Эллиптический фильтр - Elliptic filter

Эллиптический фильтр (также известный как фильтр Кауэра , названный в честь Вильгельма Кауэра , или в качестве фильтра Золотарева , после Егор Золотарев ) является фильтром обработки сигнала с выровненного пульсаций () поведение АЧХ является равномерно пульсирующей как в полосе пропускания и задерживания . Величина пульсации в каждой полосе регулируется независимо, и никакой другой фильтр равного порядка не может иметь более быстрый переход в усилении между полосой пропускания и полосой задерживания для данных значений пульсации (независимо от того, выравнивается пульсация или нет). В качестве альтернативы можно отказаться от возможности независимо регулировать пульсации полосы пропускания и полосы задерживания и вместо этого разработать фильтр, который максимально нечувствителен к изменениям компонентов.

Поскольку пульсации в полосе задерживания стремится к нулю, фильтр становится тип I фильтр Чебышева . Когда пульсация в полосе пропускания приближается к нулю, фильтр становится фильтром Чебышева типа II и, наконец, когда оба значения пульсации приближаются к нулю, фильтр становится фильтром Баттерворта .

Коэффициент усиления эллиптического фильтра нижних частот как функция угловой частоты ω определяется выражением:

${\ displaystyle G_ {n} (\ omega) = {1 \ over {\ sqrt {1+ \ epsilon ^ {2} R_ {n} ^ {2} (\ xi, \ omega / \ omega _ {0}) }}}}$

где R _n - эллиптическая рациональная функция n- го порядка (иногда называемая рациональной функцией Чебышева) и

${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ это частота среза

${\ displaystyle \ epsilon}$ фактор пульсации

${\ displaystyle \ xi}$ коэффициент селективности

Значение коэффициента пульсации определяет пульсацию полосы пропускания, в то время как комбинация коэффициента пульсации и коэффициента селективности определяет пульсацию полосы задерживания.

Характеристики

Частотная характеристика эллиптического фильтра нижних частот четвертого порядка с ε  = 0,5 и ξ  = 1,05. Также показаны минимальное усиление в полосе пропускания и максимальное усиление в полосе задерживания, а также область перехода между нормализованной частотой 1 и ξ.

Крупный план переходной области на приведенном выше графике.

• В полосе пропускания эллиптическая рациональная функция изменяется от нуля до единицы. Таким образом, коэффициент усиления полосы пропускания будет варьироваться от 1 до . ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {1+ \ epsilon ^ {2}}}}$
• В полосе задерживания эллиптическая рациональная функция изменяется от бесконечности до коэффициента дискриминации, который определяется как: ${\ displaystyle L_ {n}}$

${\ Displaystyle L_ {п} = R_ {п} (\ xi, \ xi) \,}$

Таким образом, усиление полосы задерживания будет варьироваться от 0 до . ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {1+ \ epsilon ^ {2} L_ {n} ^ {2}}}}$

• В пределе эллиптическая рациональная функция становится полиномом Чебышева , и поэтому фильтр становится фильтром Чебышева типа I с коэффициентом пульсации ε${\ Displaystyle \ xi \ rightarrow \ infty}$
• Поскольку фильтр Баттерворта является ограничивающей формой фильтра Чебышева, из этого следует, что в пределах , и такой фильтр становится фильтром Баттерворта${\ Displaystyle \ xi \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle \ omega _ {0} \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ epsilon \, R_ {n} (\ xi, 1 / \ omega _ {0}) = 1}$
• В пределе , и таким образом, что и фильтр становится Вторым фильтром типа Чебышева с коэффициентом усиления ${\ Displaystyle \ xi \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ omega _ {0} \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ xi \ omega _ {0} = 1}$${\ Displaystyle \ эпсилон L_ {п} = \ альфа}$

${\ Displaystyle G (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + {\ frac {1} {\ alpha ^ {2} T_ {n} ^ {2} (1 / \ omega)}} }}}}$

Полюсы и нули

Логарифм абсолютного значения усиления эллиптического фильтра 8-го порядка в комплексном частотном пространстве (s = σ + jω) с ε = 0,5, ξ = 1,05 и ω ₀ = 1. Белые пятна - это полюса, а черные - нули. . Всего имеется 16 полюсов и 8 двойных нулей. То, что кажется однополюсным и нулевым рядом с переходной областью, на самом деле является четырьмя полюсами и двумя двойными нулями, как показано на развернутом изображении ниже. На этом изображении черный цвет соответствует усилению 0,0001 или меньше, а белый соответствует усилению 10 или более.

