Теорема Витта - Witt's theorem

«Теорема Витта» или «теорема Витта» могут также относиться к теореме Бурбаки – Витта о неподвижной точке теории порядка.

В математике теорема Витта , названная в честь Эрнста Витта , является основным результатом алгебраической теории квадратичных форм : любая изометрия между двумя подпространствами неособого квадратичного пространства над полем k может быть расширена до изометрии всего пространства. Аналогичное утверждение верно и для кососимметричных, эрмитовых и косоэрмитовых билинейных форм над произвольными полями. Теорема применяется к классификации квадратичных форм над полем k и, в частности, позволяет определить группу Витта W ( k ), которая описывает «стабильную» теорию квадратичных форм над полем k .

Заявление

Пусть ( V , б ) конечное-мерный векторное пространство над полем к о характеристике , отличных от 2 вместе с невырожденным симметричным или кососимметрической билинейной формой . Если F  : U → U ' является изометрией между двумя подпространств V , то F продолжается до изометрии V .

Из теоремы Витта следует, что размерность максимального полностью изотропного подпространства (нулевого пространства) в V является инвариантом, называемым индексом или Витт индекс изЬ, икроме того, чтогруппа изометрийиз( V , б ) действуеттранзитивно на множестве максимальных изотропных подпространств. Этот факт играет важную роль в теории структуры и теориипредставленийгруппы изометрий, а также в теорииредуктивных дуальных пар.

Теорема Витта об отмене

Пусть ( V , q ) , ( V ₁ , q ₁ ) , ( V ₂ , q ₂ ) - три квадратичных пространства над полем k . Предположить, что

${\ displaystyle (V_ {1}, q_ {1}) \ oplus (V, q) \ simeq (V_ {2}, q_ {2}) \ oplus (V, q).}$

Тогда квадратичные пространства ( V ₁ , q ₁ ) и ( V ₂ , q ₂ ) изометричны:

${\ displaystyle (V_ {1}, q_ {1}) \ simeq (V_ {2}, q_ {2}).}$

Другими словами, прямое слагаемое ( V , q ), появляющееся в обеих частях изоморфизма между квадратичными пространствами, может быть «сокращено».

Теорема Витта о разложении

Пусть ( V , q ) - квадратичное пространство над полем k . Тогда он допускает разложение Витта :

${\ displaystyle (V, q) \ simeq (V_ {0}, 0) \ oplus (V_ {a}, q_ {a}) \ oplus (V_ {h}, q_ {h}),}$

где V ₀ = кек д является радикалом из ц , ( V , д ) является анизотропным квадратичным пространством и ( V _ч , д _ч ) является разделение квадратичного пространства . Более того, анизотропное слагаемое, называемое остовной формой , и гиперболическое слагаемое в разложении Витта ( V , q ) определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Квадратичные формы с одинаковой основной формой называются подобными или эквивалентными по Витту .

Цитаты

Рекомендации

• Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра , страница 121 через Интернет-архив
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , 67 , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1095-2, Руководство по ремонту  2104929 , Zbl  1068.11023
• Лоренц, Фалько (2008), Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы , Springer-Verlag , стр. 15–27, ISBN 978-0-387-72487-4, Zbl  1130,12001
• О'Мира, О. Тимоти (1973), Введение в квадратичные формы , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 117 , Springer-Verlag , Zbl  0259.10018