Теорема Брахмагупты - Brahmagupta theorem

${\ displaystyle {\ overline {BD}} \ perp {\ overline {AC}}, {\ overline {EF}} \ perp {\ overline {BC}}}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow | {\ overline {AF}} | = | {\ overline {FD}} |}$

В геометрии , теорема Брахмагупты гласит , что если циклический четырехугольник есть orthodiagonal (то есть, имеет перпендикулярные диагонали ), то перпендикулярно к стороне от точки пересечения диагоналей всегда делит пополам сторону , противоположную. Он назван в честь индийского математика Брахмагупты (598-668).

Более конкретно, пусть A , B , C и D - четыре точки на окружности, так что прямые AC и BD перпендикулярны. Обозначим пересечение АС и BD с помощью M . Отбросьте перпендикуляр от М до линии до н.э. , вызывая пересечение Е . Пусть F - пересечение прямой EM и ребра AD . Тогда теорема утверждает, что F - середина AD .

Доказательство

Доказательство теоремы.

Нам нужно доказать, что AF = FD . Мы докажем, что и AF, и FD на самом деле равны FM .

Чтобы доказать, что AF = FM , сначала обратите внимание, что углы FAM и CBM равны, потому что это вписанные углы, которые пересекают одну и ту же дугу окружности. Кроме того, оба угла CBM и CME являются дополнительными к углу BCM (т. Е. В сумме они составляют 90 °) и, следовательно, равны. Наконец, углы CME и FMA совпадают. Следовательно, AFM - равнобедренный треугольник , а значит, стороны AF и FM равны.

Доказательство того, что FD = FM, проводится аналогично: углы FDM , BCM , BME и DMF равны, поэтому DFM - равнобедренный треугольник, поэтому FD = FM . Следовательно, AF = FD , как утверждает теорема.

Смотрите также

• Формула Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

Ссылки

внешние ссылки

• Теорема Брахмагупты в ProofWiki
• Теорема Брахмагупты при разрубании узла
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Брахмагупты» . MathWorld .