Элементарная матрица - Elementary matrix

В математике , элементарная матрица представляет собой матрицу , которая отличается от единичной матрицы с помощью одной элементарной операции строки. Элементарные матрицы порождают общую линейную группу GL _n ( F ), когда F - поле. Левое умножение (предварительное умножение) на элементарную матрицу представляет собой элементарные операции со строками , а правое умножение (пост-умножение) представляет собой элементарные операции с столбцами .

Операции с элементарными строками используются при исключении Гаусса для приведения матрицы к форме эшелона строк . Они также используются в методе исключения Гаусса – Жордана для дальнейшего приведения матрицы к приведенной форме эшелона строк .

Элементарные операции со строками

Существует три типа элементарных матриц, которые соответствуют трем типам операций со строками (соответственно, операций со столбцами):

Переключение строк

Строку в матрице можно заменить другой строкой.

${\ displaystyle R_ {i} \ leftrightarrow R_ {j}}$

Умножение строк

Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу. Это также известно как масштабирование строки.

${\ displaystyle kR_ {i} \ rightarrow R_ {i}, \ {\ mbox {where}} k \ neq 0}$

Сложение строк

Строку можно заменить суммой этой строки и кратным числом другой строки.

${\ displaystyle R_ {i} + kR_ {j} \ rightarrow R_ {i}, {\ mbox {where}} i \ neq j}$

Если E является элементарной матрицей, как описано ниже, чтобы применить операцию элементарной строки к матрице A , умножают A на элементарную матрицу слева, EA . Элементарная матрица для любой строковой операции получается путем выполнения операции над единичной матрицей . Этот факт можно понимать как пример применения леммы Йонеды к категории матриц.

Преобразования переключения строк

Первый тип операции со строкой в ​​матрице A переключает все элементы матрицы в строке i на их аналоги в строке j . Соответствующая элементарная матрица получается путем замены строк I и строк J из единичной матрицы .

${\ displaystyle T_ {i, j} = {\ begin {bmatrix} 1 &&&&&& \\ & \ ddots &&&&& \\ && 0 && 1 && \\ &&& \ ddots &&& \\ && 1 && 0 && \\ &&&&& \ ddots & \\ &&&&&matrix& 1 \ end }$

Таким образом , Т _IJ матрица производится путем замены строк я и строки J из A .

Характеристики

• Сама обратная матрица: T _ij ⁻¹ = T _ij .
• Поскольку определитель единичной матрицы равен единице, det ( T _ij ) = −1. Отсюда следует, что для любой квадратной матрицы A (правильного размера) det ( T _ij A ) = −det ( A ).

Преобразования с умножением строк

Следующий тип строковой операции в матрице A умножает все элементы в строке i на m, где m - ненулевой скаляр (обычно действительное число). Соответствующая элементарная матрица представляет собой диагональную матрицу с диагональными элементами 1 везде, кроме i- й позиции, где это m .

${\ displaystyle D_ {i} (m) = {\ begin {bmatrix} 1 &&&&&& \\ & \ ddots &&&&& \\ && 1 &&&& \\ &&& m &&& m &&& \\ &&&&& 1 && \\ &&&&& \ ddots & \\ &&&&&&& 1 \ end {bmatrix}$

Итак, D _i ( m ) A - это матрица, полученная из A путем умножения строки i на m .

Характеристики

• Обратная матрица равна D _i ( m ) ⁻¹ = D _i (1 / m ).
• Матрица и ее обратная матрица являются диагональными матрицами .
• det ( D _я ( м )) = м . Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) мы имеем det ( D _i ( m ) A ) = m det ( A ).

Преобразования сложения строк

Последний тип операции со строками в матрице A добавляет строку j, умноженную на скаляр m, к строке i . Соответствующая элементарная матрица является единичной матрицей, но с m в позиции ( i , j ).

${\ displaystyle L_ {ij} (m) = {\ begin {bmatrix} 1 &&&&&& \\ & \ ddots &&&&& \\ && 1 &&&& \\ &&& \ ddots &&& \\ && m && 1 && \\ &&&&& \ ddots & \\ &&&&b&matrix \ end }}$

Итак, L _ij ( m ) A - это матрица, полученная из A путем добавления m раз строки j к строке i . И A L _ij ( m ) - это матрица, полученная из A путем добавления m раз столбца i к столбцу j .

Характеристики

• Эти преобразования представляют собой своего рода отображение сдвига , также известное как трансвекции .
• Обратная матрица равна L _ij ( m ) ⁻¹ = L _ij (- m ).
• Матрица и ее обратная матрица являются треугольными матрицами .
• det ( L _ij ( m )) = 1. Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) имеем det ( L _ij ( m ) A ) = det ( A ).
• Преобразования сложения строк удовлетворяют соотношениям Стейнберга .

Смотрите также

• Гауссово исключение
• Линейная алгебра
• Система линейных уравнений
• Матрица (математика)
• LU разложение
• Матрица Фробениуса

Рекомендации

• Акслер, Шелдон Джей (1997), Linear Algebra Done Done Right (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, Архивируются с оригинала на 2009-10-31
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-99845-3
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
• Стрэнг, Гилберт (2016), Введение в линейную алгебру (5-е изд.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6