Хорошо поставленная задача - Well-posed problem

Математический термин хорошо поставленная задача вытекает из определения , данного 20-го века французский математик Жак Адамар . Он считал , что математические модели из физических явлений должны иметь свойство , что:

1. решение существует,
2. решение уникальное ,
3. поведение решения непрерывно меняется с начальными условиями .

Примеры архетипических проблем , корректно включают задачу Дирихля для уравнения Лапласа , и уравнение теплопроводности с заданными начальными условиями. Их можно рассматривать как «естественные» проблемы, поскольку с их помощью моделируются физические процессы.

Проблемы, которые не являются корректными в смысле Адамара, называются некорректными . Обратные задачи часто ставятся некорректно. Например, обратное уравнение теплопроводности, выводящее предыдущее распределение температуры из окончательных данных, не совсем корректно, поскольку решение очень чувствительно к изменениям в окончательных данных.

Для получения численного решения модели континуума часто необходимо дискретизировать . Хотя решения могут быть непрерывными по отношению к начальным условиям, они могут страдать от численной нестабильности при решении с конечной точностью или с ошибками в данных. Даже если проблема поставлена ​​правильно, она все равно может быть плохо обусловлена , а это означает, что небольшая ошибка в исходных данных может привести к гораздо большим ошибкам в ответах. Задачи в нелинейных сложных системах (так называемые хаотические системы) дают хорошо известные примеры неустойчивости. Плохо обусловленная проблема обозначается большим числом условий .

Если проблема поставлена ​​правильно, то у нее есть хорошие шансы на решение на компьютере с использованием стабильного алгоритма . Если она не является корректной, ее необходимо переформулировать для численного анализа. Обычно это включает в себя включение дополнительных предположений, таких как гладкость решения. Этот процесс известен как регуляризация . Тихоновская регуляризация - одна из наиболее часто используемых для регуляризации линейных некорректных задач.

Энергетический метод

Метод определения корректности задачи - это энергетический метод. Метод основан на получении оценки энергии для данной проблемы.

Пример : рассмотрим линейное уравнение переноса с однородными граничными условиями Дирихле и подходящими начальными данными . ${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {t} + \ alpha u_ {x} = 0,0 <x <1, \ alpha> 0, \\ u (x, 0) = f (x), \\ u (0, t) = 0, \\ u (1, t) = 0, \\\ end {case}}}$

Затем, применяя энергетический метод для этой задачи, можно умножить уравнение на и проинтегрировать в пространстве по заданному интервалу. ${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {u ^ {2}} {2}} dx = - \ alpha \ int _ {0} ^ {1} uu_ { x} dx \ Rightarrow {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ | u \ | _ {2} ^ {2} = - \ alpha {\ frac {u ^ {2}} {2 }} {\ Big |} _ {0} ^ {1} = 0}$

Затем можно было бы интегрировать по времени и получить оценку энергии

${\ Displaystyle \ | U (\ CDOT, т) \ | _ {2} \ Leq \ | е (\ CDOT) \ | _ {2}}$ ( p-норма )

Из этой оценки энергии можно сделать вывод, что задача поставлена ​​правильно.

Смотрите также

• Спектроскопия полного поглощения - пример обратной задачи или некорректной задачи в реальной ситуации, которая решается с помощью алгоритма ожидания-максимизации

Рекомендации

• Адамар, Жак (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur значения телосложения . Бюллетень Принстонского университета . С. 49–52.
• Паркер, Сибил Б., изд. (1989) [1974]. Словарь научных и технических терминов Макгроу-Хилла (4-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN   0-07-045270-9 .
• Тихонов, АН; Арсенин, В.Ю. (1977). Решение некорректно поставленных задач . Нью-Йорк: Уинстон. ISBN   0-470-99124-0 .