Уравнение Блэка – Шоулза - Black–Scholes equation

В финансовой математике , то уравнение Блэка-Шоулза является частичное дифференциальное уравнение (PDE) , регулирующих эволюцию цен на европейский вызов или европейского положить под модель Блэка-Шоулза . В широком смысле термин может относиться к аналогичному PDE, который может быть получен для множества опционов или, в более общем плане, производных инструментов .

Моделирование геометрических броуновских движений с параметрами из рыночных данных

Для европейского колла или опциона на покупку базовой акции, не приносящей дивидендов, уравнение выглядит следующим образом:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V } {\ partial S ^ {2}}} + rS {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} - rV = 0}$

где V - цена опциона как функция цены акции S и времени t , r - безрисковая процентная ставка и - волатильность акции. ${\ displaystyle \ sigma}$

Ключевой финансовый вывод, лежащий в основе уравнения, заключается в том, что при модельном предположении о рынке без трения можно идеально хеджировать опцион, купив и продав базовый актив правильным образом и, следовательно, «исключив риск». Это хеджирование, в свою очередь, означает, что существует только одна правильная цена для опциона, возвращаемая формулой Блэка – Шоулза .

Финансовая интерпретация PDE Блэка – Шоулза

Уравнение имеет конкретную интерпретацию, которая часто используется практиками и является основой для общего вывода, приведенного в следующем подразделе. Уравнение можно переписать в виде:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V } {\ partial S ^ {2}}} = rV-rS {\ frac {\ partial V} {\ partial S}}}$

Левая часть состоит из члена «временного затухания», изменения значения производной по времени, называемого тета , и члена, включающего в себя вторую гамму пространственной производной , выпуклость значения производной по отношению к базовому значению. Правая часть - это безрисковый доход от длинной позиции по производному инструменту и короткой позиции, состоящей из акций базового инструмента . ${\ textstyle {\ partial V} / {\ partial S}}$

Понимание Блэка и Скоулза заключалось в том, что портфель, представленный правой частью, безрисковый: таким образом, уравнение говорит, что безрисковая доходность за любой бесконечно малый интервал времени может быть выражена как сумма тета и члена, включающего гамму. Для опциона тета обычно отрицательна, что отражает потерю стоимости из-за меньшего времени для исполнения опциона (для европейского колла по базовому активу без дивидендов оно всегда отрицательно). Гамма обычно положительна, поэтому гамма-член отражает выигрыш от владения опционом. Уравнение гласит, что на любом бесконечно малом интервале времени потеря от тета и выгода от гамма-члена должны компенсировать друг друга, так что результатом будет доход без риска.

С точки зрения эмитента опциона, например инвестиционного банка, гамма-термин - это стоимость хеджирования опциона. (Поскольку гамма максимальна, когда спотовая цена базового актива близка к цене исполнения опциона, в этом случае затраты продавца на хеджирование являются наибольшими.)

Вывод PDE Блэка – Шоулза

Следующий вывод дается в книге « Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты Халла» , который, в свою очередь, основан на классическом аргументе в исходной статье Блэка – Шоулза.

Согласно приведенным выше допущениям модели, цена базового актива (обычно акции) следует геометрическому броуновскому движению . То есть

${\ displaystyle {\ frac {dS} {S}} = \ mu \, dt + \ sigma \, dW \,}$

где W - стохастическая переменная ( броуновское движение ). Обратите внимание, что W и, следовательно, его бесконечно малое приращение dW представляет собой единственный источник неопределенности в истории цен акций. Интуитивно W ( t ) - это процесс, который «колеблется вверх и вниз» таким случайным образом, что его ожидаемое изменение за любой интервал времени равно 0. (Кроме того, его дисперсия во времени T равна T ; см. Винеровский процесс § Основные свойства ); хороший дискретный аналог W - простое случайное блуждание . Таким образом, приведенное выше уравнение утверждает, что бесконечно малая норма прибыли на акции имеет ожидаемое значение μ  dt и дисперсию . ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} dt}$

Выплата по опциону при наступлении срока погашения известна. Чтобы найти его ценность в более раннее время, нам нужно знать, как оно развивается в зависимости от и . По лемме Ито для двух переменных имеем ${\ Displaystyle V (S, T)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle dV = \ left (\ mu S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) dt + \ sigma S {\ frac {\ partial V} { \ partial S}} \, dW}$

