Брахмагупта - Brahmagupta

Брахмагупта
Брахмагупта
Родился	c. 598 г. н.э.
Умер	c. 668 г. н. Э. (В возрасте около 59–60 лет)
Известен
	Научная карьера
Поля	Астрономия , математика
Под влиянием	Практически вся последующая математика, особенно индийская и исламская математика

Брахмагупта ( ок. 598 - ок. 668 н . Э. ) Был индийским математиком и астрономом . Он является автором двух ранних работ по математике и астрономии : Brāhmasphuṭasiddhānta (БСС «правильно установлено учение о Брахмы », датированный 628), теоретический трактат, и Khaṇḍakhādyaka ( «съедобный укусить», датированный 665), более практичным текст.

Брахмагупта был первым, кто дал правила вычислений с нулем . Тексты, составленные Брахмагуптой, были написаны эллиптическими стихами на санскрите , что было обычной практикой в индийской математике . Поскольку никаких доказательств не приводится, неизвестно, как были получены результаты Брахмагупты.

Жизнь и карьера

Брахмагупта родился в 598 году н.э., согласно его собственному утверждению. Он жил в Бхилламале в Гурджарадеше (современный Бхинмал в Раджастане , Индия) во время правления правителя династии Чавда , Вьяграхамукхи . Он был сыном Джишнугупты и был индуистом по религии, в частности, шиваитом . Он жил и работал там большую часть своей жизни. Притхудака Свамин , более поздний комментатор, называл его Бхилламалачарья , учителем из Бхилламалы.

Бхилламала была столицей Гурджарадеши , второго по величине королевства Западной Индии, включающего южный Раджастхан и северный Гуджарат в современной Индии. Это также был центр изучения математики и астрономии. Брахмагупта стал астрономом школы Брахмапакша , одной из четырех основных школ индийской астрономии того периода. Он изучил пять традиционных сиддхант по индийской астрономии, а также работы других астрономов, включая Арьябхату I , Латадеву, Прадьюмну, Варахамихиру , Симху, Шрисену, Виджаянандина и Вишнучандру.

В 628 году, в возрасте 30 лет , он написал Brāhmasphuṭasiddhānta ( «улучшенный трактат Брахмы») , который , как полагают, пересмотренная версия принятого сиддханте в Brahmapaksha школе астрономии. Ученые утверждают, что он вложил много оригинальности в свою редакцию, добавив значительное количество нового материала. Книга состоит из 24 глав со 1008 стихами в метре арья . По большей части это астрономия, но она также содержит ключевые главы по математике, включая алгебру, геометрию, тригонометрию и алгоритмику, которые, как полагают, содержат новые идеи, сделанные самим Брахмагуптой.

Позже Брахмагупта переехал в Удджайни , Аванти , который также был крупным центром астрономии в центральной Индии. В возрасте 67 лет он написал свою следующую известную работу Khanda-khādyaka , практическое руководство по индийской астрономии в категории карана, предназначенное для студентов.

Брахмагупта умер в 668 году нашей эры, и предполагается, что он умер в Удджайне.

Работает

Брахмагупта составил следующие трактаты:

Brāhmasphuasiddhānta , составленный в 628 году нашей эры.
Хатахадяка , составленная в 665 г. н.э.
Grahaṇārkajñāna (приписывается в одной рукописи)

Прием

Математические достижения Брахмагупты были продолжены Бхаскарой II , прямым потомком в Удджайне, который описал Брахмагупту как ганака-чакра-чудамани (жемчужина круга математиков). Притхудака Свамин написал комментарии к обеим своим работам, переводя сложные стихи на более простой язык и добавляя иллюстрации. Лалла и Бхаттотпала в VIII и IX веках написали комментарии к Кханда-хадьяке . Дальнейшие комментарии продолжали писать в 12 веке.

