Фильтр Бесселя - Bessel filter
Линейные аналоговые электронные фильтры |
---|
В электроники и обработки сигналов , A фильтр Бесселя представляет собой тип аналогового линейного фильтра с максимально плоской групповой задержки / фазы (максимально линейной фазовой характеристикой ), который сохраняет форму волны отфильтрованных сигналов в полосе пропускания. Фильтры Бесселя часто используются в аудиосистемах кроссовера .
Название фильтра - отсылка к немецкому математику Фридриху Бесселю (1784–1846), который разработал математическую теорию, на которой основан фильтр. Фильтры также называются фильтрами Бесселя – Томсона в честь У. Э. Томсона, который разработал, как применять функции Бесселя для проектирования фильтров в 1949 году. (Фактически, статья Киясу из Японии предшествует этому на несколько лет.)
Фильтр Бесселя очень похож на фильтр Гаусса и имеет тенденцию к той же форме, когда порядок фильтра увеличивается. Хотя ступенчатая характеристика фильтра Гаусса во временной области имеет нулевой выброс , фильтр Бесселя имеет небольшой выброс, но все же намного меньший, чем обычные фильтры частотной области.
По сравнению с приближениями конечного порядка фильтра Гаусса, фильтр Бесселя имеет лучший коэффициент формирования, более плоскую фазовую задержку и более плоскую групповую задержку, чем гауссовский фильтр того же порядка, хотя гауссовский фильтр имеет меньшую временную задержку и нулевой выброс.
Передаточная функция
Фильтр нижних частот Бесселя характеризуется своей передаточной функцией :
где - обратный многочлен Бесселя, от которого фильтр получил свое название, и частота, выбранная для получения желаемой частоты среза. Фильтр имеет низкочастотную групповую задержку . Поскольку неопределен по определению обратных многочленов Бесселя, но является устранимой особенностью, определяется, что .
Многочлены Бесселя
Передаточная функция фильтра Бесселя - это рациональная функция , знаменателем которой является обратный многочлен Бесселя , например следующий:
Обратные многочлены Бесселя даются как:
где
Пример
Передаточная функция для фильтра нижних частот Бесселя третьего порядка (трехполюсного) с :
где числитель был выбран так, чтобы получить единичный коэффициент усиления на нулевой частоте ( s = 0). Корни полинома знаменателя, полюса фильтра, включают действительный полюс при s = −2,3222 и комплексно-сопряженную пару полюсов при s = −1,8389 ± j 1,7544 , график выше.
Тогда выигрыш
Точка 3 дБ, в которой происходит это, обычно называется частотой среза.
Фаза
Групповая задержка является
Ряд Тейлора расширение групповой задержки
Обратите внимание, что два члена в ω 2 и ω 4 равны нулю, что приводит к очень плоской групповой задержке при ω = 0 . Это наибольшее количество членов, которое может быть установлено равным нулю, поскольку в полиноме Бесселя третьего порядка всего четыре коэффициента, для определения которых требуется четыре уравнения. Одно уравнение определяет, что коэффициент усиления равен единице при ω = 0, а второй указывает, что коэффициент усиления равен нулю при ω = ∞ , оставляя два уравнения для определения двух членов в разложении ряда равными нулю. Это общее свойство групповой задержки для фильтра Бесселя порядка n : первые n - 1 членов в разложении в ряд групповой задержки будут равны нулю, что максимизирует равномерность групповой задержки при ω = 0 .
Цифровой
Поскольку важной характеристикой фильтра Бесселя является его максимально плоская групповая задержка, а не амплитудный отклик, нецелесообразно использовать билинейное преобразование для преобразования аналогового фильтра Бесселя в цифровую форму (поскольку это сохраняет амплитудный отклик, но не групповая задержка).
Цифровым эквивалентом является фильтр Тирана, также всеполюсный фильтр нижних частот с максимально ровной групповой задержкой, который также может быть преобразован в многопроходный фильтр для реализации дробных задержек.
Смотрите также
- Фильтр Баттерворта
- Гребенчатый фильтр
- Фильтр Чебышева
- Эллиптический фильтр
- Функция Бесселя
- Групповая задержка и фазовая задержка
Рекомендации
- ^ "Фильтр Бесселя" . 2013-01-24. Архивировано из оригинала на 24 января 2013 года . Проверено 6 января 2016 .
