Число Фридмана - Friedman number

Фридман числом является целым числом , который представлен в данной системе счисления , является результатом нетривиального выражения , используя все свои собственные цифры в сочетании с любыми из четырех основных арифметических операторов (+, -, ×, ÷), добавка обратные , круглые скобки, возведение в степень и конкатенация . Здесь нетривиальность означает, что используется хотя бы одна операция помимо конкатенации. Нельзя использовать ведущие нули, так как это также приведет к тривиальным числам Фридмана, таким как 024 = 20 + 4. Например, 347 - это число Фридмана в десятичной системе счисления , поскольку 347 = 7 ³ + 4. Десятичные числа Фридмана находятся:

25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, ... (последовательность A036057 в OEIS ).

Числа Фридмана названы в честь Эриха Фридмана , ныне вышедшего на пенсию профессора математики в Стетсонском университете , расположенном в Деланд, Флорида .

Фридман премьер является Friedman число , которое также премьер . Десятичные простые числа Фридмана:

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, .. . (последовательность A112419 в OEIS ).

Результаты в базе 10

Выражения первых нескольких чисел Фридмана:

количество	выражение	количество	выражение	количество	выражение	количество	выражение
25	5 ²	127	2 ⁷ -1	289	(8 + 9) ²	688	8 × 86
121	11 ²	128	2 ⁸⁻¹	343	(3 + 4) ³	736	3 ⁶ +7
125	5 ^{1 + 2}	153	3 × 51	347	7 ³ +4	1022	2 ¹⁰ -2
126	6 × 21	216	6 ^{2 + 1}	625	5 ⁶⁻²	1024	(4−2) ¹⁰

Хорошо Фридман числом является Фридман числа где цифры в выражении может быть организованы , чтобы быть в том же порядке , как и в самом числе. Например, мы можем расположить 127 = 2 ⁷ - 1 как 127 = −1 + 2 ⁷ . Первые красивые числа Фридмана:

127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455, 11264, 11664, 12850, 13825, 14641, 15552, 15585, 15612, 15613, 15617, 15618, 15621, 15622, 15623, 15624, 15626, 15632, 15633, 15642, 15645, 15655, 15656, 15662, 15667, 15688, 16377, 16384, 16447, 16875, 17536, 18432, 19453, 19683, 19739 (последовательность A080035 в OEIS ).

Хороший Фридман премьер является хорошим Фридман номером , который также премьер. Первые хорошие простые числа Фридмана:

127, 15667, 16447, 19739, 28559, 32771, 39343, 46633, 46663, 117619, 117643, 117763, 125003, 131071, 137791, 147419, 156253, 156257, 156259, 229373, 248839, 262139, 2667214729, 2799 295247, 326617, 466553, 466561, 466567, 585643, 592763, 649529, 728993, 759359, 786433, 937577 (последовательность A252483 в OEIS ).

Сайт Фридмана показывает около 100 zeroless Pandigital Фридман чисел по состоянию на апрель 2020 г. Два из них: 123456789 = ((86 + 2 × 7) ⁵ - 91) / 3 ⁴ , а = 987654321 (8 × (97 + 6/2) ⁵ + 1) / 3 ⁴ . Только один из них хорош: 268435179 = −268 + 4 ^{(3 × 5 - 1 ⁷ )} - 9.

Майкл Брэнд доказал, что плотность чисел Фридмана среди натуральных равна 1, то есть вероятность того, что число, выбранное случайным образом и равномерно от 1 до n, будет числом Фридмана, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. Этот результат распространяется на числа Фридмана при любой базе представления. Он также доказал, что то же самое верно и для двоичных, троичных и четвертичных упорядоченных чисел Фридмана. Случай с упорядоченными числами Фридмана с основанием 10 все еще открыт.

Числа вампира - это подмножество чисел Фридмана, где единственная операция - это умножение двух чисел на одинаковое количество цифр, например 1260 = 21 × 60.

Нахождение двузначных чисел Фридмана

Обычно двузначных чисел Фридмана меньше, чем трехзначных, и больше в любой данной базе, но двузначные числа найти легче. Если мы представим двузначное число как mb + n , где b - основание, а m , n - целые числа от 0 до b −1, нам нужно только проверить каждую возможную комбинацию m и n на соответствие равенствам mb + n = m ⁿ и mb + n = n ^m, чтобы узнать, какие из них верны. Нам не нужно беспокоиться о m + n или m × n , поскольку они всегда будут меньше, чем mb + n, когда n < b . То же, очевидно, верно для m - n и m / n .

Другие базы

Общие результаты

В базе , ${\ displaystyle b = mk-m}$

{\ displaystyle b ^ {2} + mb + k = (mk-m + m) b + k = mbk + k = k (mb + 1)}

является числом Фридмана (записывается по основанию как 1 mk = k × m 1). ${\ displaystyle b}$

В базе , ${\ displaystyle b> 2}$

{\ displaystyle {(b ^ {n} +1)} ^ {2} = b ^ {2n} +2 {b ^ {n}} + 1}

является числом Фридмана (записывается по основанию как 100 ... 00200 ... 001 = 100..001 ² , с нулями между каждым ненулевым числом). ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle n-1}$

В базе , ${\ displaystyle b = {\ frac {k (k-1)} {2}}}$

{\ displaystyle 2b + k = 2 \ left ({\ frac {k (k-1)} {2}} \ right) + k = k ^ {2} -k + k = k ^ {2}}

