Койфлет - Coiflet

Койфлет с двумя исчезающими моментами

Койфлеты - это дискретные вейвлеты, разработанные Ингрид Добешис по просьбе Рональда Койфмана , чтобы иметь функции масштабирования с исчезающими моментами. Вейвлет почти симметричен, их вейвлет-функции имеют исчезающие моменты и масштабные функции , и они использовались во многих приложениях с использованием операторов Кальдерона – Зигмунда . ${\ Displaystyle N / 3}$${\ displaystyle N / 3-1}$

Теория

Некоторые теоремы о Койфлетах:

Теорема 1.

Для вейвлет-системы следующие три уравнения эквивалентны: ${\ displaystyle \ {\ phi, {\ tilde {\ phi}}, \ psi, {\ tilde {\ psi}}, h, {\ tilde {h}}, g, {\ tilde {g}} \} }$

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ mathcal {M _ {\ tilde {\ psi}}}} (0, l] = 0 & {\ text {for}} l = 0,1, \ ldots, L-1 \\\ сумма _ {n} (- 1) ^ {n} n ^ {l} h [n] = 0 & {\ text {for}} l = 0,1, \ ldots, L-1 \ \ H ^ {(l)} (\ pi) = 0 & {\ text {for}} l = 0,1, \ ldots, L-1 \ end {array}}}$

и аналогичная эквивалентность имеет место между и ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}}$

Теорема 2.

Для вейвлет-системы следующие шесть уравнений эквивалентны: ${\ displaystyle \ {\ phi, {\ tilde {\ phi}}, \ psi, {\ tilde {\ psi}}, h, {\ tilde {h}}, g, {\ tilde {g}} \} }$

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ mathcal {M _ {\ tilde {\ phi}}}} (t_ {0}, l] = \ delta [l] & {\ text {for}} l = 0,1, \ ldots, L-1 \\ {\ mathcal {M _ {\ tilde {\ phi}}}} (0, l] = t_ {0} ^ {l} & {\ text {for}} l = 0,1, \ ldots, L-1 \\ {\ hat {\ phi}} ^ {(} l) (0) = (- jt_ {0}) ^ {t} & {\ text {for} } l = 0,1, \ ldots, L-1 \\\ сумма _ {n} (n-t_ {0}) ^ {l} h [n] = \ delta [l] & {\ text {for} } l = 0,1, \ ldots, L-1 \\\ сумма _ {n} n ^ {l} h [n] = t_ {0} ^ {l} & {\ text {for}} l = 0 , 1, \ ldots, L-1 \\ H ^ {(l)} (0) = (- jt_ {0}) ^ {t} & {\ text {for}} l = 0,1, \ ldots, L-1 \\\ конец {массив}}}$

и аналогичная эквивалентность имеет место между и ${\ Displaystyle {\ тильда {\ psi}}}$${\ displaystyle {\ tilde {h}}}$

Теорема 3.

Для биортогональной вейвлет-системы , если любой из или обладает степенью исчезающих моментов L, то следующие два уравнения эквивалентны: ${\ displaystyle \ {\ phi, \ psi, {\ tilde {\ phi}}, {\ tilde {\ psi}} \}}$${\ Displaystyle {\ тильда {\ psi}}}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ mathcal {M _ {\ tilde {\ psi}}}} (t_ {0}, l] = \ delta [l] & {\ text {for}} l = 0,1, \ ldots, {\ bar {L}} - 1 \\ {\ mathcal {M _ {\ psi}}} (t_ {0}, l] = \ delta [l] & {\ text {для }} l = 0,1, \ ldots, {\ bar {L}} - 1 \\\ end {array}}}$

для любого такого, что ${\ displaystyle {\ bar {L}}}$${\ displaystyle {\ bar {L}} \ ll L}$

Коэффициенты Койфлета

И функция масштабирования (фильтр нижних частот), и функция вейвлета (фильтр верхних частот) должны быть нормализованы на коэффициент . Ниже приведены коэффициенты масштабных функций для C6–30. Вейвлет-коэффициенты получаются путем изменения порядка коэффициентов масштабной функции и последующего изменения знака каждого второго (то есть вейвлет C6 = {−0.022140543057, 0.102859456942, 0.544281086116, −1.205718913884, 0.477859456942, 0.102859456942}). ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2}}}$

Математически это выглядит так, где k - индекс коэффициента, B - вейвлет-коэффициент, а C - коэффициент функции масштабирования. N - индекс вейвлета, т.е. 6 для C6. ${\ Displaystyle B_ {k} = (- 1) ^ {k} C_ {N-1-k}}$

Функция Matlab

F = coifwavf (W) возвращает масштабный фильтр, связанный с вейвлетом Coiflet, заданным строкой W, где W = 'coifN'. Возможные значения для N : 1, 2, 3, 4 или 5.

Рекомендации