Биспинор - Bispinor

В физике , и , в частности , в квантовой теории поля , A биспинор , представляет собой математическая конструкция , которая используется для описания некоторых из фундаментальных частиц в природе , в том числе кварков и электронов . Это особый вариант спинора , специально сконструированный так, чтобы соответствовать требованиям специальной теории относительности . Биспиноры преобразуются определенным «спинорным» образом под действием группы Лоренца , которая описывает симметрии пространства-времени Минковского . Они встречаются в релятивистских решениях уравнения Дирака с волновой функцией спина ½ .

Биспиноры называются так потому, что они построены из двух более простых компонентных спиноров, спиноров Вейля . Каждый из двух компонентов спиноров преобразования по- разному в двух различных комплексно-сопряженных спинах-1/2 представлений группы Лоренца. Это спаривание имеет фундаментальное значение, поскольку позволяет представленной частице иметь массу , нести заряд и представлять поток заряда в виде тока и, что, возможно, наиболее важно, переносить угловой момент . Точнее, масса является инвариантом Казимира группы Лоренца (собственное состояние энергии), в то время как комбинация векторов несет импульс и ток, будучи ковариантными под действием группы Лоренца. Угловой момент переносится вектором Пойнтинга , соответствующим образом сконструированным для спинового поля.

Биспинор - это более или менее «то же самое», что и спинор Дирака . Используемое здесь соглашение состоит в том, что в статье о спиноре Дирака представлены плоские волновые решения уравнения Дирака с использованием соглашения Дирака для гамма-матриц . То есть спинор Дирака является биспинором в конвенции Дирака. Напротив, в статье ниже основное внимание уделяется Вейлю, или киральному представлению, меньше внимания уделяется уравнению Дирака, а больше сосредоточено на геометрической структуре, включая геометрию группы Лоренца . Таким образом, многое из того, что сказано ниже, можно применить к уравнению Майорана .

Определение

Биспиноры - это элементы 4-мерного комплексного векторного пространства (½, 0) ⊕ (0, ½) представления группы Лоренца .

В базисе Вейля биспинор

${\ displaystyle \ psi = \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {\ rm {L}} \\\ psi _ {\ rm {R}} \ end {array}} \ right)}$

состоит из двух (двухкомпонентных) вейлевских спиноров и которые преобразуют, соответственно, в соответствии с (½, 0) и (0, ½) представления группы (группы Лоренца без преобразований четности ). При преобразовании четности спиноры Вейля переходят друг в друга. ${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {SO} (1,3)}$

Биспинор Дирака связан с биспинором Вейля унитарным преобразованием в базис Дирака ,

${\ displaystyle \ psi \ rightarrow {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left [{\ begin {array} {cc} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \ end {array}} \ right] \ psi = {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {\ rm {R}} + \ psi _ {\ rm {L}} \\\ psi _ {\ rm {R}} - \ psi _ {\ rm {L}} \ end {array}} \ right).}$

Базис Дирака - наиболее широко используемый в литературе.

Выражения для преобразований Лоренца биспиноров.

Биспинорное поле преобразуется по правилу ${\ Displaystyle \ psi (х)}$

${\ displaystyle \ psi ^ {a} (x) \ to {\ psi ^ {\ prime}} ^ {a} \ left (x ^ {\ prime} \ right) = S [\ Lambda] _ {b} ^ {a} \ psi ^ {b} \ left (\ Lambda ^ {- 1} x ^ {\ prime} \ right) = S [\ Lambda] _ {b} ^ {a} \ psi ^ {b} (x )}$

где - преобразование Лоренца . Здесь координаты физических точек преобразуются согласно , а матрица является элементом спинорного представления (для спина 1/2 ) группы Лоренца. ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle x ^ {\ prime} = \ Lambda x}$${\ displaystyle S}$

В базисе Вейля матрицы явного преобразования для повышения и поворота следующие: ${\ displaystyle \ Lambda _ {\ rm {boost}}}$${\ displaystyle \ Lambda _ {\ rm {rot}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} S [\ Lambda _ {\ rm {boost}}] & = \ left ({\ begin {array} {cc} e ^ {+ \ chi \ cdot \ sigma / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- \ chi \ cdot \ sigma / 2} \ end {array}} \ right) \\ S [\ Lambda _ {\ rm {rot}}] & = \ left ({\ begin {array} {cc} e ^ {+ i \ phi \ cdot \ sigma / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {+ i \ phi \ cdot \ sigma / 2} \ end {array}} \ right) \ end {выровнено}}}$