является числом Фридмана (записывается по основанию как 2 k = k ² ). Из наблюдения, что все числа вида 2 k × b ²ⁿ можно записать как k 000 ... 000 ² с n нулями, мы можем найти последовательности последовательных чисел Фридмана произвольной длины. Например, для или по основанию 10 250068 = 500 ² + 68, из чего мы можем легко вывести диапазон последовательных чисел Фридмана от 250000 до 250099 по основанию 10 . ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle k = 5}$

Repdigit числа Фридмана:

Наименьшая повторная цифра в базе 8, которая является числом Фридмана, равна 33 = 3 ³ .
Наименьшая повторная цифра в базе 10, которая считается числом Фридмана, равна 99999999 = (9 + 9/9) ^{9−9 / 9} - 9/9.
Было доказано, что повторные цифры, состоящие как минимум из 22 цифр, являются хорошими числами Фридмана.

Во всех базах существует бесконечное количество простых чисел Фридмана, потому что для базовых чисел ${\ displaystyle 2 \ leq b \ leq 6}$

{\ displaystyle n \ times 10 ^ {1111} + 11111111 = n \ times 10 ^ {1111} + 10 ^ {1000} -1 + 0 + 0}

в базе 2

{\ Displaystyle п \ раз 10 ^ {102} + 1101221 = п \ раз 10 ^ {102} + 2 ^ {101} + 0 + 0}

в базе 3

{\ Displaystyle п \ раз 10 ^ {20} + 310233 = п \ раз 10 ^ {20} + 33 ^ {3} +0}

в базе 4

{\ Displaystyle п \ раз 10 ^ {13} + 2443111 = п \ раз 10 ^ {4 + 4} + (2 \ раз 3) ^ {11}}

в базе 5

{\ Displaystyle п \ раз 10 ^ {13} + 25352411 = п \ раз 10 ^ {2 \ раз 5-1} + (5 + 2) ^ {(3 + 4)}}

в базе 6

для базы чисел ${\ displaystyle 7 \ leq b \ leq 10}$

{\ Displaystyle п \ раз 10 ^ {60} + 164351 = п \ раз 10 ^ {60} + (10 + 4-3) ^ {5} + 0 + 0 + \ ldots}

в базе 7,

{\ Displaystyle п \ раз 10 ^ {60} + 163251 = п \ раз 10 ^ {60} + (10 + 3-2) ^ {5} + 0 + 0 + \ ldots}

в базе 8,

{\ Displaystyle п \ раз 10 ^ {60} + 162151 = п \ раз 10 ^ {60} + (10 + 2-1) ^ {5} + 0 + 0 + \ ldots}

в базе 9,

{\ Displaystyle п \ раз 10 ^ {60} + 161051 = п \ раз 10 ^ {60} + (10 + 1-0) ^ {5} + 0 + 0 + \ ldots}

в базе 10,

и для базы ${\ displaystyle b> 10}$

{\ displaystyle n \ times 10 ^ {50} + {\ text {15AA51}} = n \ times 10 ^ {50} + (10 + {\ text {A}} / {\ text {A}}) ^ { 5} + 0 + 0 + \ ldots}

числа Фридмана для всех . Числа этой формы представляют собой арифметическую последовательность , где и являются взаимно простыми независимо от основания, так как и всегда взаимно просты, и, следовательно, по теореме Дирихле об арифметических прогрессиях последовательность содержит бесконечное количество простых чисел. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle pn + q}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle b + 1}$

Двенадцатеричный

В базе 12 числа Фридмана меньше 1000:

количество	выражение
121	11 ²
127	7 × 21
135	5 × 31
144	4 × 41
163	3 × 61
346	3 ⁴ × 6
368	8 ⁶⁻³
376	6 × 73
441	(4 + 1) ⁴
445	5 ⁴ +4

Римские цифры

В тривиальном смысле все римские цифры с более чем одним символом являются числами Фридмана. Выражение создается путем простой вставки знака + в число, а иногда и знака - с небольшим изменением порядка символов.

Было проведено некоторое исследование римских чисел Фридмана, для которых в выражении используются некоторые другие операторы. Первым обнаруженным таким красивым римским числом Фридмана было 8, поскольку VIII = (V - I) × II. Были найдены и другие такие нетривиальные примеры.

Сложность нахождения нетривиальных чисел Фридмана в римских цифрах возрастает не с размером числа (как в случае с позиционными системами нумерации), а с количеством символов, которые оно имеет. Например, гораздо сложнее определить, является ли 147 (CXLVII) числом Фридмана римскими цифрами, чем сделать такое же определение для 1001 (MI). С римскими цифрами можно, по крайней мере, вывести довольно много выражений Фридмана из любого нового выражения, которое кто-то обнаружит. Поскольку 8 - хорошее нетривиальное красивое римское число Фридмана, отсюда следует, что любое число, заканчивающееся на VIII, также является таким числом Фридмана.

Смотрите также

Довольно дикие нарциссические числа - числа, которые перевешивают

использованная литература

внешние ссылки

Домашняя страница для номеров Фридмана
Числа Фридмана Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
Числа Фридмана имеют плотность 1 Дискретная прикладная математика, том 161, выпуски 16–17, ноябрь 2013 г., стр. 2389–2395

Languages

In other projects