Добавленная масса - Added mass

В механике жидкости , добавлена масса или виртуальная масса является инерция добавлена к системе , потому что ускорение или замедление тело должно двигаться (или отклонить) некоторые объем окружающей жидкости , как она движется через него. Добавленная масса - распространенная проблема, потому что объект и окружающая жидкость не могут одновременно занимать одно и то же физическое пространство. Для простоты это можно смоделировать как некоторый объем жидкости, движущийся вместе с объектом, хотя на самом деле «вся» жидкость будет ускоряться в разной степени.

Безразмерная добавлен массовый коэффициент добавленная масса делится на смещенной массы жидкости - т.е. разделить на жидкости плотности раз объем тела. В общем, добавленная масса представляет собой тензор второго порядка , связывающий вектор ускорения жидкости с результирующим вектором силы на теле.

Фон

Фридрих Бессель предложил концепцию добавленной массы в 1828 году для описания движения маятника в жидкости. Период такого маятника увеличился по сравнению с его периодом в вакууме (даже с учетом эффектов плавучести ), что указывает на то, что окружающая жидкость увеличила эффективную массу системы.

Концепция добавленной массы, возможно, является первым примером перенормировки в физике. Эту концепцию также можно рассматривать как аналог классической физики квантово-механической концепции квазичастиц . Однако его не следует путать с релятивистским увеличением массы .

Часто ошибочно утверждают, что добавленная масса определяется импульсом жидкости. То, что это не так, становится ясно при рассмотрении случая жидкости в большом ящике, где импульс жидкости точно равен нулю в каждый момент времени. Добавленная масса фактически определяется квазиимпульсом: добавленная масса, умноженная на ускорение тела, равна производной по времени квазиимпульса жидкости.

Виртуальная массовая сила

Нестационарные силы из-за изменения относительной скорости тела, погруженного в жидкость, можно разделить на две части: эффект виртуальной массы и силу Бассе .

Источник силы состоит в том, что жидкость приобретает кинетическую энергию за счет работы, выполняемой ускоряющимся погруженным телом.

Можно показать, что виртуальная массовая сила для сферической частицы, погруженной в невязкую несжимаемую жидкость, равна

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}} - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}$

где символы означают полужирные векторы, это жидкость , скорость потока , является сферической скоростью частиц, является плотностью массы в текучей среде (непрерывной фазе), является объемом частицы, а D / D т обозначает материал производная . ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {c}}}$${\ Displaystyle V _ {\ mathrm {p}}}$

Происхождение понятия «виртуальная масса» становится очевидным, если мы посмотрим на уравнение импульса для частицы.

${\ Displaystyle м _ {\ mathrm {p}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}} - { \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}$

где есть сумма всех других терминов , сила , действующая на частицы, такие как силы тяжести , градиента давления , сопротивления , подъемной силы , бассет силы и т.д. ${\ Displaystyle \ сумма \ mathbf {F}}$

Перенося производную скорости частицы из правой части уравнения влево, получаем

${\ displaystyle \ left (m _ {\ mathrm {p}} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}} } {2}} {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}},}$

таким образом, частица ускоряется, как если бы к ней добавилась половина жидкости, которую она вытесняет, а также есть дополнительный силовой вклад с правой стороны из-за ускорения жидкости.

Приложения

Добавленную массу можно включить в большинство физических уравнений, рассматривая эффективную массу как сумму массы и добавленной массы. Эта сумма широко известна как «виртуальная масса».

Простая формулировка добавленной массы для сферического тела позволяет записать классический второй закон Ньютона в виде

${\ Displaystyle F = м \, а}$   становится   ${\ displaystyle F = (m + m _ {\ text {added}}) \, a.}$

Можно показать, что добавленная масса для сферы (радиуса ) равна половине объема сферы, умноженной на плотность жидкости. Для обычного тела добавленная масса становится тензором (называемым тензором индуцированной массы), компоненты которого зависят от направления движения тела. Не все элементы в тензоре добавленной массы будут иметь размерную массу, у некоторых будет масса × длина, а у некоторых - масса × длина ² . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {жидкость}}}$

На все тела, ускоряющиеся в жидкости, будет влиять добавленная масса, но поскольку добавленная масса зависит от плотности жидкости, этим эффектом часто пренебрегают для плотных тел, падающих в гораздо менее плотные жидкости. В ситуациях, когда плотность жидкости сравнима с плотностью тела или превышает ее, добавленная масса часто может быть больше массы тела, и ее пренебрежение может привести к значительным ошибкам в расчетах.