Вот параметр ускорения, который представляет вращение вокруг оси. - матрицы Паули . Экспонента - это экспоненциальное отображение , в данном случае матричная экспонента, определяемая помещением матрицы в обычный степенной ряд для экспоненциальной функции. ${\ displaystyle \ chi}$${\ Displaystyle \ phi ^ {я}}$${\ Displaystyle х ^ {я}}$${\ displaystyle \ sigma _ {я}}$

Характеристики

Билинейная форма из биспинор может быть уменьшена до пяти неприводимых (относительно группы Лоренца) объектов:

1. Скалярное ,  ;${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ psi}$
2. псевдо-скаляр ,  ;${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ psi}$
3. вектор ,  ;${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}$
4. псевдо-вектор ,  ;${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {5} \ psi}$
5. симметричный тензор , ,${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} - \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} \ right) \ psi}$

где и - гамма-матрицы . Эти пять величин связаны между собой тождествами Фирца . Их значения используются в классификации спинорных полей Лунесто для различных типов спиноров, из которых биспинор является только одним; другие - флагшток ( частным случаем которого является спинор Майораны ), флаг-диполь и спинор Вейля . Флагшток, флаг-диполь и спиноры Вейля имеют нулевую массу и псевдоскалярные поля; флагшток дополнительно имеет нулевое псевдовекторное поле, тогда как спиноры Вейля имеют нулевой антисимметричный тензор (нулевое «поле углового момента»). ${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ Equiv \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$${\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {5} \ right \}}$

Подходящий лагранжиан для релятивистского поля спина 1/2 может быть построен на их основе и имеет вид

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {я \ более 2} \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi - \ partial _ {\ mu} {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) -m {\ bar {\ psi}} \ psi \ ;.}$

Уравнение Дирака может быть получено из этого лагранжиана с помощью уравнения Эйлера – Лагранжа .

Вывод биспинорного представления

Вступление

Этот план описывает один тип биспиноров как элементы определенного пространства представления (½, 0) ⊕ (0, ½) -представления группы Лоренца. Это пространство представления связано, но не идентично с пространством представления (½, 0) ⊕ (0, ½), содержащимся в алгебре Клиффорда над пространством-временем Минковского, как описано в статье Spinors . Язык и терминология используются как в теории представлений группы Лоренца . Единственное свойство алгебр Клиффорда, которое существенно для представления, - это определяющее свойство, данное в D1 ниже. В базисные элементы так (3; 1) помечены M ^μν .

Представление алгебры Ли so (3; 1) группы Лоренца O (3; 1) появится среди матриц, которые будут выбраны в качестве базиса (в качестве векторного пространства) комплексной алгебры Клиффорда над пространством-временем. Затем эти матрицы 4 × 4 возводятся в степень, что дает представление SO (3; 1) ⁺ . Это представление, которое оказывается ( 1/2, 0) ⊕ (0,1/2) представление будет действовать в произвольном 4-мерном комплексном векторном пространстве, которое будет просто принято за C ⁴ , а его элементы будут биспинорами.

Для справки, коммутационные соотношения so (3; 1) имеют вид

${\ displaystyle \ left [M ^ {\ mu \ nu}, M ^ {\ rho \ sigma} \ right] = i \ left (\ eta ^ {\ sigma \ mu} M ^ {\ rho \ nu} + \ eta ^ {\ nu \ sigma} M ^ {\ mu \ rho} - \ eta ^ {\ rho \ mu} M ^ {\ sigma \ nu} - \ eta ^ {\ nu \ rho} M ^ {\ mu \ sigma} \ right)}$

( M1 )

с метрикой пространства-времени η = diag (−1,1,1,1) .

