Формула Кристоффеля – Дарбу - Christoffel–Darboux formula

В математике теорема Кристоффеля – Дарбу является тождеством последовательности ортогональных многочленов , введенной Элвином Бруно Кристоффелем  ( 1858 г. ) и Жаном Гастоном Дарбу  ( 1878 г. ). В нем говорится, что

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {f_ {j} (x) f_ {j} (y)} {h_ {j}}} = {\ frac {k_ {n}) } {h_ {n} k_ {n + 1}}} {\ frac {f_ {n} (y) f_ {n + 1} (x) -f_ {n + 1} (y) f_ {n} (x )} {xy}}}$

где f _j ( x ) - j- й член набора ортогональных многочленов с квадратом нормы h _j и старшим коэффициентом k _j .

Существует также «сливная форма» этой идентичности:

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {f_ {j} ^ {2} (x)} {h_ {j}}} = {\ frac {k_ {n}} {h_ {n} k_ {n + 1}}} \ left [f_ {n + 1} '(x) f_ {n} (x) -f_ {n}' (x) f_ {n + 1} (x) \ верно].}$

Версия для связанных полиномов Лежандра

В случае ассоциированных многочленов Лежандра соотношение принимает вид:

${\ displaystyle (\ mu - \ mu ') \ sum _ {l = m} ^ {L} \, (2l + 1) {\ frac {(lm)!} {(l + m)!}} \, P_ {lm} (\ mu) P_ {lm} (\ mu ') = {\ frac {(L-m + 1)!} {(L + m)!}} {\ Big [} P_ {L + 1 \, m} (\ mu) P_ {Lm} (\ mu ') -P_ {Lm} (\ mu) P_ {L + 1 \, m} (\ mu') {\ big]}.}$

Смотрите также

• Неравенство Турана
• Цепь Штурма

Рекомендации

• Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции , Энциклопедия математики и ее приложений, 71 , Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-62321-6 , MR   1688958
• Кристоффель, Е.Б. (1858 г.), «Убер die Gaußische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben». , Journal für умереть Reine унд Angewandte Mathematik (на немецком языке ), 55 : 61-82, DOI : 10,1515 / crll.1858.55.61 , ISSN   0075-4102
• Дарбу, Гастон (1878), «Mémoire sur l'approximation des fonctions de très-grands nombres, et sur une classe étendue de développements en série», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке), 4 : 5–56, 377 -416, JFM   10.0279.01
• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1972), Справочник по математическим функциям , Dover Publications, Inc., Нью-Йорк , стр. 785, уравнение. 22.12.1
• Олвер, Фрэнк WJ; Lozier, Daniel W .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (2010), «Справочник NIST по математическим функциям» , Цифровая библиотека математических функций NIST , Cambridge University Press , стр. 438, уравнения. 18.2.12 и 18.2.13, ISBN   978-0-521-19225-5 (Твердый переплет, ISBN   978-0-521-14063-8 Мягкая обложка)
• Саймонс, Фредерик Дж .; Дален, ФА; Вичорек, Марк А. (2006), «Пространственно-спектральная концентрация на сфере», SIAM Review , 48 (1): 504–536, arXiv : math / 0408424 , doi : 10,1137 / S0036144504445765

Эта статья, посвященная математическому анализу, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• т
• е