Система дифференциальных уравнений - System of differential equations

В математике система дифференциальных уравнений - это конечный набор дифференциальных уравнений . Такая система может быть как линейной, так и нелинейной . Кроме того, такая система может быть либо системой обыкновенных дифференциальных уравнений, либо системой уравнений в частных производных .

Линейная система дифференциальных уравнений

Как и любая система уравнений, система линейных дифференциальных уравнений называется переопределенной, если уравнений больше, чем неизвестных.

Чтобы переопределенная система имела решение, она должна удовлетворять условиям совместимости . Например, рассмотрим систему:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {i}}} = f_ {i}, 1 \ leq i \ leq m.}$

Тогда необходимые условия для того, чтобы система имела решение:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {k}}} - {\ frac {\ partial f_ {k}} {\ partial x_ {i}}} = 0,1 \ leq i, k \ leq m.}$

См. Также: Задача Коши и фундаментальный принцип Эренпрейса .

Нелинейная система дифференциальных уравнений

Возможно, самый известный пример нелинейной системы дифференциальных уравнений - это уравнения Навье – Стокса . В отличие от линейного случая, существование решения нелинейной системы является сложной проблемой (ср. Существование и гладкость Навье – Стокса ).

См. Также: h-принцип .

Дифференциальная система

Дифференциальная система является средством изучения системы дифференциальных уравнений в частных , используя геометрические идеи , такие как дифференциальные формы и векторных полей.

Например, условия совместимости переопределенной системы дифференциальных уравнений могут быть кратко сформулированы в терминах дифференциальных форм (т.е. форма, чтобы быть точной, она должна быть замкнута). Подробнее см. Условия интегрируемости дифференциальных систем .

См. Также: Категория: дифференциальные системы .

Примечания

Смотрите также

• интегральная геометрия
• Теорема Картана – Кураниши о продолжении

использованная литература

• Л. Эренпрейс, Универсальность преобразования радона , Oxford Univ. Пресса, 2003.
• Громов, М. (1986), Отношения с частными производными, Springer, ISBN  3-540-12177-3
• М. Кураниши, "Лекции по инволютивным системам дифференциальных уравнений в частных производных", Publ. Soc. Мат. Сан-Паулу (1967)
• Пьер Шапира, Микродифференциальные системы в сложной области, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 269, Springer-Verlag, 1985.

дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projection-in-formal-pde-theory
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Involutional_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Complete_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Partial_differential_equations_on_a_manifold