Например, сферический пузырь воздуха, поднимающийся в воде, имеет массу, но добавленную массу. Поскольку вода примерно в 800 раз плотнее воздуха (при RTP ), добавленная масса в этом случае примерно в 400 раз превышает массу пузырька. ${\ displaystyle {\ tfrac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {air}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {water}}.}$

Военно-морская архитектура

Эти принципы также применимы к кораблям, подводным лодкам и морским платформам. В морской индустрии добавленную массу называют гидродинамической добавленной массой. В конструкции корабля энергия, необходимая для ускорения добавленной массы, должна приниматься во внимание при выполнении анализа мореходства. Для судов добавленная масса может легко достигать или массы корабля и, следовательно, представляет собой значительную инерцию в дополнение к силам трения и волнового сопротивления .

Для определенных геометрических форм, свободно тонущих в столбе воды, гидродинамическая добавленная масса, связанная с тонущим телом, может быть намного больше, чем масса объекта. Такая ситуация может возникнуть, например, когда тонущее тело имеет большую плоскую поверхность с направленным вектором нормали в направлении движения (вниз). Существенное количество кинетической энергии высвобождается, когда такой объект резко замедляется (например, из-за удара о морское дно).

В оффшорной индустрии гидродинамическая добавленная масса различной геометрии является предметом значительных исследований. Эти исследования обычно требуются в качестве исходных данных для оценки риска падения подводных объектов (исследования, направленные на количественную оценку риска ударов падающих предметов о подводную инфраструктуру). Поскольку гидродинамическая добавленная масса может составлять значительную часть общей массы тонущего объекта в момент удара, она существенно влияет на расчетное сопротивление, учитываемое для подводных защитных сооружений.

Близость к границе (или другому объекту) может влиять на количество гидродинамической добавленной массы. Это означает, что добавленная масса зависит как от геометрии объекта, так и от его близости к границе. Для плавучих тел (например, кораблей / судов) это означает, что реакция плавучего тела (т. Е. Из-за воздействия волн) изменяется на конечных глубинах воды (эффект практически отсутствует на большой глубине). Конкретная глубина (или близость к границе), на которой действует гидродинамическая добавленная масса, зависит от геометрии тела, а также от местоположения и формы границы (например, дока, дамбы, переборки или морского дна).

Гидродинамическая добавленная масса, связанная со свободно тонущим объектом вблизи границы, подобна массе плавающего тела. В общем, гидродинамическая добавленная масса увеличивается по мере уменьшения расстояния между границей и телом. Эта характеристика важна при планировании подводных установок или прогнозировании движения плавающего тела в условиях мелководья.

Аэронавтика

В самолетах (кроме воздушных шаров легче воздуха и дирижаблей) добавленная масса обычно не учитывается, поскольку плотность воздуха очень мала.

Смотрите также

• Сила Бассе для описания влияния истории относительного движения тела на вязкие силы в потоке Стокса
• Уравнение Бассета – Буссинеска – Озеена для описания движения и сил, действующих на частицу, движущуюся в нестационарном потоке, при малых числах Рейнольдса
• Дарвиновский дрейф для связи между добавленной массой и дарвиновским дрейфовым объемом
• Число Кеулегана – Карпентера для безразмерного параметра, определяющего относительную важность силы сопротивления по отношению к инерции волновой нагрузки.
• Уравнение Морисона для эмпирической модели сил при волновой нагрузке, включающей добавленную массу и сопротивление
• Оператор амплитуды отклика для использования добавленной массы в конструкции корабля

использованная литература

внешние ссылки

• MIT OpenCourse Ware
• Лаборатория военно-гражданского строительства
• Det Norske Veritas DNV-RP-H103 Моделирование и анализ морских операций