Гребенчатый фильтр - Comb filter

В обработке сигналов , A гребенчатый фильтр представляет собой фильтр реализуется путем добавления задержанной версии сигнала к себе, вызывая конструктивную и деструктивную интерференцию . Частотная характеристика гребенчатого фильтра состоит из ряда равномерно расположенных вырезов, давая появление гребенки .

Приложения

Гребенчатые фильтры используются во множестве приложений обработки сигналов, в том числе:

• Каскадные фильтры интегратора-гребенки (CIC), обычно используемые для сглаживания во время операций интерполяции и децимации, которые изменяют частоту дискретизации системы с дискретным временем.
• Двухмерные и трехмерные гребенчатые фильтры, реализованные на оборудовании (а иногда и в программном обеспечении) в декодерах аналогового телевидения PAL и NTSC , уменьшают артефакты, такие как ползание точек .
• Аудио обработка сигналов , в том числе задержки , отбортовок , синтез физического моделирования и цифровой синтеза волновода . Если задержка установлена ​​на несколько миллисекунд, гребенчатый фильтр может моделировать эффект акустических стоячих волн в цилиндрической полости или в вибрирующей струне .
• В астрономии астро-гребенка обещает увеличить точность существующих спектрографов почти в сто раз.

В акустике гребенчатая фильтрация может возникать как нежелательный артефакт. Например, два динамика, воспроизводящие один и тот же сигнал на разном расстоянии от слушателя, создают эффект гребенчатой ​​фильтрации звука. В любом замкнутом пространстве слушатели слышат смесь прямого и отраженного звука. Отраженный звук занимает более длительный путь с задержкой по сравнению с прямым звуком, и создается гребенчатый фильтр, где они смешиваются у слушателя.

Реализация

Гребенчатые фильтры существуют в двух формах: с прямой связью и обратной связью ; которые относятся к направлению, в котором сигналы задерживаются перед добавлением на вход.

Гребенчатые фильтры могут быть реализованы с дискретным или непрерывным временем, которые очень похожи.

Форма обратной связи

Общая структура гребенчатого фильтра с прямой связью описывается разностным уравнением :

${\ Displaystyle у [п] = х [п] + \ альфа х [нК]}$

где - длина задержки (измеряется в отсчетах), а α - коэффициент масштабирования, применяемый к задержанному сигналу. Г преобразования обеих сторон выходов уравнения: ${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle Y (Z) = \ влево (1+ \ альфа Z ^ {- K} \ вправо) X (z)}$

Передаточная функция определяется следующим образом:

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = 1+ \ alpha z ^ {- K} = {\ frac {z ^ {K} + \ alpha} { z ^ {K}}}}$

Частотный отклик

Частотная характеристика системы с дискретным временем, выраженная в z -области, получается заменой z = e ^jΩ . Следовательно, для гребенчатого фильтра прямой связи:

${\ displaystyle H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) = 1 + \ alpha e ^ {- j \ Omega K}}$

Используя формулу Эйлера , частотная характеристика также определяется выражением

${\ Displaystyle H \ влево (е ^ {J \ Omega} \ right) = {\ bigl [} 1+ \ alpha \ cos (\ Omega K) {\ bigr]} - j \ alpha \ sin (\ Omega K) }$

Часто интерес представляет отклик амплитуды , который игнорирует фазу. Это определяется как:

${\ displaystyle \ left | H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ Re \ left \ {H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) \ right \} ^ {2} + \ Im \ left \ {H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) \ right \} ^ {2}}}}$

В случае гребенчатого фильтра с прямой связью это:

${\ displaystyle \ left | H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ left (1+ \ alpha ^ {2} \ right) +2 \ alpha \ cos (\ Омега К)}}}$

(1 + α ² ) термин является постоянным, в то время как 2 α сов ( ΩK ) Термин изменяется периодически . Следовательно, амплитудно-частотный отклик гребенчатого фильтра является периодическим.

Графики показывают отклик амплитуды для различных значений α , демонстрируя эту периодичность. Некоторые важные свойства:

• Отклик периодически снижается до локального минимума (иногда называемого меткой ) и периодически повышается до локального максимума (иногда называемого пиком ).
• Для положительных значений α первый минимум возникает на половине периода задержки и повторяется после этого с кратностью частоты задержки:

${\ displaystyle f = {\ frac {1} {2K}}, {\ frac {3} {2K}}, {\ frac {5} {2K}} \ cdots}$.

• Уровни максимумов и минимумов всегда равноудалены от 1.
• При α = ± 1 минимумы имеют нулевую амплитуду. В этом случае минимумы иногда называют нулевыми .
• Максимумы положительных значений α совпадают с минимумами отрицательных значений , и наоборот.${\ displaystyle \ alpha}$

Импульсивный ответ

Гребенчатый фильтр с прямой связью - один из простейших фильтров с конечной импульсной характеристикой . Его реакция - это просто начальный импульс со вторым импульсом после задержки.

