. (2004) Импликация в интуиционистской и интервальнозначной теории нечетких множеств: построение, классификация, применение, Международный журнал приближенного мышления, т. 35, стр. 55–95.
  • Де Кок, Мартина; Боденхофер, Ульрих; Керр, Этьен Э. (1–4 октября 2000 г.). Моделирование лингвистических выражений с помощью нечетких отношений . Материалы 6-й Международной конференции по мягким вычислениям. Иидзука, Япония. С. 353–360. CiteSeerX  10.1.1.32.8117 .
  • Демирчи, М. (1999) Подлинные множества, нечеткие множества и системы, т. 105, стр. 377–384.
  • Deschrijver, G .; Керре, EE (2003). «О связи между некоторыми расширениями теории нечетких множеств». Нечеткие множества и системы . 133 (2): 227–235. DOI : 10.1016 / S0165-0114 (02) 00127-6 .
  • Дидье Дюбуа, Анри М. Прад, изд. (2000). Основы нечетких множеств . Справочники серии нечетких множеств. 7 . Springer. ISBN 978-0-7923-7732-0.
  • Фэн Ф. Обобщенные грубые нечеткие множества на основе мягких множеств , Soft Computing, июль 2010 г., том 14, выпуск 9, стр. 899–911
  • Gentilhomme, Y. (1968) Les ensembles flous en linguistique, Cahiers Linguistique Theoretique Appliqee, 5, стр. 47–63
  • Гоген, Дж. А. (1967) L-нечеткие множества, Journal Math. Приложение для анализа, т. 18, стр. 145–174.
  • Готвальд, С. (2006). "Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть I: модельные и аксиоматические подходы". Studia Logica . 82 (2): 211–244. DOI : 10.1007 / s11225-006-7197-8 . S2CID  11931230 .. Готвальд, С. (2006). "Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть II: Теоретико-категориальные подходы". Studia Logica . 84 : 23–50. DOI : 10.1007 / s11225-006-9001-1 . S2CID  10453751 . препринт ..
  • Граттан-Гиннесс, I. (1975) Нечеткое членство, отображаемое на интервал и многозначные величины. Z. Math. Логик. Grundladen Math. 22. С. 149–160.
  • Гржимала-Буссе, Дж. Изучение примеров, основанных на грубых мультимножествах, в материалах 2-го Международного симпозиума по методологиям интеллектуальных систем, Шарлотт, Северная Каролина, США, 1987, стр. 325–332
  • Гилис Р.П. (1994) Квантовые множества и пучки над квантами, Liet. Матем. Каток, т. 34, № 1, с. 9–31.
  • Ульрих Хёле, Стивен Эрнест Родабо, изд. (1999). Математика нечетких множеств: логика, топология и теория меры . Справочники серии нечетких множеств. 3 . Springer. ISBN 978-0-7923-8388-8.
  • Jahn, KU (1975) Intervall-wertige Mengen, Math.Nach. 68. С. 115–132.
  • Кауфманн, Арнольд . Введение в теорию нечетких подмножеств. Vol. 2. Академический пр., 1975.
  • Керре, Э.Е. (2001). «Первый взгляд на альтернативы теории нечетких множеств». В Б. Ройше; KH. Темме (ред.). Вычислительный интеллект в теории и практике . Гейдельберг: Physica-Verlag. С. 55–72. DOI : 10.1007 / 978-3-7908-1831-4_4 . ISBN 978-3-7908-1357-9. Отсутствует или пусто |title=( справка )
  • Джордж Дж. Клир; Бо Юань (1995). Нечеткие множества и нечеткая логика: теория и приложения . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-101171-7.
  • Кузьмин, В.Б. (1982). «Построение групповых решений в пространствах строгих и нечетких двоичных отношений». Наука, Москва.