Гамма-матрицы

Обозначим через γ ^μ набор из четырех 4-мерных гамма-матриц, называемых здесь матрицами Дирака . Матрицы Дирака удовлетворяют

${\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} I_ {4},}$

( D1 )

где {,} - антикоммутатор , I ₄ - единичная матрица 4 × 4 , а η ^μν - метрика пространства-времени с сигнатурой (+, -, -, -). Это определяющее условие для порождающего множества алгебры Клиффорда . Дальнейшие базисные элементы σ ^μν алгебры Клиффорда задаются формулами

${\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu \ nu} = - {\ frac {i} {4}} \ left [\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} - \ gamma ^ {\ nu} \ гамма ^ {\ mu} \ right].}$

( C1 )

Только шесть из матриц σ ^μν линейно независимы. Это непосредственно следует из их определения, поскольку σ ^μν = - σ ^νμ . Они действуют на подпространстве V & _gamma ; в & gamma ; ^μ пролета в пассивном смысле , в соответствии с

${\ displaystyle \ left [\ sigma ^ {\ mu \ nu}, \ gamma ^ {\ rho} \ right] = - я \ gamma ^ {\ mu} \ eta ^ {\ nu \ rho} + i \ gamma ^ {\ nu} \ eta ^ {\ mu \ rho}.}$

( C2 )

В (C2) второе равенство следует из свойства (D1) алгебры Клиффорда.

Вложение алгебры Ли so (3; 1) в C ℓ ₄ (C)

Теперь определим действие so (3; 1) на σ ^μν и линейное подпространство V _σ ⊂ C ℓ ₄ ( C ), которое они порождают в C ℓ ₄ ( C ) ≈ M ⁿ _C , задаваемое формулой

${\ Displaystyle \ пи \ влево (М ^ {\ му \ ню} \ вправо) \ влево (\ сигма ^ {\ ро \ сигма} \ вправо) = \ влево [\ сигма ^ {\ му \ ню}, \ сигма ^ {\ rho \ sigma} \ right] = i \ left (\ eta ^ {\ sigma \ mu} \ sigma ^ {\ rho \ nu} + \ eta ^ {\ sigma \ nu} \ sigma ^ {\ rho \ mu} - \ eta ^ {\ mu \ rho} \ sigma ^ {\ nu \ sigma} - \ eta ^ {\ nu \ rho} \ sigma ^ {\ mu \ sigma} \ right),}$.

( C4 )

Последнее равенство в (C4) , которое следует из (C2) и свойства (D1) гамма-матриц, показывает, что σ ^μν представляют собой представление so (3; 1), поскольку коммутационные соотношения в (C4) в точности соответствуют таковые из так (3; 1) . Действие π (M ^μν ) можно представить либо как шестимерные матрицы Σ ^μν, умножающие базисные векторы σ ^μν , поскольку пространство в M _n ( C ), натянутое на σ ^μν, является шестимерным, либо его можно рассматривать как как действие коммутацией на σ ^ρσ . Далее π (M ^μν ) = σ ^μν

& Gamma ^ц , и сг ^μν оба (непересекающихся) подмножества базисных элементов С л ₄ ( С ), порожденные четырехмерный Дирака матрицы & gamma ^ц в четырех измерениях пространства - времени. Таким образом, алгебра Ли so (3; 1) вкладывается в C ℓ ₄ ( C ) посредством π как вещественное подпространство в C ℓ ₄ ( C ), натянутое на σ ^μν . Полное описание остальных базисных элементов алгебры Клиффорда, отличных от γ ^μ и σ ^μν , можно найти в статье « Алгебра Дирака» .

Представлены биспиноры

Теперь введем любое 4-мерное комплексное векторное пространство U, в котором γ ^μ действуют путем умножения матриц. Здесь U = C ⁴ подойдет. Пусть Λ = e ^{ω _μν M μν} - преобразование Лоренца, и определим действие группы Лоренца на U как

${\ Displaystyle и \ rightarrow S (\ Лямбда) и = е ^ {я \ пи (\ омега _ {\ му \ ню} M ^ {\ му \ ню})} и; \ четырехъядерных и ^ {\ альфа} \ стрелка вправо [e ^ {\ omega _ {\ mu \ nu} \ sigma ^ {\ mu \ nu}}] ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} u ^ {\ beta}.}$

Поскольку σ ^μν согласно (C4) составляют представление so (3; 1) , индуцированное отображение

${\ Displaystyle S: SO (3; 1) ^ {+} \ rightarrow \ mathrm {GL} (U); \ quad \ Lambda \ rightarrow e ^ {i \ pi (X)}; \ quad e ^ {iX} = \ Lambda, \ quad X = \ omega _ {\ mu \ nu} M ^ {\ mu \ nu} \ in {\ mathfrak {so}} (3; 1)}$

( C5 )

согласно общей теории либо является представлением или проективное представление о SO (3; 1) ⁺ . Оказывается, это проективное представление. Элементы U , наделенные правилом преобразования, данным S , называются биспинорами или просто спинорами .

