Стресс-функции - Stress functions

В линейной упругости уравнения, описывающие деформацию упругого тела, подверженного только поверхностным силам (& / или объемным силам, которые могут быть выражены как потенциалы) на границе, являются (с использованием обозначения индекса ) уравнением равновесия:

{\ displaystyle \ sigma _ {ij, i} = 0 \,}

где - тензор напряжений , и уравнения совместимости Бельтрами-Мичелла: ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle \ sigma _ {ij, kk} + {\ frac {1} {1+ \ nu}} \ sigma _ {kk, ij} = 0}

Общее решение этих уравнений может быть выражено через тензор напряжений Бельтрами . Функции напряжения выводятся как частные случаи этого тензора напряжений Бельтрами, который, хотя и менее общий, иногда дает более удобный метод решения уравнений упругости.

Функции напряжения Бельтрами

Можно показать, что полное решение уравнений равновесия можно записать как

{\ Displaystyle \ сигма = \ набла \ раз \ фи \ раз \ набла}

Использование обозначения индекса:

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ varepsilon _ {ikm} \ varepsilon _ {jln} \ Phi _ {kl, mn}}

Инженерная нотация
${\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {yy}} {\ partial z \ partial z}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {zz}} {\ partial y \ partial y}} - 2 {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {yz}} {\ partial y \ partial z}}}$		${\ displaystyle \ sigma _ {xy} = - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {xy}} {\ partial z \ partial z}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {zz}} {\ partial x \ partial y}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {yz}} {\ partial x \ partial z}} + {\ frac {\ partial ^ { 2} \ Phi _ {zx}} {\ partial y \ partial z}}}$
${\ displaystyle \ sigma _ {y} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {xx}} {\ partial z \ partial z}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {zz}} {\ partial x \ partial x}} - 2 {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {zx}} {\ partial z \ partial x}}}$		${\ displaystyle \ sigma _ {yz} = - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {yz}} {\ partial x \ partial x}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {xx}} {\ partial y \ partial z}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {zx}} {\ partial y \ partial x}} + {\ frac {\ partial ^ { 2} \ Phi _ {xy}} {\ partial z \ partial x}}}$
${\ displaystyle \ sigma _ {z} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {yy}} {\ partial x \ partial x}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {xx}} {\ partial y \ partial y}} - 2 {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {xy}} {\ partial x \ partial y}}}$		${\ displaystyle \ sigma _ {zx} = - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {zx}} {\ partial y \ partial y}} - {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {yy}} {\ partial z \ partial x}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {xy}} {\ partial z \ partial y}} + {\ frac {\ partial ^ { 2} \ Phi _ {yz}} {\ partial x \ partial y}}}$

где - произвольное тензорное поле второго ранга, которое является по крайней мере дважды дифференцируемым, и известно как тензор напряжений Бельтрами . Его компоненты известны как функции напряжения Бельтрами . - псевдотензор Леви-Чивиты , все значения которого равны нулю, кроме тех, в которых индексы не повторяются. Для набора неповторяющихся индексов значение компонента будет +1 для четных перестановок индексов и -1 для нечетных перестановок. И есть оператор Набла . Для того чтобы тензор напряжений Бельтрами удовлетворял уравнениям совместимости Бельтрами-Мичелла в дополнение к уравнениям равновесия, дополнительно требуется, чтобы он был по крайней мере четырехкратно непрерывно дифференцируемым. ${\ displaystyle \ Phi _ {mn}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {mn}}$

Функции напряжения Максвелла

Функции напряжений Максвелла определяются в предположении, что тензор напряжений Бельтрами ограничен формой. ${\ displaystyle \ Phi _ {mn}}$

{\ displaystyle \ Phi _ {ij} = {\ begin {bmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & C \ end {bmatrix}}}

Тензор напряжений, который автоматически подчиняется уравнению равновесия, теперь можно записать как:

${\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ frac {\ partial ^ {2} B} {\ partial z ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} C} {\ partial y ^ {2}}}}$		${\ displaystyle \ sigma _ {yz} = - {\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial y \ partial z}}}$
${\ displaystyle \ sigma _ {y} = {\ frac {\ partial ^ {2} C} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial z ^ {2}}}}$		${\ displaystyle \ sigma _ {zx} = - {\ frac {\ partial ^ {2} B} {\ partial z \ partial x}}}$
${\ displaystyle \ sigma _ {z} = {\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B} {\ partial x ^ {2}}}}$		${\ displaystyle \ sigma _ {xy} = - {\ frac {\ partial ^ {2} C} {\ partial x \ partial y}}}$