- ↑ Thomson, WE, " Сети с задержкой, имеющие максимально плоские частотные характеристики ", Труды Института инженеров-электриков , Часть III, ноябрь 1949 г., Vol. 96, № 44, стр. 487–490.
- ^ Kiyasu, Z (август 1943). «О методе проектирования сетей с задержкой». J. Inst. Электр. Commun. Англ . Япония. 26 : 598–610.
- ^ Бон, Деннис; Миллер, Рэй (1998). «RaneNote 147: кроссовер с фильтром Бесселя и его связь с другими» . www.rane.com . Архивировано из оригинала на 2014-02-24 . Проверено 6 января 2016 .
-
^ Робертс, Стивен. «ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И КОНСТРУКЦИЯ ФИЛЬТРОВ: 3.1 фильтры Бесселя-Томсона» (PDF) .
Импульсная характеристика фильтров Бесселя-Томсона стремится к гауссову при увеличении порядка фильтрации.
-
^ "comp.dsp | БИХ фильтры гауссовского перехода" . www.dsprelated.com . Проверено 6 января 2016 .
Аналоговый фильтр Бесселя является приближением к фильтру Гаусса, и приближение улучшается по мере увеличения порядка фильтра.
-
^ "Гауссовские фильтры" . www.nuhertz.com . Проверено 29 марта 2016 .
Наиболее важной характеристикой фильтра Гаусса является то, что переходная характеристика не содержит выбросов.
-
^ «Как выбрать фильтр? (Баттерворт, Чебышев, Обратный Чебышев, Бессель или Томсон)» . www.etc.tuiasi.ro . Проверено 29 марта 2016 .
Бессель ... Преимущества: Лучшая ступенчатая характеристика - очень мало перерегулирования или звона.
-
^ "Бесплатная программа аналогового фильтра" . www.kecktaylor.com . Проверено 29 марта 2016 .
фильтр Бесселя имеет небольшое перерегулирование, а фильтр Гаусса не имеет перерегулирования.
-
^ Paarmann, LD (2001-06-30). Дизайн и анализ аналоговых фильтров: перспектива обработки сигналов . Springer Science & Business Media. ISBN 9780792373735 .
фильтр Бесселя имеет немного лучший коэффициент формирования, более плоскую фазовую задержку и более плоскую групповую задержку, чем фильтр Гаусса того же порядка. Однако фильтр Гаусса имеет меньшую временную задержку, о чем свидетельствуют единичные пики импульсной характеристики, возникающие раньше, чем для фильтров Бесселя того же порядка.
- ^ a b Джованни Бьянки и Роберто Соррентино (2007). Моделирование и проектирование электронных фильтров . McGraw – Hill Professional. С. 31–43. ISBN 978-0-07-149467-0 .
- ^ Тиран, JP (1971-11-01). «Рекурсивные цифровые фильтры с максимально плоской групповой задержкой». IEEE Transactions по теории цепей . 18 (6): 659–664. DOI : 10.1109 / TCT.1971.1083363 . ISSN 0018-9324 .
-
^ Мадисетти, Виджай (1997-12-29). «Раздел 11.3.2.2 Классические типы БИХ-фильтров». Справочник по цифровой обработке сигналов . CRC Press. п. 282. ISBN. 9780849385728 .
Пятый БИХ-фильтр ... это всеполюсный фильтр, который обладает максимально плоской групповой задержкой ... этот фильтр не получается напрямую из аналогового эквивалента, фильтра Бесселя ... Вместо этого он может быть получен непосредственно в цифровой домен [Thiran]
- ^ Смит III, Юлий О. (2015-05-22). «Интерполяторы Thiran Allpass» . Издательство W3K . Проверено 29 апреля 2016 .
-
^ Välimäki, Vesa (1995-01-01). «Дискретно-временное моделирование акустических трубок с использованием фильтров с дробной задержкой» (PDF) . Отаниеми: Технологический университет Хельсинки.
Тиран (1971) предложил аналитическое решение для коэффициентов всеполюсного фильтра нижних частот с максимально плоской групповой задержкой ... кажется, что результат Тирана лучше подходит для проектирования всепроходных фильтров, чем всеполюсных фильтров.
Цитировать журнал требует|journal=
( помощь )