Дуга (проективная геометрия) - Arc (projective geometry)

4-дуга (красные точки) в проективной плоскости порядка 2 (плоскость Фано).
Для дуг в реальном или сложном проективном пространстве см. Дуга (геометрия) .

( Простая ) дуга в конечной проективной геометрии - это набор точек, который интуитивно удовлетворяет характеристике изогнутых фигур в непрерывной геометрии . Грубо говоря, это наборы точек, которые далеки от «линейных» на плоскости или далеких от «плоских» в трехмерном пространстве. В этой конечной обстановке это характерно включать число точек в наборе во имя, так что эти простые дуги называются к - дугами . Важным обобщением концепции k- дуги, также называемой в литературе дугой , являются ( k, d ) -дуги.

k -дуги на проективной плоскости

В конечной проективной плоскости П (не обязательно дезарговой ) множества A из K ( K ≥ 3) указывает таким образом, что никакие три точки A не коллинеарны (на линии) называется K - дуга . Если плоскость π имеет порядок q, то k ≤ q + 2 , однако максимальное значение k может быть достигнуто, только если q четное. В плоскости порядка д , А ( д + 1) -arc называется овальной формы и, если д четно, А ( д + 2) -arc называется гиперовал .

Каждая коника дезарговой проективной плоскости PG (2, q ), т. Е. Множество нулей неприводимого однородного квадратного уравнения, является овалом. Знаменитый результат Бениамино Сегре утверждает, что если q нечетно, каждая ( q + 1) -дуга в PG (2, q ) является коникой ( теорема Сегре ). Это один из первых результатов в области конечной геометрии .

Если д четно и является ( д + 1) -arc в π , то можно показать с помощью комбинаторных аргументов , которые должны существовать единственная точка в П ( так называемый ядром из А ) таким образом, что объединение А и это точка является ( q + 2) -дугой. Таким образом, любой овал можно однозначно продолжить до гиперовала в конечной проективной плоскости четного порядка.

К -arc , который не может быть расширен в большую дугу называется полной дугой . В дезарговых проективных плоскостях PG (2, q ) q- дуга не является полной, поэтому все они могут быть продолжены до овалов.

k -дуги в проективном пространстве

В конечном проективное пространство PG ( п , д ) с п ≥ 3 , множество из K ≥ п + 1 точек , таких , что никакие п + 1 точки не лежат в одной гиперплоскости , называется (пространственный) K - дуги . Это определение обобщает определение k- дуги на плоскости (где n = 2 ).

( k , d ) -дуги на проективной плоскости

A ( k , d ) - дуга ( k , d > 1 ) в конечной проективной плоскости π (не обязательно дезарговской ) - это множество A из k точек из π таких, что каждая прямая пересекает A не более чем в d точках, и там есть хотя бы одна прямая, которая действительно пересекает A в d точках. ( K , 2 ) -дуга является k- дугой и может называться просто дугой, если размер не имеет значения.

Количество точек k ( k , d ) -дуги A на проективной плоскости порядка q не превосходит qd + d - q . Когда происходит равенство, одна вызывает максимальная дуга .

Гиперовали - это максимальные дуги. Полные дуги не обязательно должны быть максимальными.

Смотрите также

Ноты

Ссылки

  • Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR  0233275
  • Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 0-19-853526-0

внешние ссылки