Через несколько десятилетий после смерти Брахмагупты Синд перешел под власть Арабского халифата в 712 году нашей эры. Экспедиции были отправлены в Гурджарадешу (« Аль-Байламан в Джурзе », по мнению арабских историков). Королевство Бхилламала, похоже, было уничтожено, но Удджайн отбил атаки . Двор халифа аль-Мансура (754–775) принял посольство из Синда, в том числе астролога по имени Канака, который принес (возможно, запомнил) астрономические тексты, в том числе тексты Брахмагупты. Тексты Брахмагупты были переведены на арабский язык Мухаммадом аль-Фазари , астрономом при дворе Аль-Мансура под именами Синдхинд и Аракханд . Непосредственным результатом стало распространение десятичной системы счисления, используемой в текстах. Математик Аль-Хорезми (800–850 гг. Н.э.) написал текст под названием al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Сложение и вычитание в индийской арифметике), который был переведен на латынь в 13 веке как Algorithmi de numero indorum . Благодаря этим текстам десятичная система счисления и арифметические алгоритмы Брахмагупты распространились по всему миру. Аль-Хорезми также написал свою собственную версию Синдхинда , опираясь на версию Аль-Фазари и включив элементы Птолемея. Индийский астрономический материал широко распространялся на протяжении веков, даже переходя в средневековые латинские тексты.

Историк науки Джордж Сартон назвал Брахмагупту «одним из величайших ученых своей расы и величайшим ученым своего времени».

Математика

Алгебра

Брахмагупта дал решение общего линейного уравнения в восемнадцатой главе Брахмаспхунасиддханты ,

Разница между рупами , когда инвертируется и делится на разность [коэффициентов] неизвестных, является неизвестным в уравнении. В rupas являются [вычитают на стороне] ниже, из которых квадрат и неизвестное должны быть вычтены.

которое является решением уравнения $bx + c = dx + e,$ где rupas относится к константам $c$ и $e$ . Данное решение эквивалентно $x =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} е - с/б - г$ . Далее он дал два эквивалентных решения общего квадратного уравнения

18,44. Уменьшить на среднее [число] квадратный корень из руп, умноженный на четыре квадрата и умноженный на квадрат среднего [числа]; остаток разделите на квадрат вдвое. [Результат] среднее [число].
18,45. Независимо от того, что является квадратным корнем из руп, умноженным на квадрат [и] умноженным на квадрат половины неизвестного, уменьшенным на половину неизвестного [и] разделив [остаток] на его квадрат. [Результат] неизвестное.

которые являются, соответственно, решениями уравнения $ax 2 + bx = c,$ эквивалентными,

{\ displaystyle x = {\ frac {\ pm {\ sqrt {4ac + b ^ {2}}} - b} {2a}}}

а также

{\ displaystyle x = {\ frac {\ pm {\ sqrt {ac + {\ tfrac {b ^ {2}} {4}}}} - {\ tfrac {b} {2}}} {a}}}

Он продолжил решение систем одновременных неопределенных уравнений, в которых утверждалось, что сначала необходимо изолировать желаемую переменную, а затем разделить уравнение на коэффициент желаемой переменной . В частности, он рекомендовал использовать «измельчитель» для решения уравнений с несколькими неизвестными.

18.51. Вычтите цвета, отличные от первого цвета. [Остаток], деленный на первый [коэффициент цвета], является мерой первого. [Термины] два на два [считаются] [сводятся к] аналогичным делителям [и так далее] повторно. Если [цветов] много, то [следует использовать] измельчитель.

Подобно алгебре Диофанта , алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение было обозначено размещением чисел рядом, вычитание - помещением точки над вычитаемым, а деление - помещением делителя под делимым, аналогично нашим обозначениям, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих терминов. Степень греческого влияния на это синкопирование , если таковое имеется, неизвестна, и возможно, что и греческое, и индийское синкопирование могут происходить из общего вавилонского источника.