Решение проблемы упругости теперь состоит в нахождении трех функций напряжения, которые дают тензор напряжения, который подчиняется уравнениям совместимости Бельтрами – Мичелла для напряжения. Подстановка выражений для напряжений в уравнения Бельтрами-Мичелла дает выражение задачи упругости в терминах функций напряжений:

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} A + \ nabla ^ {4} B + \ nabla ^ {4} C = 3 \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial x ^ {2}} } + {\ frac {\ partial ^ {2} B} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} C} {\ partial z ^ {2}}} \ right) / (2- \ nu),}

Они также должны давать тензор напряжений, который подчиняется указанным граничным условиям.

Функция воздушного стресса

Функция напряжения Эйри - это частный случай функций напряжения Максвелла, в котором предполагается, что A = B = 0, а C является функцией только x и y. Таким образом, эта функция напряжения может использоваться только для двумерных задач. В литературе по упругости функция напряжения обычно представлена как, а напряжения выражаются как ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

{\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial y ^ {2}}} ~; ~~ \ sigma _ {y} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial x ^ {2}}} ~; ~~ \ sigma _ {xy} = - {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial x \ partial y} } - (f_ {x} y + f_ {y} x)}

Где и - значения телесных сил в соответствующем направлении. ${\ displaystyle f_ {x}}$ ${\ displaystyle f_ {y}}$

В полярных координатах это выражения:

{\ displaystyle \ sigma _ {rr} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial \ theta ^ {2}}} ~; ~~ \ sigma _ {\ theta \ theta} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi } {\ partial r ^ {2}}} ~; ~~ \ sigma _ {r \ theta} = \ sigma _ {\ theta r} = - {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left ( {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial \ theta}} \ right)}

Функции стресса Морера

Функции напряжений Морера определяются в предположении, что тензор тензора напряжений Бельтрами ограничен формой ${\ displaystyle \ Phi _ {mn}}$

{\ displaystyle \ Phi _ {ij} = {\ begin {bmatrix} 0 & C & B \\ C & 0 & A \\ B & A & 0 \ end {bmatrix}}}

Решение проблемы упругости теперь состоит в нахождении трех функций напряжения, которые дают тензор напряжения, который подчиняется уравнениям совместимости Бельтрами-Мичелла. Подстановка выражений для напряжений в уравнения Бельтрами-Мичелла дает выражение задачи упругости в терминах функций напряжений:

${\ displaystyle \ sigma _ {x} = - 2 {\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial y \ partial z}}}$		${\ displaystyle \ sigma _ {yz} = - {\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B} {\ partial y \ partial x}} + {\ frac {\ partial ^ {2} C} {\ partial z \ partial x}}}$
${\ displaystyle \ sigma _ {y} = - 2 {\ frac {\ partial ^ {2} B} {\ partial z \ partial x}}}$		${\ displaystyle \ sigma _ {zx} = - {\ frac {\ partial ^ {2} B} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} C} {\ partial z \ partial y}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial x \ partial y}}}$
${\ displaystyle \ sigma _ {z} = - 2 {\ frac {\ partial ^ {2} C} {\ partial x \ partial y}}}$		${\ displaystyle \ sigma _ {xy} = - {\ frac {\ partial ^ {2} C} {\ partial z ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial x \ partial z}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B} {\ partial y \ partial z}}}$

Функция напряжения Прандтля

Функция напряжения Прандтля - это частный случай функций напряжения Морера, в котором предполагается, что A = B = 0, а C является функцией только x и y.

Примечания

использованная литература

Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность - теория, приложения и числа . Нью-Йорк: Эльзевьер Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-12-605811-3. OCLC 162576656 .
Кнопс, Р.Дж. (1958). «Об изменении коэффициента Пуассона при решении упругих задач». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . Издательство Оксфордского университета. 11 (3): 326–350. DOI : 10.1093 / qjmam / 11.3.326 .

Languages

In other projects