Функция Эйри - Airy function

В физических науках функция Эйри (или функция Эйри первого рода ) Ai ( x ) - это специальная функция, названная в честь британского астронома Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892). Функция Ai ( x ) и связанная с ней функция Bi ( x ) являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} - xy = 0, \, \!}$

известное как уравнение Эйри или уравнение Стокса . Это простейшее линейное дифференциальное уравнение второго порядка с точкой поворота (точка, в которой характер решения меняется с колебательного на экспоненциальный).

Другая функция , также названная в честь Эйри, важна в микроскопии и астрономии ; он описывает узор из-за дифракции и интерференции , создаваемый точечным источником света (который намного меньше предела разрешения микроскопа или телескопа ).

Определения

График Ai ( x ) красным и Bi ( x ) синим

Для действительных значений x функция Эйри первого рода может быть определена несобственным интегралом Римана :

${\ displaystyle \ operatorname {Ai} (x) = {\ dfrac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ dfrac {t ^ {3}} { 3}} + xt \ right) \, dt \ Equiv {\ dfrac {1} {\ pi}} \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {b} \ cos \ left ({ \ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, dt,}$

которое сходится по критерию Дирихле . Для любого действительного числа существует положительное действительное число такое, что функция возрастает, неограничена и выпукла с непрерывной и неограниченной производной на интервале . Сходимость интеграла на этом интервале проверяется критерием Дирихле после подстановки . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt}$${\ Displaystyle [М, \ infty)}$${\ displaystyle u = {\ dfrac {t ^ {3}} {3}} + xt}$

y = Ai ( x ) удовлетворяет уравнению Эйри

${\ displaystyle y '' - xy = 0.}$

Это уравнение имеет два линейно независимых решения. С точностью до скалярного умножения Ai ( x ) является решением, удовлетворяющим условию y → 0 при x → ∞. Стандартным выбором для другого решения является функция Эйри второго рода, обозначаемая Bi ( x ). Он определяется как решение с той же амплитудой колебаний, что и Ai ( x ) при x → −∞, которое отличается по фазе на π / 2:

${\ displaystyle \ operatorname {Bi} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ exp \ left (- {\ tfrac {t ^ { 3}} {3}} + xt \ right) + \ sin \ left ({\ tfrac {t ^ {3}} {3}} + xt \ right) \, \ right] dt.}$

Характеристики

Значения Ai ( x ) и Bi ( x ) и их производных при x = 0 задаются формулами

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (0) & {} = {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {2} {3}} \ Gamma ({\ tfrac {2} { 3}})}}, & \ quad \ operatorname {Ai} '(0) & {} = - {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {1} {3}} \ Gamma ({\ tfrac { 1} {3}})}}, \\\ operatorname {Bi} (0) & {} = {\ frac {1} {3 ^ {\ frac {1} {6}} \ Gamma ({\ tfrac { 2} {3}})}}, & \ quad \ operatorname {Bi} '(0) & {} = {\ frac {3 ^ {\ frac {1} {6}}} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {3}})}}. \ End {align}}}$

Здесь Γ обозначает гамма-функцию . Отсюда следует, что вронскиан Ai ( x ) и Bi ( x ) равен 1 / π.

Когда x положительный, Ai ( x ) положительный, выпуклый и экспоненциально убывающий до нуля, а Bi ( x ) положительный, выпуклый и экспоненциально возрастающий. Когда x отрицателен, Ai ( x ) и Bi ( x ) колеблются около нуля с постоянно увеличивающейся частотой и постоянно уменьшающейся амплитудой. Это подтверждается приведенными ниже асимптотическими формулами для функций Эйри.

Функции Эйри ортогональны в том смысле, что

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {Ai} (t + x) \ operatorname {Ai} (t + y) dt = \ delta (xy)}$

снова используя несобственный интеграл Римана.