Интерпретация полюс – ноль

Снова посмотрим на передаточную функцию z- области гребенчатого фильтра с прямой связью:

${\ Displaystyle H (z) = {\ гидроразрыва {z ^ {K} + \ alpha} {z ^ {K}}}}$

числитель равен нулю, если z ^K = - α . У этого есть K решений, равномерно распределенных по кругу в комплексной плоскости ; это нули передаточной функции. Знаменатель равен нулю при z ^K = 0 , что дает K полюсов при z = 0 . Это приводит к графику «полюс – ноль», подобному показанному.

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра с прямой связью при K = 8 и α = 0,5

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра с прямой связью при K = 8 и α = −0,5

Форма обратной связи

Точно так же общая структура гребенчатого фильтра обратной связи описывается разностным уравнением :

${\ Displaystyle у [п] = х [п] + \ альфа у [нК]}$

Это уравнение можно изменить так, чтобы все члены в были слева, а затем взяв преобразование z : ${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle \ влево (1- \ альфа Z ^ {- K} \ вправо) Y (z) = X (z)}$

Таким образом, передаточная функция:

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {1} {1- \ alpha z ^ {- K}}} = {\ frac {z ^ {K}} {z ^ {K} - \ alpha}}}$

Частотный отклик

Подставляя z = e ^jΩ в выражение z- области для гребенчатого фильтра обратной связи:

${\ displaystyle H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) = {\ frac {1} {1- \ alpha e ^ {- j \ Omega K}}}}$

Ответ величины следующий:

${\ displaystyle \ left | H \ left (e ^ {j \ Omega} \ right) \ right | = {\ frac {1} {\ sqrt {\ left (1+ \ alpha ^ {2} \ right) -2 \ alpha \ cos (\ Omega K)}}}}$

Опять же, ответ периодический, как показывают графики. Гребенчатый фильтр обратной связи имеет некоторые общие свойства с формой прямой связи:

• Отклик периодически снижается до локального минимума и повышается до локального максимума.
• Максимумы положительных значений α совпадают с минимумами отрицательных значений , и наоборот.${\ displaystyle \ alpha}$
• Для положительных значений α первый максимум возникает при 0 и после этого повторяется при кратной частоте задержки:

${\ displaystyle f = 0, {\ frac {1} {K}}, {\ frac {2} {K}}, {\ frac {3} {K}} \ cdots}$.

Однако есть и некоторые важные различия, потому что в знаменателе отклика величины есть член :

• Уровни максимумов и минимумов больше не равноудалены от 1. Максимумы имеют амплитуду 1/1 - α.
• Фильтр стабилен только в том случае, если | α | строго меньше 1. Как видно из графиков, при | α | увеличивается, амплитуда максимумов возрастает все быстрее.

Импульсивный ответ

Гребенчатый фильтр обратной связи представляет собой простой тип фильтра с бесконечной импульсной характеристикой . Если он стабилен, ответ просто состоит из повторяющейся серии импульсов, амплитуда которых уменьшается с течением времени.

Интерпретация полюс – ноль

Снова посмотрим на передаточную функцию z- области гребенчатого фильтра обратной связи:

${\ Displaystyle H (z) = {\ гидроразрыва {z ^ {K}} {z ^ {K} - \ alpha}}}$

На этот раз числитель равен нулю при z ^K = 0 , что дает K нулей при z = 0 . Знаменатель равен нулю, если z ^K = α . У этого есть K решений, равномерно распределенных по кругу в комплексной плоскости ; это полюса передаточной функции. Это приводит к графику «полюс – ноль», как показано ниже.

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра обратной связи при K = 8 и α = 0,5

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра обратной связи при K = 8 и α = −0,5

Гребенчатые фильтры непрерывного действия

Гребенчатые фильтры также могут быть реализованы в непрерывном режиме времени . Форма прямой связи может быть описана уравнением:

${\ Displaystyle у (т) = х (т) + \ альфа х (т- \ тау)}$

где τ - задержка (измеряется в секундах). Он имеет следующую передаточную функцию:

${\ Displaystyle H (s) = 1 + \ альфа е ^ {- s \ tau}}$

Форма с прямой связью состоит из бесконечного числа нулей, разнесенных по оси jω.

Форма обратной связи имеет уравнение:

${\ Displaystyle у (т) = х (т) + \ альфа у (т- \ тау)}$

и следующая передаточная функция:

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {1- \ alpha e ^ {- s \ tau}}}}$

Форма обратной связи состоит из бесконечного числа полюсов, разнесенных по оси jω.

Реализации с непрерывным временем разделяют все свойства соответствующих реализаций с дискретным временем.

Смотрите также

• Интерферометр Фабри – Перо

использованная литература

внешние ссылки

• СМИ, связанные с гребенчатыми фильтрами, на Викискладе?