Curvelet - Curvelet

Кривые - это неадаптивный метод многомасштабного представления объекта . Будучи расширением концепции вейвлетов , они становятся популярными в аналогичных областях, а именно в обработке изображений и научных вычислениях .

Вейвлеты обобщают преобразование Фурье , используя основу, которая представляет как местоположение, так и пространственную частоту. Для двумерных или трехмерных сигналов направленное вейвлет-преобразование идет дальше за счет использования базисных функций, которые также локализованы по ориентации . Кривое преобразование отличается от других направленных вейвлет-преобразований тем, что степень локализации в ориентации зависит от масштаба. В частности, мелкомасштабные базисные функции представляют собой длинные гребни; форма базисных функций в масштабе j такова , что мелкомасштабные базы представляют собой тонкие выступы с точно определенной ориентацией. ${\ displaystyle 2 ^ {- j}}$${\ displaystyle 2 ^ {- j / 2}}$

Кривые представляют собой подходящую основу для представления изображений (или других функций), которые являются гладкими, за исключением сингулярностей вдоль гладких кривых, где кривые имеют ограниченную кривизну , то есть где объекты на изображении имеют минимальный масштаб длины. Это свойство справедливо для мультфильмов, геометрических диаграмм и текста. По мере увеличения таких изображений края, которые они содержат, кажутся все более прямыми. Кривые используют это свойство, определяя кривые с более высоким разрешением более вытянутыми, чем кривые с более низким разрешением. Однако естественные изображения (фотографии) не обладают этим свойством; у них есть детали в каждом масштабе. Поэтому для естественных изображений предпочтительно использовать какой-либо вид направленного вейвлет-преобразования, вейвлеты которого имеют одинаковое соотношение сторон на каждом масштабе.

Когда изображение имеет правильный тип, кривые обеспечивают значительно более разреженное представление, чем другие вейвлет-преобразования. Это можно количественно оценить, рассматривая наилучшее приближение геометрического тестового изображения, которое может быть представлено с использованием только вейвлетов, и анализируя ошибку приближения как функцию от . Для преобразования Фурье квадрат ошибки уменьшается только как . Для широкого спектра вейвлет-преобразований, включая как направленные, так и ненаправленные варианты, квадрат ошибки уменьшается как . Дополнительное предположение, лежащее в основе преобразования кривых, позволяет этого добиться . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle O (1 / {\ sqrt {n}})}$${\ Displaystyle О (1 / п)}$${\ Displaystyle О ({(\ журнал п)} ^ {3} / {п ^ {2}})}$

Существуют эффективные численные алгоритмы для вычисления кривых преобразования дискретных данных. Вычислительные затраты на преобразование кривых примерно в 10–20 раз больше, чем на БПФ, и имеют такую ​​же зависимость для изображения размера . ${\ Displaystyle О (п ^ {2} \ журнал п)}$${\ Displaystyle п \ раз п}$

Построение кривой

Чтобы построить базовую кривую и обеспечить замощение двумерного частотного пространства, необходимо следовать двум основным идеям: ${\ displaystyle \ phi}$

1. Рассмотрим полярные координаты в частотной области
2. Создавайте элементы кривых, которые локально поддерживаются рядом с клиньями.

Количество клиньев указано на шкале , т. Е. Удваивается в каждом втором круговом кольце.${\ displaystyle N_ {j} = 4 \ cdot 2 ^ {\ left \ lceil {\ frac {j} {2}} \ right \ rceil}}$${\ displaystyle 2 ^ {- j}}$

Позвольте быть переменной в частотной области и быть полярными координатами в частотной области. ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ xi}} = \ left (\ xi _ {1}, \ xi _ {2} \ right) ^ {T}}$${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ xi _ {1} ^ {2} + \ xi _ {2} ^ {2}}}, \ omega = \ arctan {\ frac {\ xi _ {1}} { \ xi _ {2}}}}$

Мы используем анзац для расширенных основных кривых в полярных координатах:
${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {j, 0,0}: = 2 ^ {\ frac {-3j} {4}} W (2 ^ {- j} r) {\ tilde {V} } _ {N_ {j}} (\ omega), r \ geq 0, \ omega \ in [0,2 \ pi), j \ in N_ {0}}$

