Конденсация Бозе – Эйнштейна (теория сетей) - Bose–Einstein condensation (network theory)

Конденсация Бозе – Эйнштейна на 400, 200 и 50 нанокельвинов (слева направо). По мере падения температуры все больше и больше атомов «конденсируются» до одного и того же энергетического уровня, производя более заметные «пики».

Сетевая наука
Теория
График Комплексная сеть Заражение Маленький мир Без накипи Структура сообщества Перколяция Эволюция Управляемость Рисование графика Социальный капитал Анализ ссылок Оптимизация Взаимность Закрытие Гомофилия Транзитивность Предпочтительная привязанность Теория баланса Сетевой эффект Влияние общества
Типы сетей
Информационная (вычислительная) Телекоммуникации Транспорт Социальное Научное сотрудничество Биологические Искусственный нейрон Взаимозависимый Семантический Пространственный Зависимость поток на чипе
Графики
Особенности Клика Составная часть Порез Цикл Структура данных Край Петля окрестности Путь Вершина Список  / матрица смежности Список  / матрица заболеваемости Типы Двудольный Завершить Режиссер Гипер Мульти Случайный Взвешенный
Метрики Алгоритмы
Центральность Степень Мотив Кластеризация Распределение степеней Ассортативность Расстояние Модульность Эффективность
Модели
Топология Случайный график Эрдеш – Реньи Барабаши – Альберт Фитнес модель Уоттс – Строгац Экспоненциальный случайный (ERGM) Случайный геометрический (RGG) Гиперболический (HGN) Иерархический Стохастический блок Максимальная энтропия Мягкая конфигурация Тест LFR Динамика Логическая сеть агент на основе Эпидемия / SIR
Списки Категории
Темы Программного обеспечения Сетевые ученые Категория: Теория сетей Категория: Теория графов
v т е

Конденсация Бозе – Эйнштейна в сетях - это фазовый переход, наблюдаемый в сложных сетях, который может быть описан моделью Бьянкони – Барабаши . Этот фазовый переход предсказывает феномен «победитель получает все» в сложных сетях и может быть математически отображен на математическую модель, объясняющую конденсацию Бозе – Эйнштейна в физике.

Задний план

В физике , A конденсат Бозе-Эйнштейна представляет собой состояние вещества , которое происходит в некоторых газов при очень низких температурах. Любую элементарную частицу, атом или молекулу можно разделить на два типа: бозон или фермион . Например, электрон - это фермион, а фотон или атом гелия - это бозон. В квантовой механике энергия (связанной) частицы ограничена набором дискретных значений, называемых уровнями энергии. Важной характеристикой фермиона является то, что он подчиняется принципу исключения Паули, согласно которому никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Бозоны, с другой стороны, не подчиняются принципу исключения, и любое их количество может существовать в одном и том же состоянии. В результате при очень низких энергиях (или температурах) подавляющее большинство бозонов в бозе-газе может быть вытеснено в состояние с самой низкой энергией, создавая конденсат Бозе-Эйнштейна.

Бозе и Эйнштейн установили, что статистические свойства бозе-газа регулируются статистикой Бозе – Эйнштейна . В статистике Бозе – Эйнштейна любое количество идентичных бозонов может находиться в одном состоянии. В частности, для данного энергетического состояния ε количество невзаимодействующих бозонов в тепловом равновесии при температуре T = 1 / β дается числом занятия Бозе

${\ Displaystyle п (\ varepsilon) = {\ гидроразрыва {1} {е ^ {\ бета (\ varepsilon - \ mu)} - 1}}}$

где постоянная μ определяется уравнением, описывающим сохранение числа частиц

${\ Displaystyle N = \ Int d \ varepsilon \, g (\ varepsilon) \, n (\ varepsilon)}$

где g ( ε ) - плотность состояний системы.

Это последнее уравнение может не иметь решения при достаточно низких температурах, когда g ( ε ) → 0 при ε → 0 . В этом случае определяется критическая температура T _c такая, что при T < T _c система находится в конденсированной фазе Бозе-Эйнштейна, а конечная часть бозонов находится в основном состоянии.