Теперь рассмотрим определенный портфель, называемый портфелем дельта-хеджирования , состоящий из короткой позиции по одному опциону и длинной позиции по акциям в определенный момент времени . Стоимость этих активов составляет ${\ textstyle {\ partial V} / {\ partial S}}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle \ Pi = -V + {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} S}$

За период времени общая прибыль или убыток от изменений стоимости владений составляет (но см. Примечание ниже): ${\ Displaystyle [т, т + \ дельта т]}$

${\ Displaystyle \ Delta \ Pi = - \ Delta V + {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} \, \ Delta S}$

Теперь дискретизируйте уравнения для dS / S и dV , заменив дифференциалы на дельты:

${\ Displaystyle \ Delta S = \ mu S \, \ Delta t + \ sigma S \, \ Delta W \,}$

${\ displaystyle \ Delta V = \ left (\ mu S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} + {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} { 2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) \ Delta t + \ sigma S {\ frac {\ частичный V} {\ partial S}} \, \ Delta W}$

и соответствующим образом подставьте их в выражение для : ${\ Displaystyle \ Delta \ Pi}$

${\ displaystyle \ Delta \ Pi = \ left (- {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) \ Delta t}$

Обратите внимание, что термин исчез. Таким образом устранена неопределенность, и портфель фактически безрисковый. Норма доходности этого портфеля должна быть равна доходности любого другого безрискового инструмента; в противном случае были бы возможности для арбитража. Теперь, предполагая, что безрисковая норма доходности, мы должны иметь за период времени${\ displaystyle \ Delta W}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle [т, т + \ дельта т]}$

${\ Displaystyle г \ Пи \, \ Дельта т = \ Дельта \ Пи}$

Если мы теперь приравняем наши две формулы для, мы получим: ${\ Displaystyle \ Delta \ Pi}$

${\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}} \ right) \ Delta t = r \ left (-V + S {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} \ right) \ Delta t }$

Упрощая, мы приходим к знаменитому уравнению в частных производных Блэка – Шоулза:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V } {\ partial S ^ {2}}} + rS {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} - rV = 0}$

При допущениях модели Блэка – Шоулза это уравнение в частных производных второго порядка справедливо для любого типа опциона, если его ценовая функция дважды дифференцируема по и один раз по . Различные формулы ценообразования для различных опционов будут возникать в результате выбора функции выплаты по истечении срока и соответствующих граничных условий. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle t}$

Техническое примечание: тонкость, скрываемая описанным выше подходом к дискретизации, заключается в том, что бесконечно малое изменение стоимости портфеля было связано только с бесконечно малыми изменениями в стоимости удерживаемых активов, а не с изменениями позиций в активах. Другими словами, предполагалось, что портфель будет самофинансируемым .

Альтернативное происхождение

Вот альтернативный вывод, который можно использовать в ситуациях, когда изначально неясно, каким должен быть портфель хеджирования. (Для справки см. 6.4 Шрив, том II).

В модели Блэка – Шоулза, предполагая, что мы выбрали нейтральную с точки зрения риска вероятностную меру, предполагается , что базовая цена акций S ( t ) эволюционирует как геометрическое броуновское движение:

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {dS (t)} {S (t)}} = r \ dt + \ sigma dW (t)}$

Поскольку это стохастическое дифференциальное уравнение (SDE) показывает, что эволюция цены акций является марковской , любая производная по этому базовому инструменту является функцией времени t и цены акции в текущий момент времени S ( t ). Затем применение леммы Ито дает СДУ для процесса дисконтированной производной , который должен быть мартингалом. Для этого необходимо, чтобы дрейфовый член был равен нулю, что подразумевает PDE Блэка-Шоулза. ${\ Displaystyle е ^ {- rt} V (т, S (т))}$

Этот вывод в основном является применением формулы Фейнмана – Каца и может быть применен всякий раз, когда базовые активы развиваются в соответствии с заданными SDE.

Решение PDE Блэка – Шоулза

После того, как УЧП Блэка – Шоулза с граничными и конечными условиями выведено для производной, УЧП можно решить численно с использованием стандартных методов численного анализа, таких как метод конечных разностей . В некоторых случаях можно найти точную формулу, например, в случае европейского звонка, который был сделан Блэком и Скоулзом.