Увеличенный вид переходной области на изображении выше, разрешающий четыре полюса и два двойных нуля.

Нули усиления эллиптического фильтра будут совпадать с полюсами эллиптической рациональной функции, которые выводятся в статье об эллиптических рациональных функциях .

Полюса усиления эллиптического фильтра может быть получены таким образом , очень похожей на вывод полюсов коэффициента усиления типа I фильтра Чебышев . Для простоты предположим, что частота среза равна единице. Полюса усиления эллиптического фильтра будут нулями знаменателя усиления. Использование комплексной частоты означает, что: ${\ displaystyle (\ omega _ {pm})}$${\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega}$

${\ displaystyle 1+ \ epsilon ^ {2} R_ {n} ^ {2} (- js, \ xi) = 0 \,}$

Определив, где cd () - функция эллиптического косинуса Якоби, и используя определение эллиптических рациональных функций, получаем: ${\ Displaystyle -js = \ mathrm {cd} (ш, 1 / \ xi)}$

${\ displaystyle 1+ \ epsilon ^ {2} \ mathrm {cd} ^ {2} \ left ({\ frac {nwK_ {n}} {K}}, {\ frac {1} {L_ {n}}} \ right) = 0 \,}$

где и . Решение для w${\ Displaystyle К = К (1 / \ xi)}$${\ Displaystyle К_ {п} = К (1 / L_ {п})}$

${\ displaystyle w = {\ frac {K} {nK_ {n}}} \ mathrm {cd} ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ pm j} {\ epsilon}}, {\ frac {1 } {L_ {n}}} \ right) + {\ frac {mK} {n}}}$

где множественные значения обратной функции cd () сделаны явными с использованием целочисленного индекса m .

Полюса эллиптической функции усиления тогда:

${\ Displaystyle s_ {pm} = я \, \ mathrm {cd} (ш, 1 / \ xi) \,}$

Как и в случае полиномов Чебышева, это может быть выражено в явно сложной форме ( Lutovac & et al. 2001 , § 12.8) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFLutovacet_al.2001 ( справка )

${\ displaystyle s_ {pm} = {\ frac {a + jb} {c}}}$

${\ displaystyle a = - \ zeta _ {n} {\ sqrt {1- \ zeta _ {n} ^ {2}}} {\ sqrt {1-x_ {m} ^ {2}}} {\ sqrt { 1-x_ {m} ^ {2} / \ xi ^ {2}}}}$

${\ displaystyle b = x_ {m} {\ sqrt {1- \ zeta _ {n} ^ {2} (1-1 / \ xi ^ {2})}}}$

${\ displaystyle c = 1- \ zeta _ {n} ^ {2} + x_ {i} ^ {2} \ zeta _ {n} ^ {2} / \ xi ^ {2}}$

где является функцией и и являются нулями эллиптической рациональной функции. выражается для всех n через эллиптические функции Якоби или алгебраически для некоторых порядков, особенно порядков 1,2 и 3. Для порядков 1 и 2 имеем ${\ displaystyle \ zeta _ {n}}$${\ Displaystyle п, \, \ эпсилон}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle x_ {m}}$${\ displaystyle \ zeta _ {n}}$

${\ displaystyle \ zeta _ {1} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ epsilon ^ {2}}}}}$

${\ displaystyle \ zeta _ {2} = {\ frac {2} {(1 + t) {\ sqrt {1+ \ epsilon ^ {2}}} + {\ sqrt {(1-t) ^ {2} + \ epsilon ^ {2} (1 + t) ^ {2}}}}}}$

