Дуга (геометрия) - Arc (geometry)
В евклидовой геометрии , дуги (символ: ⌒ ) представляет собой связное подмножество дифференцируемого кривой . Дуги прямых называются отрезками или лучами , в зависимости от того, ограничены они или нет. Распространенный пример изогнутой кривой - это дуга окружности , называемая дугой окружности . В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .
Каждая пара различных точек на окружности определяет две дуги. Если эти две точки не прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, то незначительные дуги , будет сопутствуют угол в центре круга , который меньше , чем п радиан (180 градусов), а другой дуги, то основная дуга , образует угол больше π радиан.
Круговые дуги
Длина дуги окружности
Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности радиуса r, соединяющей угол θ (измеренный в радианах) с центром окружности, т. Е. Центральным углом, равна
Это потому что
Подставляя по окружности
причем α - это тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ = α/180π длина дуги равна
Практический способ определить длину дуги в круге - построить две линии от конечных точек дуги до центра круга, измерить угол, где две линии пересекаются с центром, а затем решить для L путем перекрестного умножения утверждения :
- мера угла в градусах / 360 ° = L / окружность.
Например, если угол составляет 60 градусов, а длина окружности 24 дюйма, то
Это так, потому что длина окружности и градусы окружности, которых всегда 360, прямо пропорциональны.
Верхняя половина круга может быть параметризована как
Тогда длина дуги от до равна
Площадь сектора дуги
Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее концам), равна
Площадь A имеет ту же пропорцию к площади круга, что и угол θ до полного круга:
Мы можем сократить π с обеих сторон:
Умножив обе части на r 2 , мы получим окончательный результат:
Используя преобразование, описанное выше, мы находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренная в градусах, равна
Площадь сегмента дуги
Площадь фигуры, ограниченная дугой и прямой линией между двумя ее конечными точками, равна
Чтобы получить площадь дугового сегмента , нам нужно вычесть площадь треугольника, определяемую центром круга и двумя конечными точками дуги, из площади . Подробнее см. Круглый сегмент .
Радиус дуги
Используя теорему о пересечении хорд (также известную как теорема о степени точки или о секущей касательной), можно вычислить радиус r окружности с учетом высоты H и ширины W дуги:
Рассмотрим хорду с теми же концами, что и дуга. Его серединный перпендикуляр - это еще одна хорда, которая равна диаметру окружности. Длина первой хорды равна W , и она делится биссектрисой на две равные половины, каждая длинойW/2. Общая длина диаметра составляет 2 р , и он делится на две части первой хордой. Длина одной части является Sagitta дуги, H , а другая часть представляет собой остаток от диаметра, с длиной 2 г - Н . Применение теоремы о пересечении хорд к этим двум хордам дает
откуда
так
Параболические дуги
Смотрите также
Ссылки
внешние ссылки
- Содержание страниц Math Open Reference Circle
- Математика Открыть справочную страницу по дугам окружности с интерактивной анимацией
- Математика Открыть справочную страницу по радиусу дуги окружности или сегмента с интерактивной анимацией
- Вайсштейн, Эрик В. «Арк» . MathWorld .