Выбор матриц Дирака

Остается выбрать набор матриц Дирака γ ^мкм для того , чтобы получить представление спина S . Один из таких вариантов, подходящий для ультрарелятивистского предела , - это

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma ^ {0} & = - i {\ biggl (} {\ begin {matrix} 0 & I \\ I & 0 \\\ end {matrix}} {\ biggr)}, \\ \ gamma ^ {i} & = - i {\ biggl (} {\ begin {matrix} 0 & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} & 0 \\\ end {matrix}} {\ biggr) }, \ quad i = 1,2,3 \\\ конец {выровнено}}.}$

( E1 )

где σ _i - матрицы Паули . В этом представлении генераторов алгебры Клиффорда σ ^μν становятся

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma ^ {i0} & = {\ frac {i} {2}} {\ biggl (} {\ begin {matrix} \ sigma _ {i} & 0 \\ 0 & - \ sigma _ {i} \\\ end {matrix}} {\ biggr)}, \\\ sigma ^ {ij} & = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {ijk} {\ biggl (} {\ begin {matrix} \ sigma _ {k} & 0 \\ 0 & \ sigma _ {k} \\\ end {matrix}} {\ biggr)} \\\ end {выравнивается}}.}$

( E23 )

Это представление явно не является неприводимым, поскольку все матрицы блочно-диагональные . Но из-за неприводимости матриц Паули представление не может быть далее уменьшено. Поскольку он четырехмерный, единственная возможность состоит в том, что это (1/2, 0) ⊕ (0,1/2) представление, т.е. биспинорное представление. Теперь, используя рецепт возведения в степень представления алгебры Ли, чтобы получить представление SO (3; 1) ⁺ ,

${\ displaystyle {\ begin {align} S \ left (\ Lambda _ {B} \ right) & = e ^ {i \ pi (\ chi \ cdot \ mathbf {K})} = {\ biggl (} {\ begin {matrix} e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ chi \ cdot \ sigma} & 0 \\ 0 & e ^ {{\ frac {1} {2}} \ chi \ cdot \ sigma} \\ \ end {matrix}} {\ biggr)}, \\ S \ left (\ Lambda _ {R} \ right) & = e ^ {i \ pi (\ phi \ cdot \ mathbf {J})} = {\ biggl (} {\ begin {matrix} e ^ {{\ frac {i} {2}} \ phi \ cdot \ sigma} & 0 \\ 0 & e ^ {{\ frac {i} {2}} \ phi \ cdot \ сигма} \\\ конец {матрица}} {\ biggr)} \\\ конец {выровненный}},}$

( E3 )

получено проективное двузначное представление. Здесь φ - вектор параметров вращения с 0 ≤ φ ⁱ ≤ 2π , а χ - вектор параметров повышения . Используя принятые здесь соглашения, можно написать

${\ displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {R} \\\ psi _ {L} \ end {pmatrix}},}$

( E4 )

для биспинорного поля. Здесь верхняя компонента соответствует правому спинору Вейля . Чтобы включить в этот формализм обращение пространственной четности, нужно установить

${\ Displaystyle \ бета = я \ гамма ^ {0} = {\ biggl (} {\ begin {matrix} 0 & I \\ I & 0 \\\ end {matrix}} {\ biggr)},}$

( E5 )

как представитель для P = diag (1, −1, −1, −1) . Видно, что представление неприводимо при включении пространственной инверсии четности.

Пример

Пусть X = 2 πM ^12, так что X генерирует поворот вокруг оси z на угол 2 π . Тогда Λ = e ^iX = I ∈ SO (3; 1) ^+, но e ^{iπ ( X )} = - I ∈ GL ( U ) . Здесь I обозначает единичный элемент. Если вместо этого выбрано X = 0 , то по-прежнему Λ = e ^iX = I ∈ SO (3; 1) ⁺ , но теперь e ^{iπ ( X )} = I ∈ GL ( U ) .