Арифметика

Четыре основных операции (сложение, вычитание, умножение и деление) были известны во многих культурах до Брахмагупты. Эта нынешняя система основана на индуистско-арабской системе счисления и впервые появилась в Брахмаспхунасиддханте . Брахмагупта описывает умножение следующим образом:

Множаемое повторяется, как строка для крупного рогатого скота, столько раз, сколько в множителе есть интегрируемые части, и многократно умножается на них, а произведения складываются. Это умножение. Или множимое повторяется столько раз, сколько составных частей множителя.

Индийская арифметика была известна в средневековой Европе как modus Indorum, что означает «метод индейцев». В « Брахмаспхунасиддханте» описаны четыре метода умножения, включая гомутрику , которая, как говорят, близка к современным методам. В начале двенадцатой главы своей Brāhmasphuasiddhānta , озаглавленной «Вычисление», Брахмагупта подробно описывает операции с дробями. Ожидается, что читатель знает основные арифметические операции, вплоть до извлечения квадратного корня, хотя он объясняет, как найти куб и кубический корень из целого числа, а затем дает правила, облегчающие вычисление квадратов и квадратных корней. Затем он дает правила работы с пятью типами комбинаций дробей: $а / c + б / c$ ; $а / c \times б / d$ ; $а / 1 + б / d$ ; $а / c + б / d \times а / c знак равно а (г + б) / CD$ ; а также $а / c - б / d \times а / c знак равно а (г - б) / CD$ .

Серии

Затем Брахмагупта приводит сумму квадратов и кубиков первых $n$ целых чисел.

12.20. Сумма квадратов равна тому, что [сумма], умноженная на два, [количество] шагов, увеличивается на единицу [и] делится на три. Сумма кубиков - это квадрат этой [суммы]. Груды из них с одинаковыми шарами [также можно вычислить].

Здесь Брахмагупта нашел результат в терминах суммы первых $n$ целых чисел, а не в терминах $n,$ как это принято в современной практике.

Он дает сумму квадратов первых $n$ натуральных чисел как $п (п + 1) (2 п + 1) / 6$ и сумма кубиков первых n натуральных чисел как $(п (п + 1) / 2) 2$ .

Нуль

« Брахмаспхушасиддханта» Брахмагупты - первая книга, в которой представлены правила арифметических операций , применимые к нулю и отрицательным числам . Brāhmasphuṭasiddhānta является самым ранним из известного текста лакомства нуля как число в своем собственном праве, а не просто как заполнитель цифра в представлении другого номера , как это было сделано в Вавилоне или как символ отсутствия количества , как это было сделано Птолемеем и что римляне . В восемнадцатой главе своей Брахмаспхунасиддханты Брахмагупта описывает операции с отрицательными числами. Сначала он описывает сложение и вычитание,

18.30. [Сумма] двух положительных моментов - положительных, двух отрицательных - отрицательных; положительного и отрицательного [сумма] - их разница; если они равны, он равен нулю. Сумма отрицательного значения и нуля отрицательна, [сумма] положительного и нулевого положительного, [и эта] двух нулей равна нулю.

[...]

18.32. Отрицательный минус ноль - отрицательный, положительный [минус ноль] положительный; ноль [минус ноль] равен нулю. Когда положительное должно быть вычтено из отрицательного или отрицательное из положительного, тогда оно должно быть добавлено.

Он продолжает описывать умножение,

18.33. Произведение отрицательного и положительного отрицательно, двух отрицательных положительных и положительных положительных; произведение нуля и отрицательного числа, нуля и положительного числа или двух нулей равно нулю.

Но его описание деления на ноль отличается от нашего современного понимания:

18,34. Положительное, разделенное на положительное, или отрицательное, разделенное на отрицательное, является положительным; ноль, деленный на ноль, равен нулю; положительное, разделенное на отрицательное, - отрицательное; отрицательный разделенный на положительный [также] отрицательный.
18.35. Отрицательное или положительное, деленное на ноль, имеет этот [ноль] в качестве делителя, или ноль, деленный на отрицательное или положительное [имеет этот отрицательный или положительный знак в качестве делителя]. Квадрат отрицательного или положительного - положительный; [квадрат] нуля равен нулю. То, из чего [квадрат] является квадратом, есть [его] квадратный корень.