Плотность состояний g ( ε ) зависит от размерности пространства. В частности, поэтому g ( ε ) → 0 при ε → 0 только в размерностях d > 2 . Следовательно, бозе-эйнштейновская конденсация идеального бозе-газа может происходить только при размерах d > 2 . ${\ Displaystyle г (\ varepsilon) \ sim \ varepsilon ^ {\ frac {d-2} {2}}}$

Концепт

Развитие многих сложных систем, включая World Wide Web, бизнес и сети цитирования, закодировано в динамической паутине, описывающей взаимодействия между составляющими системы. Эволюция этих сетей отражается в модели Бьянкони-Барабаши , которая включает в себя две основные характеристики растущих сетей: их постоянный рост за счет добавления новых узлов и ссылок и неоднородную способность каждого узла приобретать новые связи, описываемые пригодностью узла. . Поэтому модель также называют фитнес-моделью . Несмотря на их необратимую и неравновесную природу, эти сети следуют статистике Бозе и могут быть отображены на Бозе-газ. В этом отображении каждый узел отображается в энергетическое состояние, определяемое его пригодностью, и каждая новая ссылка, прикрепленная к данному узлу, отображается на бозе-частицу, занимающую соответствующее энергетическое состояние. Это отображение предсказывает, что модель Бьянкони – Барабаши может претерпевать топологический фазовый переход в соответствии с конденсацией Бозе – Эйнштейна бозе-газа. Поэтому этот фазовый переход в сложных сетях называется конденсацией Бозе-Эйнштейна. Следовательно, рассмотрение динамических свойств этих неравновесных систем в рамках равновесных квантовых газов предсказывает, что феномены «преимущества первопроходца», «подходящего обогащения ( FGR )» и «победителя получает все» наблюдаются в конкурирующие системы представляют собой термодинамически отдельные фазы лежащих в основе развивающихся сетей.

Схематическое изображение сопоставления сетевой модели и бозе-газа.

Математическое отображение эволюции сети до бозе-газа

Начиная с модели Бьянкони-Барабаши , отображение бозе-газа в сеть может быть выполнено путем присвоения энергии ε _i каждому узлу, определяемой его пригодностью через соотношение

${\ displaystyle \ varepsilon _ {i} = - {\ frac {1} {\ beta}} \ ln {\ eta _ {i}}}$

где β = 1 / T . В частности, когда β = 0, все узлы имеют одинаковую пригодность, когда вместо β ≫ 1 узлы с разной «энергией» имеют очень разную пригодность. Мы предполагаем, что сеть развивается посредством модифицированного механизма предпочтительного присоединения . Каждый раз новый узел i с энергией ε _i, взятой из распределения вероятностей p ( ε ), входит в сеть и присоединяет новую ссылку к узлу j, выбранному с вероятностью:

${\ displaystyle \ Pi _ {j} = {\ frac {e ^ {- \ beta \ varepsilon _ {j}} k_ {j}} {\ sum _ {r} e ^ {- \ beta \ varepsilon _ {r }} k_ {r}}}.}$

При отображении бозе-газа мы назначаем каждой новой связи, связанной предпочтительным присоединением к узлу j, частицу в энергетическом состоянии ε _j .

Теория континуума предсказывает, что скорость, с которой звенья накапливаются в узле i с «энергией» ε _i , определяется выражением

${\ displaystyle {\ frac {\ partial k_ {i} (\ varepsilon _ {i}, t, t_ {i})} {\ partial t}} = m {\ frac {e ^ {- \ beta \ varepsilon _ {i}} k_ {i} (\ varepsilon _ {i}, t, t_ {i})} {Z_ {t}}}}$

где указывает количество ссылок, прикрепленных к узлу i, которое было добавлено в сеть на временном шаге . - статистическая сумма , определяемая как: ${\ Displaystyle к_ {я} (\ varepsilon _ {я}, т, т_ {я})}$${\ displaystyle t_ {i}}$${\ displaystyle Z_ {t}}$