Асимптотические формулы

Ai (синий) и синусоидальная / экспоненциальная асимптотика Ai (пурпурный)

Bi (синий) и синусоидальная / экспоненциальная асимптотика Bi (пурпурный)

Как объясняется ниже, функции Эйри могут быть расширены до комплексной плоскости, давая целые функции . Асимптотика функций Эйри при | z | стремится к бесконечности при постоянном значении arg ( z ), зависит от arg ( z ): это называется феноменом Стокса . Для | arg ( z ) | <π имеем следующую асимптотическую формулу для Ai ( z ):

${\ displaystyle \ operatorname {Ai} (z) \ sim {\ dfrac {e ^ {- {\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}}}} {2 {\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Гамма (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! Z ^ {3n / 2}}} \ right].}$

и аналогичная для Bi ( z ), но применима только тогда, когда | arg ( z ) | <π / 3:

${\ displaystyle \ operatorname {Bi} (z) \ sim {\ frac {e ^ {{\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {\ Gamma (n + {\ frac {5} { 6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! Z ^ {3n / 2}}} \ right].}$

Более точная формула для Ai ( z ) и формула для Bi ( z ), когда π / 3 <| arg ( z ) | <π или, что то же самое, для Ai (- z ) и Bi (- z ), когда | arg ( z ) | <2π / 3, но не равны нулю:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (-z) \ sim & {} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3}) {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {1} {6 }}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n}} {2 \ pi (2n)! z ^ {3n}}} \ right] \\ [6pt] & {} - {\ frac {\ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{ \ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n } \ Gamma (2n + {\ frac {11} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {7} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n +1}} {2 \ pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} \ right] \\ [6pt] \ operatorname {Bi} (-z) \ sim & {} {\ frac {\ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma ( 2n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n}} {2 \ pi (2n)! z ^ {3n}}} \ right] \\ [6pt] & {} + {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac { 3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) } {{\ sqrt {\ pi}} \, z ^ {\ frac {1} {4}}}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {11} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {7} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n + 1}} {2 \ pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} \ right]. \ End {align}}}$

Когда | arg ( z ) | = 0 это хорошие приближения, но не асимптотические, потому что соотношение между Ai (- z ) или Bi (- z ) и указанным выше приближением стремится к бесконечности всякий раз, когда синус или косинус стремится к нулю. Также доступны асимптотические разложения для этих пределов. Они перечислены в (Abramowitz and Stegun, 1983) и (Olver, 1974).

Можно также получить асимптотические выражения для этих производных Ai '(z) и Bi' (z). Как и раньше, когда | arg (z) | <π:

$${\ displaystyle \ operatorname {Ai} '(z) \ sim - {\ dfrac {z ^ {\ frac {1} {4}} e ^ {- {\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}}}} {2 {\ sqrt {\ pi}} \,}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + 6n} {1- 6n}} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! z ^ {3n / 2}}} \ right].}$$

Когда | arg (z) | <π / 3, мы имеем:

$${\ displaystyle \ operatorname {Bi} '(z) \ sim {\ frac {z ^ {\ frac {1} {4}} e ^ {{\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3 } {2}}}} {{\ sqrt {\ pi}} \,}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + 6n} {1-6n}} {\ dfrac {\ Gamma (n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {n}} {2 \ pi n! z ^ {3n / 2}}} \ right].}$$

Аналогично, выражение для Ai '(- z ) и Bi' (- z ), когда | arg ( z ) | <2π / 3, но не равны нулю, являются

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} '(-z) \ sim & {} - {\ frac {z ^ {\ frac {1} {4}} \ cos \ left ({\ frac { 2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \,}} \ left [ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + 12n} {1-12n}} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {5} { 6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n}} {2 \ pi (2n)! Z ^ {3n}}} \ right] \\ [6pt] & {} - {\ frac {z ^ {\ frac {1} {4}} \ sin \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \,}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {7 + 12n} {- 5-12n}} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {11} {6}}) \ Gamma ( 2n + {\ frac {7} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n + 1}} {2 \ pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} \ right] \\ [6pt] \ operatorname {Bi} '(-z) \ sim & {} {\ frac {z ^ {\ frac {1} {4}} \ sin \ left ( {\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \,} } \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 + 12n} {1-12n}} {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {5} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {1} {6}}) \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {2n}} {2 \ pi (2n )! z ^ {3n}}} \ right] \\ [6pt] & {} - {\ fr ac {z ^ {\ frac {1} {4}} \ cos \ left ({\ frac {2} {3}} z ^ {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ pi} { 4}} \ right)} {{\ sqrt {\ pi}} \,}} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {7 + 12n} {- 5-12n} } {\ dfrac {(-1) ^ {n} \ Gamma (2n + {\ frac {11} {6}}) \ Gamma (2n + {\ frac {7} {6}}) \ left ({\ frac { 3} {4}} \ right) ^ {2n + 1}} {2 \ pi (2n + 1)! Z ^ {3n + 3/2}}} \ right] \\\ конец {выровнено}}}$$

