Ортогональные многочлены - Orthogonal polynomials

В математике , ортогональный многочлен последовательность представляет собой семейство многочленов таких , что любые две различных многочленов последовательности являются ортогональными друг к другу под некоторым внутренним продуктом .

Наиболее широко используются ортогональные полиномы являются классическими ортогональными полиномами , состоящими из полиномов Эрмита , в Лагерру и полиномов Якоби . Эти многочлены Гегенбауэра образуют наиболее важный класс полиномов Якоби; они включают полиномы Чебышева и полиномы Лежандра как частные случаи.

Поле ортогональных многочленов , разработанные в конце 19 - го века при изучении дробей по П. Л. Чебышева и преследовало А. Маркова и TJ Стилтьеса . Они появляются в самых разнообразных областях: численный анализ ( квадратурные правила ), теории вероятностей , теории представлений (из групп Ли , квантовых групп и связанных с ними объектов), перечислительной комбинаторики , алгебраической комбинаторики , математической физики (теория случайных матриц , интегрируемой системы и др.), теория чисел . Некоторые из математиков, которые работали с ортогональными многочленами, включают Габора Сегу , Сергея Бернштейна , Наума Ахиезера , Артура Эрдейи , Якова Геронимуса , Вольфганга Хана , Теодора Сейо Чихара , Мурада Исмаила , Валида Аль-Салама и Ричарда Эски .

Определение случая одной переменной для действительной меры

Для любой неубывающей функции α на действительных числах можно определить интеграл Лебега – Стилтьеса

${\ Displaystyle \ int е (х) \, d \ альфа (х)}$

функции f . Если этот интеграл конечен для всех многочленов f , мы можем определить скалярное произведение на парах многочленов f и g следующим образом:

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int f (x) g (x) \, d \ alpha (x).}$

Эта операция является положительным полуопределенным скалярным произведением на векторном пространстве всех многочленов и положительно определена, если функция α имеет бесконечное число точек роста. Это вызывает понятие ортогональности обычным способом, а именно, что два многочлена ортогональны, если их внутреннее произведение равно нулю.

Тогда последовательность ( P _n ) ^∞
_{п = 0} ортогональных многочленов определяется соотношениями

${\ displaystyle \ deg P_ {n} = n ~, \ quad \ langle P_ {m}, \, P_ {n} \ rangle = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad m \ neq n ~.}$

Другими словами, последовательность получается из последовательности одночленов 1, x , x ² ,… процессом Грама – Шмидта относительно этого внутреннего произведения.

Обычно требуется, чтобы последовательность была ортонормированной , а именно:

${\ Displaystyle \ langle P_ {n}, P_ {n} \ rangle = 1,}$

однако иногда используются другие нормализации.

Абсолютно сплошной корпус

Иногда у нас есть

${\ Displaystyle д \ альфа (х) = W (х) \, dx}$

где

${\ Displaystyle W: [x_ {1}, x_ {2}] \ to \ mathbb {R}}$

неотрицательная функция с опорой на некотором интервале [ x ₁ , x ₂ ] в вещественной прямой (где  допустимы x ₁  = −∞ и x ₂ = ∞). Такая W называется весовой функцией . Тогда внутренний продукт дается

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) g (x) W (x) \, dx.}$

Однако существует множество примеров ортогональных многочленов, в которых мера dα ( x ) имеет точки с ненулевой мерой, где функция α является разрывной, поэтому не может быть задана весовой функцией W, как указано выше.

Примеры ортогональных многочленов

Наиболее часто используемые ортогональные многочлены ортогональны для меры с опорой в реальном интервале. Это включает в себя:

• Классические ортогональные полиномы ( полиномы Якоби , Лагерра , полиномы Эрмита , и их частные случаи Гегенбауэр многочлены , многочлены Чебышева и полиномы Лежандра ).
• Эти полиномы Вильсона , обобщающие полиномы Якоби. Они включают множество ортогональных многочленов в качестве частных случаев, таких как многочлены Мейкснера – Поллачека , непрерывные многочлены Хана , непрерывные двойственные многочлены Хана и классические многочлены, описываемые схемой Аски.
• В полиномы Аски-Вильсона ввести дополнительный параметр д в многочленов Вильсона.

Дискретные ортогональные многочлены ортогональны относительно некоторой дискретной меры. Иногда мера имеет конечный носитель, и в этом случае семейство ортогональных многочленов является конечным, а не бесконечной последовательностью. Эти многочлены Рака являются примерами дискретных ортогональных многочленов, и включают в себя как частные случаи многочленов Хана и сдвоенные многочленов Хана , которые в свою очередь , включают в себя как частные случаи многочленов Мейкснера , полиномы Кравчука и полиномы Шарлье .

Мейкснер классифицировал все ортогональные последовательности Шеффера : есть только Эрмит, Лагер, Шарлье, Мейкснер и Мейкснер – Поллачек. В некотором смысле Кравчук тоже должен быть в этом списке, но это конечная последовательность. Эти шесть семейств соответствуют NEF-QVF и являются мартингальными многочленами для некоторых процессов Леви .

Просеянные ортогональные полиномы , такие как просеянные ультрасферические полиномы , просеянные полиномы Якоби и просеянные полиномы Поллачека , модифицировали рекуррентные соотношения.

