Уравнение диффузии - Diffusion equation
Уравнение диффузии представляет собой параболическое уравнение в частных производных . В физике он описывает макроскопическое поведение многих микрочастиц в броуновском движении , возникающее в результате случайных движений и столкновений частиц (см . Законы диффузии Фика ). В математике это связано с марковскими процессами , такими как случайные блуждания , и применяется во многих других областях, таких как материаловедение , теория информации и биофизика . Уравнение диффузии - это частный случай уравнения конвекции-диффузии , когда объемная скорость равна нулю.
утверждение
Уравнение обычно записывается как:
где ϕ ( r , t ) - плотность диффундирующего материала в точке r и момент времени t, а D ( ϕ , r ) - коэффициент коллективной диффузии для плотности ϕ в точке r ; а ∇ представляет собой векторный дифференциальный оператор del . Если коэффициент диффузии зависит от плотности, тогда уравнение нелинейное, в противном случае оно линейное.
Вышеприведенное уравнение применимо, когда коэффициент диффузии изотропен ; в случае анизотропной диффузии D является симметричной положительно определенной матрицей , и уравнение записывается (для трехмерной диффузии) как:
Если D является константой, то уравнение сводится к следующему линейному дифференциальному уравнению :
что идентично уравнению теплопроводности .
Историческое происхождение
Уравнение диффузии частиц было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году.
Вывод
Уравнение диффузии может быть тривиально выведено из уравнения неразрывности , в котором говорится, что изменение плотности в любой части системы происходит из-за притока и оттока материала в эту часть системы и из нее. Фактически, никакой материал не создается и не уничтожается:
где j - поток диффундирующего материала. Из этого можно легко получить уравнение диффузии в сочетании с феноменологическим первым законом Фика , который гласит, что поток диффундирующего материала в любой части системы пропорционален локальному градиенту плотности:
Если необходимо учитывать дрейф, уравнение Смолуховского дает соответствующее обобщение.
Дискретность
Уравнение диффузии непрерывно как в пространстве, так и во времени. Можно дискретизировать пространство, время или и пространство и время, которые возникают в приложении. Одно только дискретное время соответствует снятию временных срезов непрерывной системы, и никаких новых явлений не возникает. Только при дискретизации пространства функция Грина становится дискретным гауссовым ядром , а не непрерывным гауссовым ядром . При дискретизации времени и пространства получается случайное блуждание .
Дискретность (изображение)
Правило продукта используется для перезаписи анизотропного уравнения тензора диффузии, в стандартных схемах дискретизации, так как прямая дискретизация уравнения диффузии только с первым порядком пространственными центральных разностями приводят к шахматным артефактам. Переписанное уравнение диффузии, используемое при фильтрации изображений:
где «tr» обозначает след тензора 2-го ранга , а верхний индекс « T » обозначает транспонирование , в котором при фильтрации изображения D ( ϕ , r ) являются симметричными матрицами, построенными из собственных векторов тензоров структуры изображения . Затем пространственные производные могут быть аппроксимированы двумя центральными конечными разностями первого и второго порядков . Результирующий алгоритм распространения может быть записан как свертка изображения с изменяющимся ядром (трафаретом) размером 3 × 3 в 2D и 3 × 3 × 3 в 3D.
Смотрите также
- Уравнение неразрывности
- Уравнение тепла
- Уравнение Фоккера – Планка
- Законы диффузии Фика
- Уравнение Максвелла – Стефана
- Уравнение переноса излучения и теория диффузии для переноса фотонов в биологической ткани
- Оптимизация распространения
- Численное решение уравнения конвекции – диффузии.
Рекомендации
дальнейшее чтение
- Carslaw, HS и Jaeger, JC (1959). Проводимость тепла в твердых телах . Оксфорд: Clarendon Press
- Крэнк, Дж. (1956). Математика диффузии . Оксфорд: Clarendon Press
- Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
- Thambynayagam, RK M (2011). Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров . Макгроу-Хилл