Чтобы сделать это для опциона колл, напомним, что приведенная выше PDE имеет граничные условия

${\ displaystyle {\ begin {align} C (0, t) & = 0 {\ text {для всех}} t \\ C (S, t) & \ rightarrow S {\ text {as}} S \ rightarrow \ infty \\ C (S, T) & = \ max \ {SK, 0 \} \ end {выровнено}}}$

Последнее условие дает значение опциона на момент его погашения. Возможны и другие условия, когда S стремится к 0 или бесконечности. Например, общие условия, используемые в других ситуациях, состоят в том, чтобы выбрать, чтобы дельта исчезла, когда S стремится к 0, и гамма, чтобы исчезнуть, когда S стремится к бесконечности; они дадут ту же формулу, что и приведенные выше условия (как правило, разные граничные условия дают разные решения, поэтому следует использовать некоторую финансовую проницательность, чтобы выбрать подходящие условия для данной ситуации).

Решение PDE дает значение опциона в любое более раннее время . Чтобы решить УЧП, мы понимаем, что это уравнение Коши – Эйлера, которое можно преобразовать в уравнение диффузии , введя преобразование замены переменной ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ max \ {SK, 0 \} \ right]}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ tau & = Tt \\ u & = Ce ^ {r \ tau} \\ x & = \ ln \ left ({\ frac {S} {K}} \ right) + \ left (г - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) \ tau \ end {align}}}$

Тогда УЧП Блэка – Шоулза становится уравнением диффузии

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial \ tau}} = {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial х ^ {2}}}}$

Конечное состояние теперь становится начальным условием ${\ Displaystyle С (S, T) = \ макс \ {SK, 0 \}}$

${\ displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x): = K (e ^ {\ max \ {x, 0 \}} - 1) = K \ left (e ^ {x} -1 \ справа) H (x),}$

где H ( x ) - ступенчатая функция Хевисайда . Функция Хевисайда соответствует обеспечению граничных данных в системе координат S , t, которая требует, когда t = T ,

${\ Displaystyle С (S, \, T) = 0 \ quad \ forall \; S <K,}$

предполагая, что оба S , K > 0. С этим предположением, это эквивалентно функции max по всем x в действительных числах, за исключением x = 0. Вышеупомянутое равенство между функцией max и функцией Хевисайда в том смысле, что распределений, потому что это не выполняется для x = 0. Хотя это и тонко, это важно, потому что функция Хевисайда не обязательно должна быть конечной при x = 0 или даже определяться в этом отношении. Дополнительные сведения о значении функции Хевисайда при x = 0 см. В разделе «Нулевой аргумент» статьи о ступенчатой ​​функции Хевисайда .

Используя стандартный метод свертки для решения уравнения диффузии с заданной функцией начального значения u ( x , 0), мы имеем

${\ displaystyle u (x, \ tau) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi \ tau}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {u_ {0 } (y) \ exp {\ left [- {\ frac {(xy) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} \ tau}} \ right]}} \, dy,}$

что после некоторых манипуляций дает

${\ displaystyle u (x, \ tau) = Ke ^ {x + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau} N (d_ {1}) - KN (d_ {2}), }$

где - стандартная нормальная кумулятивная функция распределения, а ${\ Displaystyle N (\ cdot)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} d_ {1} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [\ left (x + {\ frac {1} {2}) } \ sigma ^ {2} \ tau \ right) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau \ right] \\ d_ {2} & = {\ frac {1} {\ сигма {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [\ left (x + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau \ right) - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau \ right]. \ end {align}}}$

Это те же самые решения (с точностью до перевода), которые были получены Фишером Блэком в 1976 году.

Возврат к исходному набору переменных дает указанное выше решение уравнения Блэка – Шоулза. ${\ Displaystyle и, х, \ тау}$

Теперь можно выполнить асимптотическое условие.

${\ Displaystyle и (х, \, \ тау) {\ overset {х \ rightsquigarrow \ infty} {\ asymp}} Ke ^ {x},}$

что дает просто S при возврате к исходным координатам.

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} N (x) = 1.}$

использованная литература