Дуга (геометрия) - Arc (geometry)

Круговой сектор заштрихован в зеленом цвете. Его криволинейная граница длиной L представляет собой дугу окружности.

В евклидовой геометрии , дуги (символ: ) представляет собой связное подмножество дифференцируемого кривой . Дуги прямых называются отрезками или лучами , в зависимости от того, ограничены они или нет. Распространенный пример изогнутой кривой - это дуга окружности , называемая дугой окружности . В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .

Каждая пара различных точек на окружности определяет две дуги. Если эти две точки не прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, то незначительные дуги , будет сопутствуют угол в центре круга , который меньше , чем п радиан (180 градусов), а другой дуги, то основная дуга , образует угол больше π радиан.

Круговые дуги

Длина дуги окружности

Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности радиуса r, соединяющей угол θ (измеренный в радианах) с центром окружности, т. Е. Центральным углом, равна

Это потому что

Подставляя по окружности

причем α - это тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ  = α/180π длина дуги равна

Практический способ определить длину дуги в круге - построить две линии от конечных точек дуги до центра круга, измерить угол, где две линии пересекаются с центром, а затем решить для L путем перекрестного умножения утверждения :

мера угла в градусах / 360 ° = L / окружность.

Например, если угол составляет 60 градусов, а длина окружности 24 дюйма, то

Это так, потому что длина окружности и градусы окружности, которых всегда 360, прямо пропорциональны.

Верхняя половина круга может быть параметризована как

Тогда длина дуги от до равна

Площадь сектора дуги

Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее концам), равна

Площадь A имеет ту же пропорцию к площади круга, что и угол θ до полного круга:

Мы можем сократить π с обеих сторон:

Умножив обе части на r 2 , мы получим окончательный результат:

Используя преобразование, описанное выше, мы находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренная в градусах, равна

Площадь сегмента дуги

Площадь фигуры, ограниченная дугой и прямой линией между двумя ее конечными точками, равна

Чтобы получить площадь дугового сегмента , нам нужно вычесть площадь треугольника, определяемую центром круга и двумя конечными точками дуги, из площади . Подробнее см. Круглый сегмент .

Радиус дуги

Продукт из отрезков АР и РВ равна произведению отрезков линии CP и PD. Если дуга имеет ширину AB и высоту CP, то диаметр круга

Используя теорему о пересечении хорд (также известную как теорема о степени точки или о секущей касательной), можно вычислить радиус r окружности с учетом высоты H и ширины W дуги:

Рассмотрим хорду с теми же концами, что и дуга. Его серединный перпендикуляр - это еще одна хорда, которая равна диаметру окружности. Длина первой хорды равна W , и она делится биссектрисой на две равные половины, каждая длинойW/2. Общая длина диаметра составляет 2 р , и он делится на две части первой хордой. Длина одной части является Sagitta дуги, H , а другая часть представляет собой остаток от диаметра, с длиной 2 г  -  Н . Применение теоремы о пересечении хорд к этим двум хордам дает

откуда

так

Параболические дуги

Смотрите также

Ссылки

внешние ссылки

  • Содержание страниц Math Open Reference Circle
  • Математика Открыть справочную страницу по дугам окружности с интерактивной анимацией
  • Математика Открыть справочную страницу по радиусу дуги окружности или сегмента с интерактивной анимацией
  • Вайсштейн, Эрик В. «Арк» . MathWorld .