Здесь Брахмагупта заявляет, что 0/0 = 0, а что касается вопроса о $а$ /0где $a$ ≠ 0 он не брал на себя обязательств. Его правила арифметического на отрицательных чисел и нуля довольно близки к современному пониманию, за исключением того, что в современной математике деление на ноль слева неопределенными .

Диофантов анализ

Пифагорейские тройни

В двенадцатой главе своей Brāhmasphuṭasiddhānta Брахмагупта приводит формулу, полезную для создания пифагорейских троек :

12,39. Высота горы, умноженная на данный множитель, и есть расстояние до города; не стирается. Когда он делится на множитель, увеличенный на два, это прыжок одного из двоих, совершающих одно и то же путешествие.

Или, другими словами, если $d = mx / х + 2$ , то путешественник, который "прыгает" вертикально вверх на расстояние $d$ от вершины горы высотой $m$ , а затем едет по прямой к городу на горизонтальном расстоянии $mx$ от основания горы, преодолевает такое же расстояние, как тот, кто спускается вертикально вниз с горы, а затем идет по горизонтали к городу. С геометрической точки зрения $это$ означает, что если прямоугольный треугольник имеет длину основания $a$ $=$ $mx$ и высоту $b = m + d$ , то длина $c$ его гипотенузы определяется выражением $c = m (1 + x). - d$ . И действительно, элементарные алгебраические манипуляции показывают, что $a 2 + b 2 = c 2$ всякий раз, когда $d$ имеет указанное значение. Кроме того, если $m$ и $x$ рациональны, то также будут $d$ , $a$ , $b$ и $c$ . Следовательно, тройку Пифагора можно получить из $a$ , $b$ и $c$ , умножив каждую из них на наименьшее общее кратное их знаменателей .

Уравнение Пелла

Брахмагупта дал рекуррентное соотношение для генерации решений некоторых примеров диофантовых уравнений второй степени, таких как $Nx 2 + 1 = y 2$ (называемое уравнением Пелля ), с помощью алгоритма Евклида . Алгоритм Евклида был известен ему как «измельчитель», поскольку он разбивает числа на все более мелкие части.

Характер квадратов:
18,64. [Положите] удвоенный квадратный корень из данного квадрата на множитель и увеличьте или уменьшите на произвольное [число]. Произведение первой [пары], умноженное на множитель, на произведение последней [пары] вычисляется последним.
18,65. Сумма произведений молнии - первая. Добавка равна продукту добавок. Два квадратных корня, разделенные на аддитивное или вычитающее, являются аддитивными рупами .

Ключом к его решению была личность,

{\ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -Ny_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -Ny_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + Ny_ {1} y_ {2}) ^ {2} -N (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2}}

что является обобщением тождества, открытого Диофантом ,

{\ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -y_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -y_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + y_ {1} y_ {2}) ^ {2} - (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2}.}

Используя его тождество и тот факт, что если $(x 1, y 1)$ и $(x 2, y 2)$ являются решениями уравнений $x 2 - Ny 2 = k 1$ и $x 2 - Ny 2 = k 2$ , соответственно, то $(x 1 x 2 + Ny 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1)$ является решением $x 2 - Ny 2 = k 1 k 2$ , он смог найти интегральные решения уравнения Пелла с помощью ряда уравнений вида $x 2 - Ny 2 = k i$ . Брахмагупта не смог применить свое решение единообразно для всех возможных значений $N$ , скорее он смог только показать, что если $x 2 - Ny 2 = k$ имеет целочисленное решение для $k$ = ± 1, ± 2 или ± 4, то $x 2 - Ny 2 = 1$ имеет решение. Решение общего уравнения Пелла должно было подождать Бхаскара II в c. 1150 CE .

