Биортогональная система - Biorthogonal system

В математике , биортогональная система представляет собой пару индексированных семейств векторов

${\ Displaystyle {\ тильда {v}} _ {я}}$в E и в F${\ displaystyle {\ tilde {u}} _ {i}}$

такой, что

${\ displaystyle \ left \ langle {\ tilde {v}} _ {i}, {\ tilde {u}} _ {j} \ right \ rangle = \ delta _ {i, j},}$

где Е и F образуют пару топологических векторных пространств , которые находятся в двойственности , ⟨·, ·⟩ является билинейным отображением и является Кронекером . ${\ displaystyle \ delta _ {я, j}}$

Примером является пара наборов соответственно левого и правого собственных векторов матрицы, индексированных собственным значением , если собственные значения различны.

Биортогональная система, в которой E = F и является ортонормированной системой . ${\ Displaystyle {\ тильда {v}} _ {я} = {\ тильда {и}} _ {я}}$

Проекция

С биортогональной системой связана проекция

${\ displaystyle P: = \ sum _ {i \ in I} {\ tilde {u}} _ {i} \ otimes {\ tilde {v}} _ {i}}$,

где ; его образ является линейной оболочкой из , а ядро находится . ${\ displaystyle \ left (и \ otimes v \ right) (x): = u \ langle v, x \ rangle}$${\ displaystyle \ left \ {{\ tilde {u}} _ {i}: я \ in I \ right \}}$${\ displaystyle \ left \ {\ left \ langle {\ тильда {v}} _ {i}, \ cdot \ right \ rangle = 0: i \ in I \ right \}}$

строительство

Учитывая, возможно, неортогональный набор векторов и связанную проекцию, ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = (и_ {я})}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ left (v_ {i} \ right)}$

${\ displaystyle P = \ sum _ {i, j} u_ {i} \ left (\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle ^ {- 1} \ right) _ {j, i} \ время v_ {j}}$,

где - матрица с элементами . ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle}$${\ displaystyle \ left (\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle \ right) _ {i, j} = \ left \ langle v_ {i}, u_ {j} \ right \ rangle}$

• ${\ displaystyle {\ tilde {u}} _ {i}: = (IP) u_ {i}}$, а затем - биортогональная система.${\ displaystyle {\ tilde {v}} _ {i}: = \ left (IP \ right) ^ {*} v_ {i}}$

Смотрите также

• Двойная основа
• Двойное пространство
• Двойная пара
• Ортогональность
• Ортогонализация

Ссылки

• Жан Дьедонне, О биортогональных системах Michigan Math. J. 2 (1953), нет. 1, 7–20 [1]