Это иллюстрирует двузначную природу спинового представления. Тождество в SO (3; 1) ⁺ отображается либо в - I ∈ GL ( U ), либо в I ∈ GL ( U ), в зависимости от выбора элемента алгебры Ли для его представления. В первом случае, можно предположить , что поворот на угол 2л превратится биспинорами в минус себе, и что она требует 4 л вращения вращать биспинорные обратно в себя. Что на самом деле происходит то , что личность в SO (3; 1) ⁺ отображается в - I в GL ( U ) с неудачным выбором X .

Невозможно непрерывно выбирать X для всех g ∈ SO (3; 1) ⁺ так, чтобы S было непрерывным представлением. Предположим, что определено S вдоль петли в SO (3; 1) так , что X ( t ) = 2 πtM ¹² , 0 ≤ t ≤ 1 . Это замкнутый цикл в SO (3; 1) , то есть вращения в диапазоне от 0 до 2 π вокруг оси z при экспоненциальном отображении, но это только «половина» цикла в GL ( U ) , заканчивающаяся на - I. Кроме того, значение I ∈ SO (3; 1) неоднозначно, поскольку t = 0 и t = 2 π дают разные значения для I ∈ SO (3; 1) .

Алгебра Дирака

Представление S на биспиноров будет вызывать представление SO (3: 1) ⁺ на конце ( U ) , множество линейных операторов на U . Это пространство соответствует самой алгебре Клиффорда, так что все линейные операторы на U являются элементами последней. Это представление и то, как оно разлагается в прямую сумму неприводимых SO (3; 1) ⁺ представлений, описано в статье об алгебре Дирака . Одним из следствий является разложение билинейных форм на U × U . Это разложение подсказывает, как связать любое биспинорное поле с другими полями в лагранжиане, чтобы получить скаляры Лоренца .

Биспиноры и алгебра Дирака

Эти матрицы Дирака представляют собой набор из четырех 4 × 4 матрицы , образующие алгебры Дирака , и используются для переплести спина направление с локальной системе отсчета (локальную систему координат пространства - времени), а также для определения заряда ( С-симметрии ) , операторы четности и обращения времени .

Условные обозначения

Есть несколько вариантов подписи и представления , которые обычно используются в литературе по физике. Матрицы Дирака обычно записываются как где проходит от 0 до 3. В этом обозначении 0 соответствует времени, а от 1 до 3 соответствуют x, y и z. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ gamma ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mu}$

Подпись + - - - иногда называют метрикой западного побережья , а - + + + - метрикой восточного побережья . В настоящее время чаще используется подпись + - - -, и в нашем примере будет использоваться эта подпись. Чтобы перейти от одного примера к другому, умножьте все на . ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ gamma ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ scriptstyle i}$

После выбора подписи существует множество способов построения представления в матрицах 4 × 4, и многие из них широко используются. Чтобы сделать этот пример как можно более общим, мы не будем указывать представление до последнего шага. В это время мы сделаем замену в «киральном» или вейлевском представлении .

Построение спинора Дирака с заданными направлением спина и зарядом

Сначала мы выбираем направление вращения нашего электрона или позитрона. Как и в примере с алгеброй Паули, рассмотренном выше, направление вращения определяется единичным вектором в 3-х измерениях (a, b, c). Следуя соглашению Пескина и Шредера, оператор вращения для спина в направлении (a, b, c) определяется как скалярное произведение (a, b, c) на вектор

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left (i \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}, \; \; i \ gamma ^ {3} \ gamma ^ {1}, \; \; i \ гамма ^ {1} \ gamma ^ {2} \ right) & = - \ left (\ gamma ^ {1}, \; \ gamma ^ {2}, \; \ gamma ^ {3} \ right) i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} \\\ sigma _ {(a, b, c)} & = ia \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} + ib \ gamma ^ {3} \ gamma ^ {1} + ic \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ end {align}}}$

Обратите внимание, что указанное выше является корнем из единицы , то есть возводится в квадрат 1. Следовательно, мы можем сделать из него оператор проекции, который проецирует подалгебру алгебры Дирака, спин которой ориентирован в (a, b, в) направление:

${\ displaystyle P _ {(a, b, c)} = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ sigma _ {(a, b, c)} \ right)}$