Геометрия

Формула Брахмагупты

Схема для справки

Самый известный результат Брахмагупты в геометрии - это его формула для циклических четырехугольников . Учитывая длины сторон любого вписанного четырехугольника, Брахмагупта дал приблизительную и точную формулу для площади фигуры:

12.21. Приблизительная площадь равна произведению половин сумм сторон и противоположных сторон треугольника и четырехугольника. Точная [площадь] - это квадратный корень из произведения половин сумм сторон, уменьшенных на [каждую] сторону четырехугольника.

Таким образом, учитывая длины $p$ , $q$ , $r$ и $s$ вписанного четырехугольника, приблизительная площадь равна $п + г / 2 \cdot q + s / 2$ в то время как, полагая $t = п + д + г + с / 2$ , точная площадь

\sqrt (t - p) (t - q) (t - r) (t - s)

.

Хотя Брахмагупта прямо не заявляет, что эти четырехугольники циклические, из его правил очевидно, что это так. Формула Герона является частным случаем этой формулы, и ее можно получить, установив одну из сторон равной нулю.

Треугольники

Брахмагупта посвятил значительную часть своих работ геометрии. Согласно одной теореме длины двух отрезков, на которые делится основание треугольника, определяется его высотой:

12.22. База уменьшалась и увеличивалась на разность квадратов сторон, разделенных основанием; при делении на два они являются настоящими сегментами. Перпендикуляр [высота] - это квадратный корень из квадрата стороны, уменьшенный на квадрат ее сегмента.

Таким образом, длины двух сегментов равны $1 / 2 (b \pm с 2 - а 2 / б)$ .

Далее он дает теорему о рациональных треугольниках . Треугольник с рациональными сторонами $a$ , $b$ , $c$ и рациональной площадью имеет вид:

{\ displaystyle a = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {u ^ {2}} {v}} + v \ right), \ \ b = {\ frac {1} {2 }} \ left ({\ frac {u ^ {2}} {w}} + w \ right), \ \ c = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {u ^ {2 }} {v}} - v + {\ frac {u ^ {2}} {w}} - w \ right)}

для некоторых рациональных чисел $u$ , $v$ и $w$ .

Теорема Брахмагупты

Теорема Брахмагупты утверждает, что AF = FD .

Брахмагупта продолжает:

12.23. Квадратный корень из суммы двух произведений сторон и противоположных сторон неравного четырехугольника - это диагональ. Квадрат диагонали уменьшается на квадрат половины суммы основания и вершины; квадратный корень - это перпендикуляр [высоты].

Итак, в «неравном» циклическом четырехугольнике (то есть равнобедренной трапеции ) длина каждой диагонали равна $\sqrt pr + qs$ .

Он продолжает давать формулы для длин и площадей геометрических фигур, таких как радиус описанной окружности равнобедренной трапеции и разностороннего четырехугольника, а также длины диагоналей разностороннего циклического четырехугольника. Это приводит к знаменитой теореме Брахмагупты ,

12.30–31. Представив два треугольника внутри [кругового четырехугольника] с неравными сторонами, две диагонали являются двумя основаниями. Их два сегмента представляют собой отдельно верхний и нижний сегменты [образованные] на пересечении диагоналей. Два [нижних сегмента] двух диагоналей - это две стороны треугольника; основание [четырехугольника - основание треугольника]. Его перпендикуляр - это нижняя часть [центрального] перпендикуляра; верхняя часть [центрального] перпендикуляра равна половине суммы [сторон] перпендикуляров, уменьшенной на нижнюю [часть центрального перпендикуляра].

Пи

В стихе 40 он дает значения $π$ ,

12,40. Диаметр и квадрат радиуса [каждый], умноженные на 3, представляют собой [соответственно] практическую длину окружности и площадь [круга]. Точные [значения] - это квадратные корни из квадратов этих двух, умноженных на десять.