Можно также рассматривать ортогональные многочлены для некоторой кривой на комплексной плоскости. Самый важный случай (кроме вещественных интервалов) - это когда кривая представляет собой единичную окружность, дающую ортогональные полиномы на единичной окружности , такие как полиномы Роджерса – Сеге .

Есть несколько семейств ортогональных многочленов, которые ортогональны на плоских участках, таких как треугольники или диски. Иногда их можно записать в терминах полиномов Якоби. Например, полиномы Цернике ортогональны на единичном круге.

Преимущество ортогональности между различными порядками полиномов Эрмита применяется к структуре обобщенного мультиплексирования с частотным разделением (GFDM). В каждой сетке частотно-временной решетки можно переносить более одного символа.

Характеристики

Ортогональные многочлены одной переменной, определяемые неотрицательной мерой на действительной прямой, обладают следующими свойствами.

Отношение к моментам

Ортогональные многочлены P _n можно выразить через моменты

${\ Displaystyle м_ {п} = \ int х ^ {п} \, d \ альфа (х)}$

следующим образом:

${\ displaystyle P_ {n} (x) = c_ {n} \, \ det {\ begin {bmatrix} m_ {0} & m_ {1} & m_ {2} & \ cdots & m_ {n} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} & \ cdots & m_ {n + 1} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ m_ {n-1} & m_ {n} & m_ {n + 1 } & \ cdots & m_ {2n-1} \\ 1 & x & x ^ {2} & \ cdots & x ^ {n} \ end {bmatrix}} ~,}$

где постоянные c _n произвольны (зависят от нормировки P _n ).

Отношение повторения

Многочлены P _n удовлетворяют рекуррентному соотношению вида

${\ Displaystyle P_ {n} (x) = (A_ {n} x + B_ {n}) P_ {n-1} (x) + C_ {n} P_ {n-2} (x) ~.}$

Обратный результат см. В теореме Фавара .

Формула Кристоффеля – Дарбу

Нули

Если мера d α поддерживается на отрезке [ a ,  b ], все нули P _n лежат в [ a ,  b ]. Более того, нули обладают следующим свойством чередования: если m  <  n , существует нуль P _n между любыми двумя нулями  P _m . Могут быть даны электростатические интерпретации нулей.

Комбинаторная интерпретация

С 1980-х годов с работами XG Viennot, J. Labelle, Y.-N. Йе, Д. Фоата и др. Комбинаторные интерпретации были найдены для всех классических ортогональных многочленов.

Многомерные ортогональные многочлены

Эти многочлены Макдональда ортогональные многочлены от нескольких переменных, в зависимости от выбора аффинной корневой системы. Они включают в себя множество других семейств многомерных ортогональных многочленов в качестве частных случаев, в том числе полиномов Джека , по полиномам Холла-Литтлвуд , по полиномам Heckman-Опдам , и полиномов Koornwinder . Эти полиномы Асков-Вильсон являются частным случаем многочленов Макдональда для некоторой нередуцированной корневой системы 1 -го ранга.

Смотрите также

• Последовательность апелляций
• Схема Аски гипергеометрических ортогональных многочленов
• Теорема Фавара
• Полиномиальные последовательности биномиального типа
• Биортогональные полиномы
• Обобщенный ряд Фурье
• Вторичная мера
• Последовательность Шеффера
• Теория Штурма-Лиувилля
• Темное исчисление

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN.   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . Руководство по ремонту   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Чихара, Теодор Сейо (1978). Введение в ортогональные многочлены . Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN   0-677-04150-0 .
• Чихара, Теодор Сейо (2001). «45 лет ортогональных многочленов: взгляд с крыльев» . Труды Пятого Международного симпозиума по ортогональным многочленам, специальным функциям и их приложениям (Patras, 1999). Журнал вычислительной и прикладной математики . 133 (1): 13–21. Bibcode : 2001JCoAM.133 ... 13С . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (00) 00632-4 . ISSN   0377-0427 . Руководство по ремонту   1858267 .
• Фонканнон, JJ; Фонканнон, JJ; Пеконен, Осмо (2008). "Обзор классических и квантовых ортогональных многочленов от одной переменной Мурада Исмаила". Математический интеллигент . Springer Нью-Йорк. 30 : 54–60. DOI : 10.1007 / BF02985757 . ISSN   0343-6993 . S2CID   118133026 .
• Исмаил, Мурад Э.Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN   0-521-78201-5 .
• Джексон, Данэм (2004) [1941]. Ряды Фурье и ортогональные многочлены . Нью-Йорк: Дувр. ISBN   0-486-43808-2 .
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-19225-5 , MR   2723248
• "Ортогональные многочлены" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Сегё, Габор (1939). Ортогональные многочлены . Публикации коллоквиума. XXIII . Американское математическое общество. ISBN   978-0-8218-1023-1 . Руководство по ремонту   0372517 .
• П. Сиркар, Р. Б. Пачори и Р. Кумар, Анализ ритмов сигналов ЭЭГ с использованием ортогональной полиномиальной аппроксимации, Международная конференция ACM по конвергенции и гибридным информационным технологиям, стр. 176–180, 27–29 августа 2009 г., Тэджон, Южная Корея.
• Тотик, Вилмос (2005). «Ортогональные многочлены». Обзоры по теории приближений . 1 : 70–125. arXiv : math.CA/0512424 .
• Чан, А. Миронов, А. Морозов, А. Слепцов, arXiv : 1712.03155 .