Чтобы построить базовую кривую с компактной опорой рядом с «основным клином», два окна и должны иметь компактную опору. Здесь мы можем просто покрыть расширенными кривыми , так что каждое круговое кольцо покрывается перемещениями .${\ displaystyle W}$${\ displaystyle {\ tilde {V}} _ {N_ {j}}}$${\ Displaystyle W (г)}$${\ displaystyle (0, \ infty)}$${\ displaystyle {\ tilde {V}} _ {N_ {j}}}$${\ displaystyle {\ tilde {V}} _ {N_ {j}}}$

Тогда выходы допустимости _{см функций окна для получения дополнительной информации} для плитки круглого кольца в клинья, где произвольное натуральное число, нам нужны -периодическое неотрицательное окно с поддержкой внутри таким образом, что для всех может быть просто построена как -periodizations масштабированного окно . Тогда следует, что
${\ displaystyle \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | W (2 ^ {- j} r) \ right | ^ {2} = 1, r \ in (0, \ infty) .}$

${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle {\ tilde {V}} _ {N}}$${\ displaystyle \ left [{\ frac {-2 \ pi} {N}}, {\ frac {2 \ pi} {N}} \ right]}$
${\ displaystyle \ sum _ {l = 0} ^ {N-1} {\ tilde {V}} _ {N} ^ {2} (\ omega - {\ frac {2 \ pi l} {N}}) = 1}$${\ displaystyle \ omega \ in \ left [0,2 \ pi \ right)}$
${\ displaystyle {\ tilde {V}} _ {N}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle V ({\ гидроразрыва {N \ omega} {2 \ pi}})}$


${\ displaystyle \ sum _ {l = 0} ^ {N_ {j} -1} \ left | 2 ^ {\ frac {3j} {4}} {\ hat {\ phi}} _ {j, 0,0 } (r, \ omega - {\ frac {2 \ pi l} {N_ {j}}}) \ right | ^ {2} = \ left | W (2 ^ {- j} r) \ right | ^ { 2} \ sum _ {l = 0} ^ {N_ {j} -1} {\ tilde {V}} _ {N_ {j}} ^ {2} (\ omega - {\ frac {2 \ pi l} {N}}) = \ left | W (2 ^ {- j} r) \ right | ^ {2}}$

Для полного покрытия частотной плоскости , включая область вокруг нуля, нам нужно определить низкий элемент прохода с , который поддерживается на единичной окружности, и где мы не рассматриваем любое вращение.
${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {- 1}: = W_ {0} (\ left | \ xi \ right |)}$
${\ displaystyle W_ {0} ^ {2} (r) ^ {2}: = 1- \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} W (2 ^ {- j} r) ^ {2}}$

Приложения

• Обработка изображения
• Сейсморазведка
• Механика жидкости
• Решение PDE
• Сжатое зондирование

Смотрите также

• Преобразование Shearlet
• Преобразование Банделе
• Преобразование контура
• Преобразование Френеле
• Чирплет преобразование
• Преобразование шума
• Масштабировать пространство

Ссылки

• Э. Кандес и Д. Донохо, «Curvelets - удивительно эффективное неадаптивное представление для объектов с краями». В: A. Cohen, C. Rabut и L. Schumaker, Editors, Curves and Surface Fitting : Saint-Malo 1999, Vanderbilt University Press, Nashville (2000), pp. 105–120.
• Маджумдар Ангшул Бангла Базовое распознавание символов с использованием преобразования цифровой кривой Журнал исследований распознавания образов ( JPRR ), Том 2. (1) 2007 стр.17-26
• Эммануэль Кандес, Лоран Демане, Дэвид Донохо и Лексинг Инь Быстрые дискретные преобразования кривых
• Цзянвэй Ма, Герлинд Плонка , Преобразование кривой : журнал обработки сигналов IEEE, 2010, 27 (2), 118-133.
• Жан-Люк Старк, Эммануэль Дж. Кандес и Дэвид Л. Донохо, Преобразование кривой для уменьшения шума изображения,: IEEE Transactions on Image Processing, Vol. 11, No. 6, июнь 2002 г.

внешние ссылки

• Curvelet.org домашняя страница