Сложные аргументы

Мы можем расширить определение функции Эйри на комплексную плоскость следующим образом:

${\ displaystyle \ operatorname {Ai} (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {C} \ exp \ left ({\ tfrac {t ^ {3}} {3}} -zt \ right) \, dt,}$

где интеграл ведется по пути C, начинающемуся в бесконечно удаленной точке с аргументом −π / 3 и заканчивающемуся в бесконечно удаленной точке с аргументом π / 3. В качестве альтернативы мы можем использовать дифференциальное уравнение y ′ ′ - xy = 0, чтобы расширить Ai ( x ) и Bi ( x ) до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для Ai ( x ) все еще действительна в комплексной плоскости, если взято главное значение x ^2/3 и x отделен от отрицательной действительной оси. Формула для Bi ( x ) верна, если x находится в секторе { x ∈ C  : | arg ( x ) | <(π / 3) −δ} для некоторого положительного δ. Наконец, формулы для Ai (- x ) и Bi (- x ) верны, если x находится в секторе { x ∈ C  : | arg ( x ) | <(2π / 3) −δ}.

Из асимптотического поведения функций Эйри следует, что как Ai ( x ), так и Bi ( x ) имеют бесконечное количество нулей на отрицательной действительной оси. Функция Ai ( x ) не имеет других нулей в комплексной плоскости, а функция Bi ( x ) также имеет бесконечно много нулей в секторе { z ∈ C  : π / 3 <| arg ( z ) | <π / 2}.

Сюжеты

${\ Displaystyle \ Re \ left [\ OperatorName {Ai} (x + iy) \ right]}$	${\ Displaystyle \ Im \ left [\ OperatorName {Ai} (x + iy) \ right]}$	${\ Displaystyle | \ OperatorName {Ai} (x + iy) | \,}$	${\ displaystyle \ operatorname {arg} \ left [\ operatorname {Ai} (x + iy) \ right] \,}$

${\ Displaystyle \ Re \ left [\ OperatorName {Bi} (x + iy) \ right]}$	${\ Displaystyle \ Im \ left [\ OperatorName {Bi} (x + iy) \ right]}$	${\ Displaystyle | \ OperatorName {Bi} (x + iy) | \,}$	${\ displaystyle \ operatorname {arg} \ left [\ operatorname {Bi} (x + iy) \ right] \,}$

Отношение к другим специальным функциям

Для положительных аргументов функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (x) & {} = {\ frac {1} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac {x} {3}}} \, K_ { \ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right), \\\ operatorname {Bi} (x) & { } = {\ sqrt {\ frac {x} {3}}} \ left (I _ {\ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3 } {2}} \ right) + I _ {- {\ frac {1} {3}}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right ) \ right). \ end {выравнивается}}}$

Здесь I _{± 1/3} и K _1/3 - решения

${\ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '- \ left (x ^ {2} + {\ tfrac {1} {9}} \ right) y = 0.}$

Первая производная функции Эйри равна

${\ displaystyle \ operatorname {Ai '} (x) = - {\ frac {x} {\ pi {\ sqrt {3}}}} \, K _ {\ frac {2} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right).}$

Функции K _1/3 и K _2/3 могут быть представлены в терминах быстро сходящихся интегралов (см. Также модифицированные функции Бесселя )

Для отрицательных аргументов функции Эйри связаны с функциями Бесселя :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Ai} (-x) & {} = {\ sqrt {\ frac {x} {9}}} \ left (J _ {\ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) + J _ {- {\ frac {1} {3}}} \ left ({\ tfrac { 2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) \ right), \\\ имя оператора {Bi} (-x) & {} = {\ sqrt {\ frac {x} { 3}}} \ left (J _ {- {\ frac {1} {3}}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) - J _ {\ frac {1} {3}} \ left ({\ tfrac {2} {3}} x ^ {\ frac {3} {2}} \ right) \ right). \ End {align}}}$

