Алгебра Брауэра - Brauer algebra

В математике алгебра Брауэра - это алгебра, введенная Ричардом Брауэром  ( 1937 , раздел 5) и используемая в теории представлений ортогональной группы . Он играет ту же роль, что и симметрическая группа для теории представлений полной линейной группы в двойственности Шура – ​​Вейля .

Определение

Что касается диаграмм

Произведение двух базисных элементов A и B алгебры Брауэра с n  = 12

Алгебра Брауэра является -алгеброй, зависящей от выбора натурального числа n . Вот это неопределенный, но на практике часто специализируются на измерение фундаментального представления о качестве ортогональной группы . Алгебра Брауэра имеет размерность и имеет базис , состоящий из всех пар на множестве элементов (то есть, все совершенные паросочетания из более полного графа : любые два из элементов могут быть согласованы друг с другом, независимо от их символов). Элементы обычно записываются в ряд с элементами под ними. Произведение двух базовых элементов и получается путем первой идентификации конечных точек в нижней строке и верхней строки (рисунок AB на диаграмме), затем удаления конечных точек в средней строке и соединения конечных точек в оставшихся двух строках, если они соединяются напрямую или путем пути в AB (рисунок AB = nn на схеме). Тем самым удаляются все замкнутые петли в середине AB . Затем произведение базовых элементов определяется как базовый элемент, соответствующий новой паре, умноженный на где - количество удаленных циклов. В примере . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {B}} _ {п} (\ дельта)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ delta]}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle O_ {d} (К)}$${\ displaystyle {\ frac {(2n)!} {2 ^ {n} n!}} = (2n-1) (2n-3) \ cdots 5 \ cdot 3 \ cdot 1}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n}, Y_ {1}, ..., Y_ {n}}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle Y_ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ cdot B}$${\ displaystyle \ delta ^ {r}}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle A \ cdot B = \ delta ^ {2} AB}$

С точки зрения генераторов и отношений

${\ Displaystyle {\ mathfrak {B}} _ {п} (\ дельта)}$также может быть определена как -алгебра с образующими, удовлетворяющими следующим соотношениям: ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ delta]}$${\ displaystyle s_ {1}, \ ldots, s_ {a-1}, e_ {1}, \ ldots, e_ {a-1}}$

• Отношения симметрической группы :

${\ displaystyle s_ {i} ^ {2} = 1}$

${\ displaystyle s_ {i} s_ {j} = s_ {j} s_ {i}}$ в любое время ${\ displaystyle | ij |> 1}$

${\ displaystyle s_ {i} s_ {i + 1} s_ {i} = s_ {i + 1} s_ {i} s_ {i + 1}}$

• Почти идемпотентное отношение:

${\ displaystyle e_ {i} ^ {2} = \ delta e_ {i}}$

• Коммутация:

${\ displaystyle e_ {i} e_ {j} = e_ {j} e_ {i}}$

${\ displaystyle s_ {i} e_ {j} = e_ {j} s_ {i}}$

в любое время${\ displaystyle | ij |> 1}$

• Клубок отношений

${\ Displaystyle е_ {я} е_ {я \ pm 1} е_ {я} = е_ {я}}$

${\ displaystyle s_ {i} s_ {i \ pm 1} e_ {i} = e_ {i \ pm 1} e_ {i}}$

${\ displaystyle e_ {i} s_ {i \ pm 1} s_ {i} = e_ {i} e_ {i \ pm 1}}$

• Раскрутка:

${\ displaystyle s_ {i} e_ {i} = e_ {i} s_ {i} = e_ {i}}$:

${\ Displaystyle е_ {я} s_ {я \ pm 1} е_ {я} = е_ {я}}$

В этой презентации представлена ​​диаграмма, на которой всегда подключается к непосредственно под ней, за исключением и, которые подключены к и соответственно. Аналогичным образом представлена ​​диаграмма, на которой всегда подключен к непосредственно под ним, за исключением того, что он подключен к и к . ${\ displaystyle s_ {i}}$${\ displaystyle X_ {k}}$${\ displaystyle Y_ {k}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle X_ {я + 1}}$${\ displaystyle Y_ {я + 1}}$${\ displaystyle Y_ {i}}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle X_ {k}}$${\ displaystyle Y_ {k}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle X_ {я + 1}}$${\ displaystyle Y_ {i}}$${\ displaystyle Y_ {я + 1}}$

Характеристики

Подалгебра, порожденная группой, является групповой алгеброй симметрической группы. Алгебра Брауэра - клеточная алгебра . ${\ displaystyle s_ {i}}$

Действие на тензорные степени

Позвольте быть евклидовым векторным пространством размерности . Затем укажите специализацию, где действует умножение на . Тензор мощность , естественно, - модуль : действует путем переключения й и й фактора тензорного и действует сжатие с последующим расширением в е и й факторе тензора, то есть действует как ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle B_ {n} (d)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z} [\ delta]} {\ mathfrak {B}} _ {n} (\ delta)}$${\ displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle V ^ {\ otimes n}: = \ underbrace {V \ otimes \ cdots \ otimes V} _ {n {\ text {times}}}}$${\ displaystyle B_ {n} (d)}$${\ displaystyle s_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle (я + 1)}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle (я + 1)}$${\ displaystyle e_ {i}}$

${\ displaystyle v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {i-1} \ otimes (v_ {i} \ otimes v_ {i + 1}) \ otimes \ cdots \ otimes v_ {n} \ mapsto v_ {1 } \ otimes \ cdots \ otimes v_ {i-1} \ otimes (\ langle v_ {i}, v_ {i + 1} \ rangle \ sum _ {k = 1} ^ {d} e_ {k} \ otimes e_ {k}) \ otimes \ cdots \ otimes v_ {n}}$

где - любой ортонормированный базис (сумма фактически не зависит от выбора такого базиса). ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {d}}$${\ displaystyle V}$

Это действие полезно в обобщении двойственности Шура-Вейля : образ внутреннего является в точности централизатором внутреннего и наоборот. Таким образом, тензорная степень является как -, так и a -модулем и удовлетворяет ${\ displaystyle B_ {n} (d)}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (V ^ {\ otimes n})}$${\ Displaystyle O (V)}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (V ^ {\ otimes n})}$${\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}$${\ Displaystyle O (V)}$${\ displaystyle B_ {n} (d)}$

${\ displaystyle V ^ {\ otimes n} = \ bigoplus _ {\ lambda} U _ {\ lambda} \ boxtimes W _ {\ lambda}}$

где пробегает определенные разбиения и неприводимые - и -модули, связанные соответственно. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle U _ {\ lambda}, W _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle O (V)}$${\ displaystyle B_ {n} (d)}$${\ displaystyle \ lambda}$

Ортогональная группа

Если O _d ( R ) - ортогональная группа, действующая на V = R ^d , то алгебра Брауэра имеет естественное действие на пространстве многочленов на V ^n, коммутирующее с действием ортогональной группы.

Смотрите также

• Алгебра Бирмана – Венцля , деформация алгебры Брауэра.

Рекомендации

• Брауэра, Ричард (1937), "Об алгебр , которые связаны с Полупростыми непрерывными группами", Анналы математики , второй серия, Annals математики, 38 (4): 857-872, да : 10,2307 / 1968843 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1968843
• Wenzl, Ганс (1988), "О структуре центрирующих алгебр Брауэра", Анналы математики , второй серии, 128 (1): 173-193, DOI : 10,2307 / 1971466 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1971466 , МР  0951511
• Вейль, Герман (1946), Классические группы: их инварианты и представления , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR  0000255 , получено 26 марта 2007 г.