Итак, Брахмагупта использует 3 как «практическое» значение $π$ и как «точное» значение $π$ с ошибкой менее 1%. ${\ displaystyle {\ sqrt {10}} \ приблизительно 3,1622 \ ldots}$

Размеры и конструкции

В некоторых стихах перед стихом 40 Брахмагупта дает конструкции из различных фигур с произвольными сторонами. Он, по сути, манипулировал прямоугольными треугольниками, создавая равнобедренные треугольники, равнобедренные треугольники, прямоугольники, равнобедренные трапеции, равнобедренные трапеции с тремя равными сторонами и разносторонний циклический четырехугольник.

После определения числа пи он занимается геометрией плоских фигур и твердых тел, например, находит объемы и площади поверхности (или пустые пространства, выкопанные из твердых тел). Он находит объем прямоугольных призм, пирамид и усеченную пирамиду квадратной пирамиды. Далее он находит среднюю глубину ряда ям. Для объема усеченной пирамиды он дает "прагматическое" значение как глубину, умноженную на квадрат среднего значения краев верхней и нижней граней, и он дает "поверхностный" объем как глубину, умноженную на их среднее значение. площадь.

Тригонометрия

Таблица синусов

В главе 2 своей Брахмаспхунасиддханты , озаглавленной « Истинные планетарные долготы» , Брахмагупта представляет таблицу синусов:

2.2–5. Синусы: Прародители, близнецы; Большая Медведица, близнецы, Веды; боги, огни, шесть; ароматизаторы, игральные кости, боги; луна, пятерка, небо, луна; луна, стрелы, солнца [...]

Здесь Брахмагупта использует имена объектов для представления цифр в числовых значениях мест, как это обычно бывает с числовыми данными в санскритских трактатах. Прародители представляют 14 Прародителей («Ману») в индийской космологии или 14, «близнецы» означает 2, «Большая Медведица» представляет семь звезд Большой Медведицы или 7, «Веды» относятся к 4 Ведам или 4, игральные кости представляют собой количество сторон традиционного кубика или 6 и так далее. Эту информацию можно перевести в список синусов, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159. , 3207, 3242, 3263 и 3270 с радиусом 3270 (эти числа представляют для ). ${\ displaystyle 3270 \ sin {\ frac {\ pi n} {48}}}$ ${\ Displaystyle п = 1, \ точки, 24}$

Формула интерполяции

В 665 г. Брахмагупта разработал и использовал специальный случай интерполяционной формулы Ньютона – Стирлинга второго порядка для интерполяции новых значений синусоидальной функции из других значений, уже приведенных в таблице. Формула дает оценку значения функции $f$ при значении $a + xh$ ее аргумента (с $h > 0$ и $-1 \leq x \leq 1$ ), когда ее значение уже известно при $a - h$ , $a$ и $a + h$ .

Формула оценки:

{\ Displaystyle f (a + xh) \ приблизительно f (a) + x {\ frac {\ Delta f (a) + \ Delta f (ah)} {2}} + x ^ {2} {\ frac {\ Дельта ^ {2} f (ах)} {2}}.}

где $Δ$ - оператор прямой разности первого порядка , т. е.

{\ displaystyle \ Delta f (a) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ f (a + h) -f (a).}

Астрономия

Брахмагупта подверг большой критике работы соперничающих астрономов, а его Брахмаспхунасиддханта показывает один из самых ранних расколов среди индийских математиков. Раздел касался прежде всего приложения математики к физическому миру, а не самой математики. В случае Брахмагупты разногласия возникли в основном из-за выбора астрономических параметров и теорий. Критика конкурирующих теорий появляется на протяжении первых десяти астрономических глав, а одиннадцатая глава целиком посвящена критике этих теорий, хотя в двенадцатой и восемнадцатой главах никакой критики не появляется.