${\ displaystyle Z_ {t} = \ sum _ {i} e ^ {- \ beta \ varepsilon _ {i}} k_ {i} (\ varepsilon _ {i}, t, t_ {i}).}$

Решение этого дифференциального уравнения:

${\ displaystyle k_ {i} (\ varepsilon _ {i}, t, t_ {i}) = m \ left ({\ frac {t} {t_ {i}}} \ right) ^ {f (\ varepsilon _ {я})}}$

где динамический показатель удовлетворяет условию , μ играет роль химического потенциала, удовлетворяющего уравнению ${\ Displaystyle f (\ varepsilon)}$${\ Displaystyle е (\ varepsilon) = е ^ {- \ бета (\ varepsilon - \ mu)}}$

${\ displaystyle \ int d \ varepsilon \, p (\ varepsilon) {\ frac {1} {e ^ {\ beta (\ varepsilon - \ mu)} - 1}} = 1}$

где p ( ε ) - вероятность того, что узел имеет «энергию» ε и «приспособленность» η = e − ^βε . В пределе t → ∞ число заполнения, дающее количество связей, связанных с узлами с «энергией» ε , следует известной статистике Бозе

${\ displaystyle n (\ varepsilon) = {\ frac {1} {e ^ {\ beta (\ varepsilon - \ mu)} - 1}}.}$

Определение константы μ в сетевых моделях на удивление похоже на определение химического потенциала в бозе-газе. В частности, для вероятностей p ( ε ) таких, что p ( ε ) → 0 при ε → 0 при достаточно высоком значении β, мы имеем фазовый переход конденсации в сетевой модели. Когда это происходит, один узел с более высокой пригодностью получает конечную долю всех связей. Конденсация Бозе – Эйнштейна в сложных сетях, следовательно, представляет собой топологический фазовый переход, после которого сеть имеет звездообразную доминантную структуру.

Фазовый переход Бозе – Эйнштейна в сложных сетях

Численное свидетельство конденсации Бозе – Эйнштейна в сетевой модели.

Картирование бозе-газа предсказывает существование двух различных фаз в зависимости от распределения энергии. На этапе подгонки-обогащения, описывающего случай однородной приспособленности, более подходящие узлы получают ребра с большей скоростью, чем более старые, но менее подходящие узлы. В конце концов, наиболее подходящий узел будет иметь наибольшее количество ребер, но самый богатый узел не является абсолютным победителем, поскольку его доля ребер (то есть отношение его ребер к общему количеству ребер в системе) уменьшается до нуля в предел больших размеров системы (рис. 2 (б)). Неожиданным результатом этого отображения является возможность конденсации Бозе – Эйнштейна для T < T _BE , когда наиболее приспособленный узел получает конечную долю ребер и сохраняет эту долю ребер с течением времени (рис. 2 (c)).

Представитель распределение фитнеса ρ ( η ) , что приводит к сгусткам

${\ displaystyle \ rho (\ eta) = (\ lambda +1) (1- \ eta) ^ {\ lambda}}$

с λ = 1 .

Однако существование конденсации Бозе – Эйнштейна или фазы соответствия не зависит от температуры или β системы, а зависит только от функциональной формы распределения пригодности ρ ( ν ) системы. В итоге β выпадает из всех топологически важных величин. Фактически, можно показать, что конденсация Бозе – Эйнштейна существует в фитнес-модели даже без отображения на бозе-газ. Подобное гелеобразование можно увидеть в моделях с суперлинейным предпочтительным прикреплением , однако неясно, случайность это или более глубокая связь между этим и фитнес-моделью.

Конденсация Бозе – Эйнштейна в эволюционных моделях и экологических системах

В эволюционных моделях каждый вид воспроизводится пропорционально своей приспособленности. В модели бесконечных аллелей каждая мутация порождает новый вид со случайной приспособленностью. Эта модель была изучена статистиком JFC Kingman и известна как модели «карточного домика». В зависимости от распределения пригодности модель показывает фазовый переход конденсации. Кингман не понимал, что этот фазовый переход можно сопоставить с конденсацией Бозе – Эйнштейна.

Рекомендации