Здесь J _{± 1/3} - решения

${\ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '+ \ left (x ^ {2} - {\ tfrac {1} {9}} \ right) y = 0.}$

В функции Секретарский Hi (х) и -gi (х) решить уравнение у '' - ху = 1 / я. Их также можно выразить в терминах функций Эйри:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Gi} (x) & {} = \ operatorname {Bi} (x) \ int _ {x} ^ {\ infty} \ operatorname {Ai} (t) \, dt + \ operatorname {Ai} (x) \ int _ {0} ^ {x} \ operatorname {Bi} (t) \, dt, \\\ operatorname {Hi} (x) & {} = \ operatorname {Bi} (x) \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ operatorname {Ai} (t) \, dt- \ operatorname {Ai} (x) \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ operatorname { Bi} (t) \, dt. \ End {выравнивается}}}$

преобразование Фурье

Используя определение функции Эйри Ai ( x ), легко показать, что ее преобразование Фурье задается формулой

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ operatorname {Ai}) (k): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {Ai} (x) \ e ^ {- 2 \ pi ikx} \, dx = e ^ {{\ frac {i} {3}} (2 \ pi k) ^ {3}}.}$

Приложения

Квантовая механика

Функция Эйри является решением не зависящего от времени уравнения Шредингера для частицы, заключенной в треугольную потенциальную яму, и для частицы в одномерном поле постоянной силы. По той же причине он также служит для обеспечения однородных полуклассических приближений вблизи точки поворота в приближении ВКБ , когда потенциал может быть локально аппроксимирован линейной функцией положения. Решение с треугольной потенциальной ямой имеет прямое отношение к пониманию электронов, захваченных в полупроводниковых гетеропереходах .

Оптика

Каустики

Функция Эйри лежит в основе формы интенсивности около направленной оптической каустики , такой как радуга . Исторически именно эта математическая проблема побудила Эйри разработать эту специальную функцию.

Коэффициент пропускания интерферометра Фабри – Перо.

«Функция Эйри» в смысле пропускания интерферометра Фабри-Перо.

Функция пропускания интерферометра Фабри – Перо также называется функцией Эйри :

${\ displaystyle T_ {e} = {\ frac {1} {1 + F \ sin ^ {2} ({\ frac {\ delta} {2}})}},}$

где обе поверхности имеют коэффициент отражения R и

${\ Displaystyle F = {\ гидроразрыва {4R} {(1-R) ​​^ {2}}}}$

является коэффициент утонченность .

Дифракция на круглом отверстии

«Функция Эйри» в смысле дифракции на круговой диафрагме.

Независимо, как третье значение термина, форма диска Эйри, возникающая в результате дифракции волны на круглой апертуре, иногда также обозначается как функция Эйри (см., Например, здесь ). Этот вид функции тесно связан с функцией Бесселя .

История

Функция Эйри названа в честь британского астронома и физика Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892), который столкнулся с ней в своем раннем исследовании оптики в физике (Эйри, 1838). Обозначение Ai ( x ) было введено Гарольдом Джеффрисом . Эйри стал британским королевским астрономом в 1835 году и занимал этот пост до выхода на пенсию в 1881 году.

Смотрите также

• Доказательство гипотезы Виттена использовало матричнозначное обобщение функции Эйри.
• Дзета-функция Эйри

Примечания

использованная литература

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 10» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 448. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Эйри (1838), «Об интенсивности света вблизи каустика» , Труды Кембриджского философского общества , University Press, 6 : 379–402, Bibcode : 1838TCaPS ... 6..379A
• Фрэнк Уильям Джон Олвер (1974). Асимптотика и специальные функции, Глава 11. Academic Press, Нью-Йорк.
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.6.3. Функции Эйри» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN. 978-0-521-88068-8
• Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), функции Эйри и приложения к физике , Лондон: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9, MR  2114198 , архивируются с оригинала на 2010-01-13 , извлекаться 2010-05-14

внешние ссылки

• "Функции Эйри" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Эйри» . MathWorld .
• Страницы функций Wolfram для функций Ai и Bi . Включает формулы, средство оценки функций и калькулятор построения графиков.
• Olver, FWJ (2010), «Эйри и родственные функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248