Пакетная карта - Bundle map

В математике , А отображение расслоения (или расслоение морфизм ) является морфизмом в категории из пучков волокон . Существует два различных, но тесно связанных понятия карты расслоения, в зависимости от того, имеют ли рассматриваемые расслоения общее базовое пространство . Существует также несколько вариантов основной темы, в зависимости от того, какая именно категория пучков волокон рассматривается. В первых трех параграфах мы будем рассматривать общие расслоения в категории топологических пространств . Затем в четвертом разделе будут приведены некоторые другие примеры.

Объединяйте карты по общей базе

Пусть и быть расслоение над пространством М . Тогда отображение расслоения из E в F над M - это непрерывное отображение, такое что . То есть диаграмма ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ двоеточие от E \ до M}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ двоеточие с F \ на M}$${\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие от E \ до F}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = \ pi _ {E}}$

должен ездить на работу . Эквивалентно, для любой точки х в М , отображают волокна из Е над й к волокну из F над й . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle E_ {x} = \ pi _ {E} ^ {- 1} (\ {x \})}$${\ displaystyle F_ {x} = \ pi _ {F} ^ {- 1} (\ {x \})}$

Общие морфизмы расслоений

Пусть π _E : E → M и π _F : F → N расслоения над пространствами M и N соответственно. Тогда непрерывное отображение называется отображением расслоения из E в F, если существует непрерывное отображение f : M → N такое, что диаграмма ${\ displaystyle \ varphi: E \ to F}$

коммутирует, то есть . Другими словами, это волокно , сохраняющее , и е представляет собой индуцированное отображение на пространстве волокон E : с π _Е сюръективна, F однозначно определяется . Для данного f такое отображение расслоения называется отображением расслоения, покрывающим f . ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = f \ circ \ pi _ {E}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Связь двух понятий

Непосредственно из определений следует , что расслоение на карту над M (в первом смысле) это то же самое , как расслоение карты , охватывающей тождественное отображение М .

И наоборот, общие карты расслоения могут быть сведены к картам расслоения над фиксированным базовым пространством, используя понятие обратного расслоения . Если π _F : F → N является расслоением над N и F : M → N непрерывное отображение, то откат из F по F является расслоением F ^* F над M , слой которого над х дается формулой ( F ^* F ) _х = F _{f ( х )} . Из этого следует , что расслоение отображение из Е в F , покрывающие е это то же самое , как расслоение отображения из Е в F ^* F над М .

Варианты и обобщения

Есть два вида вариаций общего понятия карты расслоения.

Во-первых, можно рассматривать расслоения в другой категории пространств. Это приводит, например, к понятию гладкого отображения расслоения между гладкими расслоениями над гладким многообразием .

Во-вторых, можно рассматривать расслоения с дополнительной структурой в своих слоях и ограничиваться отображениями расслоений, которые сохраняют эту структуру. Это приводит, например, к понятию гомоморфизма (векторного) расслоения между векторными расслоениями , в котором слои являются векторными пространствами, а отображение расслоения φ должно быть линейным отображением на каждом слое. В этом случае такое отображение расслоения φ (покрытие f ) можно также рассматривать как сечение векторного расслоения Hom ( E , f ^* F ) над M , слой которого над x является векторным пространством Hom ( E _x , F _{f ( x )} ) (также обозначаемый L ( E _x , F _{f ( x )} )) линейных отображений из E _x в F _{f ( x )} .