где

${\ displaystyle t = {\ sqrt {1-1 / \ xi ^ {2}}}}$

Алгебраическое выражение для довольно сложное (см. Lutovac & et al. (2001 , § 12.8.1) ). ${\ displaystyle \ zeta _ {3}}$ Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFLutovacet_al.2001 ( справка )

Свойство вложенности эллиптических рациональных функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для : ${\ displaystyle \ zeta _ {n}}$

${\ displaystyle \ zeta _ {m \ cdot n} (\ xi, \ epsilon) = \ zeta _ {m} \ left (\ xi, {\ sqrt {{\ frac {1} {\ zeta _ {n} ^) {2} (L_ {m}, \ epsilon)}} - 1}} \ right)}$

где . ${\ Displaystyle L_ {м} = R_ {м} (\ xi, \ xi)}$

Эллиптические фильтры с минимальной добротностью

Нормированные добротности полюсов эллиптического фильтра 8-го порядка с ξ  = 1,1 как функция коэффициента пульсации ε . Каждая кривая представляет четыре полюса, поскольку комплексно сопряженные пары полюсов и пары положительно-отрицательных полюсов имеют одинаковую добротность. (Синяя и голубая кривые почти совпадают). Добротность всех полюсов одновременно минимизируется при ε _Qmin  = 1 /  √ L _n  = 0,02323 ...

См. Lutovac & et al. (2001 , § 12.11, 13.14) . Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFLutovacet_al.2001 ( справка )

Эллиптические фильтры обычно задаются, требуя определенного значения для пульсации полосы пропускания, пульсации полосы задерживания и резкости среза. Обычно это указывает минимальное значение порядка фильтрации, которое необходимо использовать. Еще одним соображением при проектировании является чувствительность функции усиления к значениям электронных компонентов, используемых для создания фильтра. Эта чувствительность обратно пропорциональна добротности ( добротности ) полюсов передаточной функции фильтра. Добротность полюса определяется как:

${\ displaystyle Q = - {\ frac {| s_ {pm} |} {2 \ mathrm {Re} (s_ {pm})}} = - {\ frac {1} {2 \ cos (\ arg (s_ { вечера}))}}}$

и является мерой влияния полюса на функцию усиления. Для эллиптического фильтра случается, что для данного порядка существует взаимосвязь между коэффициентом пульсации и коэффициентом селективности, которая одновременно минимизирует добротность всех полюсов в передаточной функции:

${\ displaystyle \ epsilon _ {Qmin} = {\ frac {1} {\ sqrt {L_ {n} (\ xi)}}}}$

В результате получается фильтр, который максимально нечувствителен к изменениям компонентов, но при этом теряется возможность независимо определять полосу пропускания и пульсации полосы задерживания. Для таких фильтров по мере увеличения порядка пульсация в обеих полосах будет уменьшаться, а скорость отсечки увеличиваться. Если кто-то решит использовать эллиптический фильтр с минимальной добротностью для достижения определенной минимальной пульсации в полосах фильтра наряду с определенной скоростью отсечки, необходимый порядок обычно будет больше, чем тот, который в противном случае потребовался бы без минимальной добротности. ограничение. Изображение абсолютного значения усиления будет очень похоже на изображение в предыдущем разделе, за исключением того, что полюса расположены по кругу, а не по эллипсу. Они не будут расположены равномерно, и на оси ω будут нули, в отличие от фильтра Баттерворта , полюса которого расположены в равномерно распределенном круге без нулей.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Вот изображение, показывающее эллиптический фильтр рядом с другим распространенным типом фильтров, полученных с тем же количеством коэффициентов:

Как видно из изображения, эллиптические фильтры резче, чем все остальные, но они показывают рябь по всей полосе пропускания.

Рекомендации

• Дэниелс, Ричард В. (1974). Аппроксимационные методы проектирования электронных фильтров . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN   0-07-015308-6 .
• Лутовац, Мирослав Д .; Тошич, Деян В .; Эванс, Брайан Л. (2001). Проектирование фильтров для обработки сигналов с использованием MATLAB и Mathematica . Нью-Джерси, США: Прентис Холл. ISBN   0-201-36130-2 .