Идентичность Уорда-Такахаши - Ward–Takahashi identity

В квантовой теории поля , тождество Уорда-Такахаши является тождество между корреляционными функциями , что следует из глобальных или калибровочных симметрий теории, и которая остается в силе после перенормировки .

Уорд-Такахаши идентичность квантовой электродинамики (КЭД) первоначально использовался John Clive Ward и Ясуши Takahashi связать волновую функцию перенормировки от электрона к его фактору вершина перенормировки , гарантируя отмену ультрафиолетовой расходимости во всех порядках теории возмущений . Более позднее использование включает распространение доказательства теоремы Голдстоуна на все порядки теории возмущений.

В более общем смысле, тождество Уорда – Такахаши - это квантовая версия классического сохранения тока, связанная с непрерывной симметрией по теореме Нётер . Такие симметрии в квантовой теории поля (почти) всегда приводят к этим обобщенным тождествам Уорда – Такахаши, которые накладывают симметрию на уровень квантово-механических амплитуд. Этот обобщенный смысл следует отличать при чтении литературы, такой как учебник Майкла Пескина и Дэниела Шредера , от изначальной идентичности Уорда – Такахаши.

Подробное обсуждение ниже касается QED, абелевой теории, к которой применимо тождество Уорда – Такахаши. Эквивалентными тождествами для неабелевых теорий, таких как квантовая хромодинамика (КХД), являются тождества Славнова – Тейлора .

Идентичность Уорда – Такахаши

Тождество Уорда – Такахаши применяется к корреляционным функциям в импульсном пространстве , которые не обязательно имеют все свои внешние импульсы на оболочке . Позволять

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (к; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n}) = \ epsilon _ {\ mu} (k) {\ mathcal { M}} ^ {\ mu} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n})}$

- корреляционная функция КЭД, включающая внешний фотон с импульсом k (где - вектор поляризации фотона и подразумевается суммирование ), n электронов в начальном состоянии с импульсами и n электронов в конечном состоянии с импульсами . Также определите более простую амплитуду, которая получается путем удаления фотона с импульсом k из нашей исходной амплитуды. Тогда идентичность Уорда-Такахаши читается как ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu} (к)}$${\ Displaystyle \ му = 0, \ ldots, 3}$${\ displaystyle p_ {1} \ cdots p_ {n}}$${\ displaystyle q_ {1} \ cdots q_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {0}}$

${\ displaystyle k _ {\ mu} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k; p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n}) = e \ sum _ {i} \ left [{\ mathcal {M}} _ {0} (p_ {1} \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots (q_ {i} -k) \ cdots q_ {n}) \верно.}$

${\ displaystyle \ left. - {\ mathcal {M}} _ {0} (p_ {1} \ cdots (p_ {i} + k) \ cdots p_ {n}; q_ {1} \ cdots q_ {n}) )\верно]}$

где e - заряд электрона, знак отрицательный. Обратите внимание, что если внешние электроны находятся на оболочке, то каждая амплитуда в правой части этого тождества имеет одну внешнюю частицу вне оболочки, и поэтому они не вносят вклад в элементы S-матрицы . ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$

Личность подопечного

Тождество Уорда - это специализация тождества Уорда – Такахаши на S-матричных элементах, которые описывают физически возможные процессы рассеяния и, таким образом, имеют все свои внешние частицы на оболочке . Снова позвольте быть амплитудой для некоторого процесса QED с участием внешнего фотона с импульсом , где - вектор поляризации фотона. Затем личность Уорда гласит: ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (к) = \ epsilon _ {\ mu} (k) {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (k)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu} (к)}$

${\ Displaystyle к _ {\ му} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu} (к) = 0}$

Физически это тождество означает, что продольная поляризация фотона, возникающая в ξ-калибровке , нефизична и исчезает из S-матрицы.

Примеры его использования включают ограничение тензорной структуры поляризации вакуума и электронной вершинной функции в КЭД.

Вывод в формулировке интеграла по путям

В формулировке интеграла по путям тождества Уорда – Такахаши являются отражением инвариантности функциональной меры относительно калибровочного преобразования . Точнее, если представляет собой калибровочное преобразование по (и это применимо даже в случае, когда физическая симметрия системы глобальна или даже не существует; здесь нас беспокоит только инвариантность функциональной меры ), то ${\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle \ int \ delta _ {\ varepsilon} \ left ({\ mathcal {F}} e ^ {iS} \ right) {\ mathcal {D}} \ phi = 0}$

выражает инвариантность функциональной меры , где S является действием и является функциональным из полей . Если калибровочное преобразование соответствует глобальной симметрии теории, то ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ delta _ {\ varepsilon} S = \ int \ left (\ partial _ {\ mu} \ varepsilon \ right) J ^ {\ mu} \ mathrm {d} ^ {d} x = - \ int \ varepsilon \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} \ mathrm {d} ^ {d} x}$

для некоторого « текущего » J (как функционала от полей ) после интегрирования по частям и в предположении, что поверхностными членами можно пренебречь. ${\ displaystyle \ phi}$

Затем идентичности Уорда-Такахаши становятся

${\ displaystyle \ langle \ delta _ {\ varepsilon} {\ mathcal {F}} \ rangle -i \ int \ varepsilon \ langle {\ mathcal {F}} \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} \ rangle \ mathrm {d} ^ {d} x = 0}$

Это КТП аналог уравнения неразрывности Нётер . ${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}$

Если калибровочное преобразование соответствует реальной калибровочной симметрии, то

${\ displaystyle \ int \ delta _ {\ varepsilon} \ left ({\ mathcal {F}} e ^ {i \ left (S + S_ {gf} \ right)} \ right) {\ mathcal {D}} \ phi = 0}$

где S - калибровочно-инвариантное действие, а S _gf - не калибровочно-инвариантный член, фиксирующий калибровку .

Но обратите внимание, что даже если нет глобальной симметрии (т.е. симметрия нарушена), у нас все еще есть тождество Уорда – Такахаши, описывающее скорость несохранения заряда.

Если функциональная мера не является калибровочно-инвариантной, но удовлетворяет

${\ displaystyle \ int \ delta _ {\ varepsilon} \ left ({\ mathcal {F}} e ^ {iS} \ right) {\ mathcal {D}} \ phi = \ int \ varepsilon \ lambda {\ mathcal { F}} e ^ {iS} \ mathrm {d} ^ {d} x}$

где - некоторый функционал полей , мы имеем аномальное тождество Уорда – Такахаши , например, когда поля имеют киральную аномалию . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ phi}$

Рекомендации