Преобразования синуса и косинуса - Sine and cosine transforms

В математике преобразования синуса и косинуса Фурье являются формами интегрального преобразования Фурье , в которых не используются комплексные числа . Это формы, первоначально использовавшиеся Джозефом Фурье, и все еще предпочитаемые в некоторых приложениях, таких как обработка сигналов или статистика .

Определение

Фурье синуса преобразования из $F (т)$ , иногда обозначаются как или , является ${\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {s} (е)}$

{\ Displaystyle {\ шляпа {е}} ^ {s} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt. }

Если $t$ означает время, то $ν$ - это частота в циклах в единицу времени, но абстрактно они могут быть любой парой переменных, которые двойственны друг другу.

Это преобразование обязательно является нечетной функцией частоты, т.е. для всех $ν$ :

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s} (- \ nu) = - {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu).}

Числовые множители в преобразованиях Фурье однозначно определяются только своим произведением. Здесь, чтобы формула обращения Фурье не имела числового множителя, множитель 2 появляется, потому что синусоидальная функция имеет $L 2$ норму ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}}.}$

Косинус - преобразование Фурье от $F (т)$ , иногда обозначаются как или , является ${\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {c} (е)}$

{\ Displaystyle {\ шляпа {е}} ^ {c} (\ nu) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, dt. }

Это обязательно четная функция частоты, т.е. для всех $ν$ :

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) = {\ hat {f}} ^ {c} (- \ nu).}

Некоторые авторы определяют косинусное преобразование только для четных функций от $t$ , и в этом случае его синусоидальное преобразование равно нулю. Поскольку косинус также четный, можно использовать более простую формулу:

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, dt.}

Точно так же, если $f$ - нечетная функция , то косинусное преобразование равно нулю, а синусоидальное преобразование можно упростить до

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt.}

Другие авторы также определяют косинусное преобразование как

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, dt.}

и синус как

{\ displaystyle {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt.}

Обращение Фурье

Исходная функция $f$ может быть восстановлена из ее преобразования при обычных предположениях, что $f$ и оба ее преобразования должны быть абсолютно интегрируемыми. Дополнительные сведения о различных гипотезах см. В теореме обращения Фурье .

Формула обращения:

{\ Displaystyle е (т) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} ^ {c} (\ nu) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, d \ nu + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, d \ nu,}

которое имеет то преимущество, что все количества реальны. Используя формулу сложения для косинуса , это можно переписать как

{\ Displaystyle е (т) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ cos (2 \ pi \ nu (xt)) \, dx \, d \ nu.}

Если исходная функция $f$ является четной функцией , то синусоидальное преобразование равно нулю; если $f$ - нечетная функция , то косинусное преобразование равно нулю. В любом случае формула обращения упрощается.

Связь с комплексными экспонентами

Форма преобразования Фурье, наиболее часто используемая сегодня, - это

{\ Displaystyle {\ begin {align} {\ hat {f}} (\ nu) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- 2 \ pi i \ nu t } \, dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ left (\ cos (2 \ pi \ nu t) -i \, \ sin (2 \ pi \ nu t) \ right) dt && {\ text {Формула Эйлера}} \\ & = \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ cos (2 \ pi \ nu t) \, dt \ right) -i \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) \ sin (2 \ pi \ nu t) \, dt \ right) \\ [2pt] & = { \ hat {f}} ^ {c} (\ nu) -i {\ hat {f}} ^ {s} (\ nu) \ end {align}}}

Цифровая оценка

Использование стандартных методов численной оценки интегралов Фурье, таких как квадратурная формула Гаусса или тангенса угла зрения, может привести к совершенно неверным результатам, поскольку квадратурная сумма (для большинства представляющих интерес интегрантов) очень плохо обусловлена. Требуются специальные численные методы, использующие структуру колебаний, примером которых является метод Оуры для интегралов Фурье. Этот метод пытается вычислить подынтегральное выражение в положениях, которые асимптотически приближаются к нулям колебаний (синусу или косинусу), быстро уменьшая величина суммируемых положительных и отрицательных слагаемых.

Смотрите также

использованная литература

Уиттакер, Эдмунд и Джеймс Уотсон, Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge Univ. Press, 1927, с. 189, 211

^ «Основные моменты в истории преобразования Фурье» . pulse.embs.org . Проверено 8 октября 2018 .
^ Мэри Л. Боас , Математические методы в физических науках , 2-е изд., John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
^ "Преобразование Фурье, косинус и синус преобразования" . cnyack.homestead.com . Проверено 8 октября 2018 .
^ Пуанкаре, Анри (1895). Аналитическая теория пропаганды шалера . Париж: Ж. Карре. С. 108 и далее.
^ Такуя Оура, Масатаке Мори, Надежная двойная экспоненциальная формула для интегралов типа Фурье , Журнал вычислительной и прикладной математики 112.1-2 (1999): 229-241.

[1] «Основные моменты в истории преобразования Фурье» . pulse.embs.org . Проверено 8 октября 2018 .

[2] Мэри Л. Боас , Математические методы в физических науках , 2-е изд., John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1

[3] "Преобразование Фурье, косинус и синус преобразования" . cnyack.homestead.com . Проверено 8 октября 2018 .

[4] Пуанкаре, Анри (1895). Аналитическая теория пропаганды шалера . Париж: Ж. Карре. С. 108 и далее.

[5] Такуя Оура, Масатаке Мори, Надежная двойная экспоненциальная формула для интегралов типа Фурье , Журнал вычислительной и прикладной математики 112.1-2 (1999): 229-241.

Languages

In other projects