Одним из важных вкладов Брахмагупты в астрономию являются его методы расчета положения небесных тел во времени ( эфемериды ), их восхода и захода, соединения и расчета солнечных и лунных затмений .

В седьмой главе своей Брахмаспхунасиддханты , озаглавленной « Лунный полумесяц» , Брахмагупта опровергает идею о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце. Он делает это, объясняя освещение Луны Солнцем.

1. Если бы Луна находилась над Солнцем, как можно было бы получить силу возрастания и убывания и т. Д. Из расчета долготы Луны? Ближайшая половина всегда будет яркой.

2. Точно так же, как видимая солнцем половина горшка, стоящего на солнечном свете, яркая, а невидимая половина темная, так же и [свечение] луны [если она] под солнцем.

3. Яркость увеличивается по направлению к солнцу. В конце светлого [т. Е. Прибывающего] полумесяца ближняя половина становится яркой, а дальняя половина - темной. Следовательно, высота рогов [полумесяца может быть получена] расчетным путем. [...]

Он объясняет, что, поскольку Луна ближе к Земле, чем Солнце, степень освещенной части Луны зависит от относительного положения Солнца и Луны, и это можно вычислить, исходя из размера угла между ними. тела.

Дальнейшие исследования долготы планет, суточного вращения, лунных и солнечных затмений, восходов и заходов солнца, полумесяца Луны и соединения планет обсуждаются в его трактате Хандакхадьяка .

Смотрите также

Цитаты и сноски

использованная литература

Авари, Бурджор (2013), Исламская цивилизация в Южной Азии: история мусульманской власти и присутствия на Индийском субконтиненте , Рутледж, ISBN 978-0-415-58061-8
Bose, DM; Сен, СН; Суббараяппа, Б.В. (1971), Краткая история науки в Индии , Нью-Дели: Индийская национальная академия наук, стр. 95–97, архивировано с оригинала 8 декабря 2015 г.
Бхаттачарья, РК (2011), «Брахмагупта: древний индийский математик», в Б.С. Ядав; Ман Мохан (ред.), Древние индийские прыжки в математику , Springer Science & Business Media, стр. 185–192, ISBN 978-0-8176-4695-0
Бойер, Карл Б. (1991), История математики , John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-54397-7
Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-18082-3
Гупта, Радха Чаран (2008), «Брахмагупта» , в Селине, Хелайне (ред.), Энциклопедия истории науки, технологии и медицины в незападных культурах , Спрингер, стр. 162–163, ISBN 978-1-4020-4559-2
Джозеф, Джордж Г. (2000), Гребень павлина , Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
О'Лири, Де Лейси (2001) [впервые опубликовано в 1948 году], Как греческая наука перешла к арабам (2-е изд.), Goodword Books, ISBN 8187570245
Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии» , Виктор Кац (редактор), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (второе издание), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 0-387-95336-1
Хоккей, Томас, изд. (2007), «Брахмагупта», Биографическая энциклопедия астрономов , Springer Science & Business Media, стр. 165, ISBN 978-0387304007

дальнейшее чтение

Сетуро Икеама (2003). Брахмаспхунасиддханта Брахмагупты с комментарием Притудхаки, критически отредактированный с английским переводом и примечаниями . INSA.
Дэвид Пингри. Перепись точных наук на санскрите (CESS) . Американское философское общество. A4, стр. 254.
Шаши С. Шарма. Математика и астрономы Древней Индии . Питамбар Паблишинг. ISBN 9788120914216.
О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Брахмагупта" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет

внешние ссылки

Brahma-sphuta-siddhanta Брахмагупты отредактировал Рам Сваруп Шарма, Индийский институт астрономических и санскритских исследований, 1966. Введение на английском языке, текст на санскрите, комментарии на санскрите и хинди (PDF)
Алгебра с арифметикой и измерениями, из санскрита Брахмегупты и Бхаскары в Интернет-архиве , переведенный Генри Томасом Колбруком . [1]

Languages

In other projects