Теперь мы должны выбрать заряд +1 (позитрон) или −1 (электрон). Следуя соглашениям Пескина и Шредера, оператор для заряда есть , то есть состояния электронов будут принимать собственное значение -1 относительно этого оператора, в то время как состояния позитронов будут принимать собственное значение +1. ${\ Displaystyle \ scriptstyle Q \, = \, - \ gamma ^ {0}}$

Обратите внимание, что это также квадратный корень из единицы. Кроме того, курсирует с . Они образуют полный набор коммутирующих операторов для алгебры Дирака . Продолжая наш пример, мы ищем представление электрона со спином в направлении (a, b, c). Переходя к проекционному оператору для заряда = −1, имеем ${\ displaystyle \ scriptstyle Q}$${\ displaystyle \ scriptstyle Q}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sigma _ {(а, б, в)}}$${\ displaystyle \ scriptstyle Q}$

${\ displaystyle P _ {- Q} = {\ frac {1} {2}} \ left (1-Q \ right) = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ gamma ^ {0} \Правильно)}$

Таким образом, оператор проекции для спинора, который мы ищем, является продуктом двух найденных нами операторов проекции:

${\ Displaystyle P _ {(a, b, c)} \; P _ {- Q}}$

Приведенный выше оператор проекции при применении к любому спинору даст ту часть спинора, которая соответствует искомому электронному состоянию. Таким образом, мы можем применить его к спинору со значением 1 в одном из его компонентов и 0 в других, что дает столбец матрицы. Продолжая пример, положим (a, b, c) = (0, 0, 1) и имеем

${\ displaystyle P _ {(0,0,1)} = {\ frac {1} {2}} \ left (1 + i \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ right)}$

и поэтому наш желаемый оператор проекции

${\ displaystyle P = {\ frac {1} {2}} \ left (1 + i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ right) \ cdot {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ gamma ^ {0} \ right) = {\ frac {1} {4}} \ left (1+ \ gamma ^ {0} + i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} + i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ right)}$

Гамма-матрицы 4 × 4, используемые в представлении Вейля :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma _ {0} & = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} \\\ gamma _ {k} & = {\ begin {bmatrix} 0 & \ sigma ^ {k} \\ - \ sigma ^ {k} & 0 \ end {bmatrix}} \ end {выровнено}}}$

для k = 1, 2, 3 и где - обычные матрицы Паули 2 × 2 . Подставляя их на P, получаем ${\ Displaystyle \ sigma ^ {я}}$

${\ displaystyle P = {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} 1+ \ sigma ^ {3} & 1 + \ sigma ^ {3} \\ 1+ \ sigma ^ {3} & 1 + \ sigma ^ {3} \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

Наш ответ - любой ненулевой столбец указанной выше матрицы. Деление на два - это просто нормализация. Первый и третий столбцы дают одинаковый результат:

${\ displaystyle \ left | e ^ {-}, \, + {\ frac {1} {2}} \ right \ rangle = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix }}}$

В более общем смысле, для электронов и позитронов со спином, ориентированным в направлении (a, b, c), оператор проекции имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} 1 + c & a-ib & \ pm (1 + c) & \ pm (a-ib) \\ a + ib & 1-c & \ pm (a + ib) & \ pm (1-c) \\\ pm (1 + c) & \ pm (a-ib) & 1 + c & a-ib \\\ pm (a + ib) & \ pm (1-c) & a + ib & 1-c \ end {bmatrix}}}$

где верхние знаки относятся к электрону, а нижние - к позитрону. Соответствующий спинор можно взять за любой ненулевой столбец. Поскольку разные столбцы кратны одному и тому же спинору. Представление полученного спинора в базисе Дирака можно получить, используя правило, данное в биспинорной статье. ${\ displaystyle \ scriptstyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \, = \, 1}$

Смотрите также

• Спинор Дирака
• Спин (3,1) , то двойная крышка из SO (3,1) с помощью спиновой группы
• Уравнение Рариты – Швингера

Примечания

использованная литература

• Кабан, Павел; Рембелиньски, Якуб (5 июля 2005 г.). «Лоренц-ковариантная приведенная матрица плотности спина и корреляции Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома». Physical Review . 72 (1): 012103. Arxiv : колич-фот / 0507056v1 . Bibcode : 2005PhRvA..72a2103C . DOI : 10.1103 / physreva.72.012103 . S2CID  119105796 .
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, том I , ISBN 0-521-55001-7.