Преобразование Бэклунда - Bäcklund transform

В математике , Бэклунд преобразовании или преобразовании Бэклунда (названной в честь шведского математика Альберта Виктора Беклунда ) относятся дифференциальные уравнения и их решение. Они являются важным инструментом в теории солитонов и интегрируемых систем . Преобразование Беклунда обычно представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, связывающих две функции, и часто зависящих от дополнительного параметра. Это означает, что две функции по отдельности удовлетворяют уравнениям в частных производных, и каждая из этих двух функций называется преобразованием Бэклунда другой.

Преобразование Беклунда, которое связывает решения одного и того же уравнения, называется инвариантным преобразованием Беклунда или автопреобразованием Беклунда . Если такое преобразование может быть найдено, можно многое сделать о решениях уравнения, особенно если преобразование Бэклунда содержит параметр. Однако систематический способ нахождения преобразований Бэклунда неизвестен.

История

Преобразования Бэклунда возникли как преобразования псевдосфер в 1880-х годах.

Преобразования Беклунда берут свое начало в дифференциальной геометрии : первым нетривиальным примером является преобразование псевдосферических поверхностей, введенное Л. Бьянки и А. В. Бэклундом в 1880-х годах. Это геометрическое построение новой псевдосферической поверхности из исходной такой поверхности с использованием решения линейного дифференциального уравнения . Псевдосферические поверхности можно описать как решения уравнения синус-Гордон , и, следовательно, преобразование поверхностей Бэклунда можно рассматривать как преобразование решений уравнения синус-Гордон.

Уравнения Коши – Римана.

Прототипным примером преобразования Беклунда является система Коши – Римана

{\ displaystyle u_ {x} = v_ {y}, \ quad u_ {y} = - v_ {x}, \,}

которая связывает действительные и мнимые части , а из голоморфной функции . Эта система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка обладает следующими свойствами. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$

Если и являются решениями уравнений Коши – Римана, то является решением уравнения Лапласа (т. Е. Гармонической функцией ), и так и является . Это следует прямо путем дифференцирования уравнений относительно и и использования того факта, что ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle u}$
${\ displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} = 0}$
${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$
${\ displaystyle u_ {xy} = u_ {yx}, \ quad v_ {xy} = v_ {yx}. \,}$
Наоборот, если является решением уравнения Лапласа, то существуют функции, которые решают уравнения Коши – Римана вместе с . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle u}$

Таким образом, в этом случае преобразование Беклунда гармонической функции является просто сопряженной гармонической функцией . Вышеупомянутые свойства означают, точнее, что уравнение Лапласа для и уравнение Лапласа для являются условиями интегрируемости для решения уравнений Коши – Римана. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$

Это характерные черты преобразования Беклунда. Если у нас есть уравнение в частных производных в и преобразование Бэклунда из в , мы можем вывести уравнение в частных производных, которому удовлетворяет . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle v}$

Этот пример довольно тривиален, потому что все три уравнения (уравнение для , уравнение для и связывающее их преобразование Бэклунда) являются линейными. Преобразования Беклунда наиболее интересны, когда только одно из трех уравнений является линейным. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v}$

Уравнение синус-Гордона

Предположим, что u является решением уравнения синус-Гордон

{\ Displaystyle и_ {ху} = \ грех и \,}

Тогда система

{\ displaystyle {\ begin {align} v_ {x} & = u_ {x} + 2a \ sin {\ Bigl (} {\ frac {v + u} {2}} {\ Bigr)} \\ v_ {y } & = - u_ {y} + {\ frac {2} {a}} \ sin {\ Bigl (} {\ frac {vu} {2}} {\ Bigr)} \ end {align}} \, \ !}

где a - произвольный параметр, разрешима для функции v, которая также будет удовлетворять уравнению синус-Гордон. Это пример автоматического преобразования Беклунда.

Используя матричную систему, также можно найти линейное преобразование Беклунда для решений уравнения синус-Гордон.

Уравнение Лиувилля

Преобразование Беклунда может превратить нелинейное уравнение в частных производных в более простое линейное уравнение в частных производных.

Например, если u и v связаны преобразованием Беклунда

{\ displaystyle {\ begin {align} v_ {x} & = u_ {x} + 2a \ exp {\ Bigl (} {\ frac {u + v} {2}} {\ Bigr)} \\ v_ {y } & = - u_ {y} - {\ frac {1} {a}} \ exp {\ Bigl (} {\ frac {uv} {2}} {\ Bigr)} \ end {align}} \, \ !}

где a - произвольный параметр, и если u - решение уравнения Лиувилля

${\ Displaystyle и_ {ху} = \ ехр и \, \!}$

тогда v - решение гораздо более простого уравнения , и наоборот. ${\ displaystyle v_ {xy} = 0}$

Затем мы можем решить (нелинейное) уравнение Лиувилля, работая с гораздо более простым линейным уравнением.

Смотрите также

использованная литература

Германн, Роберт (1976). Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений, преобразования Беклунда и солитоны . Math Sci Press. ISBN 978-0-915692-16-3 .
Роджерс, С .; Шедвик, У. Ф. (1982-05-12), Преобразования Бэклунда и их приложения (1-е изд.), Academic Press, ISBN 0-12-592850-5
Роджерс, С .; Шиф, Вольфганг Карл (2002), преобразования Беклунда и Дарбу , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-01288-1 , отрывок
А.Д. Полянин и В.Ф. Зайцев, Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производными , Chapman & Hall / CRC Press, 2004.

Languages

In other projects