  • Лейк, Дж. (1976) Множества, нечеткие множества, мультимножества и функции , J. London Math. Soc., II Ser., V. 12, pp. 323–326
  • Мэн Д., Чжан X. и Цинь К. Мягкие грубые нечеткие множества и мягкие нечеткие грубые множества , «Computers & Mathematics with Applications», т. 62, выпуск 12, 2011 г., стр. 4635–4645
  • Миямото, С. Нечеткие мультимножества и их обобщения, в «Обработка мультимножеств», LNCS 2235, стр. 225–235, 2001.
  • Молодцов О. (1999) Теория мягких множеств - первые результаты, Вычислительная техника и математика с приложениями, т. 37, № 4/5, стр. 19–31
  • Мур, Р. Э. Интервальный анализ, Нью-Йорк, Прентис-Холл, 1966.
  • Накамура А. (1988) Нечеткие грубые множества, «Заметки о многозначной логике в Японии», т. 9, стр. 1–8.
  • Нариньяни, А.С. Недоопределенные множества - новый тип данных для представления знаний, Препринт 232, Проект ВОСТОК, выпуск 4, Новосибирск, Вычислительный центр АН СССР, 1980
  • Pedrycz, W. Затененные множества: представление и обработка нечетких множеств, IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics, Part B, 28, 103–109, 1998.
  • Радецки, Т. Уровневые нечеткие множества, «Журнал кибернетики», том 7, выпуск 3–4, 1977 г.
  • Радзиковска, AM, Этьен Э. Керр, EE О L-нечетких грубых множествах , искусственном интеллекте и мягких вычислениях - ICAISC 2004, 7-я Международная конференция, Закопане, Польша, 7–11 июня 2004 г., Труды; 01/2004
  • Салий, В.Н. (1965). «Бинарные L-отношения». Изв. Выш. Учебн. Завед. Математика . 44 (1): 133–145.
  • Рамакришнан, Т.В., и Сабу Себастьян (2010) «Исследование множественных нечетких множеств», Int. J. Appl. Математика. 23, 713–721.
  • Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2010) Мульти-нечеткие множества, Int. Математика. Forum 50, 2471–2476.
  • Сабу Себастьян и Рамакришнан, TV (2011) Мульти-нечеткие множества: расширение нечетких множеств , Fuzzy Inf.Eng. 1, 35–43.
  • Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2011) Многочисленные нечеткие расширения функций, Развитие адаптивного анализа данных 3, 339–350.
  • Сабу Себастьян и Рамакришнан, TV (2011) Мульти-нечеткое расширение четких функций с помощью мостовых функций , Ann. Нечеткая математика. Сообщить. 2 (1), 1–8
  • Sambuc, R. Fonctions φ-floues: Application a l'aide au Diagnostic en Patologie Thyroidienne, Ph.D. Диссертация Univ. Марсель, Франция, 1975 год.
  • Зайзинг, Рудольф: фаззификация систем. Возникновение теории нечетких множеств и ее начальные приложения - разработки до 1970-х годов (Исследования нечеткости и мягких вычислений, том 216), Берлин, Нью-Йорк, [и др.]: Springer 2007.
  • Смит, Нью-Джерси (2004) Нечеткость и размытые множества, J. Фил. Логика », 33, с. 165–235.
  • Верро, Николас: Нечеткая классификация онлайн-клиентов , Фрибургский университет, Швейцария, 2008 г., Глава 2
  • Ягер, Р.Р. (1986) О теории мешков, Международный журнал общих систем, т. 13, стр. 23–37.
  • Яо, YY, Комбинация грубых и нечетких множеств на основе наборов α-уровня, в: Rough Sets and Data Mining: Analysis for Imprecise Data, Lin, TY и Cercone, N. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, Boston, pp. 301–321, 1997.
  • YY Yao, Сравнительное исследование нечетких множеств и грубых множеств, Информационные науки, т. 109, выпуск 1–4, 1998 г., стр. 227 - 242
  • Заде, Л. (1975) Концепция лингвистической переменной и ее применение для приближенного рассуждения –I, Информ. Sci., Т. 8, стр. 199–249.
  • Ханс-Юрген Циммерманн (2001). Теория нечетких множеств и ее приложения (4-е изд.). Kluwer. ISBN 978-0-7923-7435-0.