Проблема трех узников - Three Prisoners problem

Задача о трех заключенных появилась в колонке Мартина Гарднера « Математические игры » в журнале Scientific American в 1959 году. Она математически эквивалентна проблеме Монти Холла с заменой машины и козла на свободу и казнь соответственно.

Проблема

Трое заключенных, A, B и C, находятся в отдельных камерах и приговорены к смертной казни. Губернатор наугад выбрал одного из них для помилования. Надзиратель знает, кого помилуют, но не может сказать. Заключенный А умоляет надзирателя сообщить ему личность одного из двоих, которых собираются казнить. «Если B должен быть помилован, назовите мне имя C. Если C должен быть помилован, назовите мне имя B. И если меня нужно помиловать, тайно подбросьте монетку, чтобы решить, назвать ли B или C.»

Смотритель говорит А, что Б. должен быть казнен. Заключенный A доволен, потому что он считает, что его вероятность выжить выросла с 1/3 до 1/2, как сейчас между ним и C. Заключенный A тайно сообщает новости C, который считает, что шанс A на помилование составляет остался без изменений на 1/3, но он доволен, потому что его собственный шанс увеличился до 2/3. Какой из заключенных прав?

Решение

Ответ заключается в том, что заключенный А не получил никакой информации о своей судьбе, поскольку он уже знал, что надзиратель назовет ему чье-то имя. Заключенный A, до того как услышать от надзирателя, оценивает свои шансы на помилование как 1/3, то же самое, что и для B, и для C. Поскольку надзиратель говорит, что B будет казнен, это либо потому, что C будет помилован (1/3 шанс), или A будет помилован (шанс 1/3), и монета для решения, назвать ли B или C, которую перевернул надзиратель, выпала B (шанс 1/2; для общего 1/2 × 1/3 = 1 / 6 шанс B был назван, потому что A будет помилован). Следовательно, после того, как он услышал, что B будет казнен, оценка шансов A на помилование вдвое меньше, чем для C. Это означает, что его шансы на помилование, теперь зная, что B нет, снова равны 1/3, но у C есть 2 / 3 шанса на помилование.

Стол

Приведенное выше объяснение можно кратко изложить в следующей таблице. Когда А спрашивает надзирателя, он может ответить только B или C, чтобы он был казнен (или «не помилован»).

Помилование	Надзиратель: «не Б»	Надзиратель: "не C"	Сумма
А	1/6	1/6	1/3
B	0	1/3	1/3
C	1/3	0	1/3

Поскольку надзиратель ответил, что B не будет помилован, решение исходит из второй колонки «не B». Похоже, что шансы на помилование А против С составляют 1: 2.

Математическая формулировка

Вызов , и события , что соответствующий заключенный будет помилованных, и событие, смотритель рассказывает , что заключенный B должен быть выполнен, то, используя теорему Байеса , апостериорная вероятность А помилования, является: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle b}$

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} P (A | b) & = {\ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)}} \\ & = {\ frac {{\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {3}}} {{ \ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {3}} + 0 \ times {\ tfrac {1} {3}} + 1 \ times {\ tfrac {1} {3}}} } = {\ tfrac {1} {3}}. \ end {выравнивается}}}$

С другой стороны, вероятность того, что C будет помилована, равна:

${\ Displaystyle {\ begin {align} P (C | b) & = {\ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)}} \\ & = {\ frac {1 \ times {\ tfrac {1} {3}}} {{\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {3}} + 0 \ times {\ tfrac {1} {3}} + 1 \ times {\ tfrac {1} {3}}}} = {\ tfrac {2} { 3}}. \ End {выравнивается}}}$

Решающее различие, делающее A и C неравными, состоит в том, что « но» . Если A будет помилован, надзиратель может сказать A, что B или C должны быть казнены, и, следовательно ,; тогда как если C будет помилован, надзиратель может только сказать A, что B казнен, так что . ${\ Displaystyle Р (Ь | А) = {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle P (Ь | С) = 1}$${\ Displaystyle Р (Ь | А) = {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle P (Ь | С) = 1}$

Интуитивное объяснение

У заключенного А только 1/3 шанса на помилование. Знание того, будет ли казнен «B» или «C», не меняет его шансов. После того, как он узнает, что B будет казнен, заключенный A понимает, что, если он сам не получит помилование, он должен пойти только к C. Это означает, что у C есть 2/3 шанса получить помилование. Это сравнимо с проблемой Монти Холла .

Перечень возможных случаев

Могут возникнуть следующие сценарии:

1. A помилован, и надзиратель упоминает, что B должен быть казнен: 1/3 × 1/2 = 1/6 случаев
2. А помилован, и надзиратель упоминает, что С должен быть казнен: 1/3 × 1/2 = 1/6 случаев
3. B помилован, и надзиратель упоминает, что C будет казнен: 1/3 случаев
4. C помилован, и надзиратель упоминает, что B должен быть казнен: 1/3 случаев

С условием, что надзиратель выберет случайным образом, в 1/3 времени, когда А будет помилован, есть 1/2 шанса, что он скажет B, и 1/2 шанса, что он скажет C. Это означает, что принято в целом, в 1/6 случаев (1/3 [что A помилован] × 1/2 [этот надзиратель говорит B]) надзиратель скажет B, потому что A будет помилован, и 1/6 случаев (1 / 3 [что A помилован] × 1/2 [этот надзиратель говорит C]) он скажет C, потому что A помилован. Это в сумме составляет 1/3 времени (1/6 + 1/6) А, что является точным.

Теперь ясно, что если надзиратель отвечает B на A (1/2 случая случая 1 и случая 4), то 1/3 времени C помилован, а A все равно будет казнен (случай 4), и только 1/6 случаев помилования А (случай 1). Следовательно, шансы C равны (1/3) / (1/2) = 2/3, а шансы A равны (1/6) / (1/2) = 1/3.

Ключ к этой проблеме в том, что надзиратель не может раскрыть имя заключенного, который будет помилован. Если мы устраним это требование, это может продемонстрировать исходную проблему другим способом. Единственное изменение в этом примере заключается в том, что заключенный A просит надзирателя раскрыть судьбу одного из других заключенных (не указывая того, который будет казнен). В этом случае надзиратель подбрасывает монету и выбирает одного из B и C, чтобы раскрыть судьбу. Случаи следующие:

1. Помилованный надзиратель говорит: B казнен (1/6)
2. Помилованный надзиратель говорит: C казнен (1/6)
3. B помилован, надзиратель говорит: B помилован (1/6)
4. B помилован, смотритель говорит: C казнен (1/6)
5. C помилован, надзиратель говорит: B казнен (1/6)
6. C помилован, надзиратель говорит: C помилован (1/6)

Каждый сценарий имеет вероятность 1/6. Первоначальную задачу «Три заключенных» можно рассматривать в этом свете: у надзирателя в этой задаче все еще есть эти шесть случаев, вероятность возникновения каждого из которых составляет 1/6. Однако надзиратель в этом случае не может раскрыть судьбу помилованного заключенного. Следовательно, в 1/6 случаев, когда встречается случай 3, поскольку утверждение B не является вариантом, надзиратель вместо этого говорит C (что делает его тем же, что и в случае 4). Точно так же в случае 6 надзиратель должен сказать B вместо C (то же, что и в случае 5). Это оставляет случаи 4 и 5 с вероятностью 1/3 и оставляет нас с той же вероятностью, что и выше.

Почему парадокс?

Тенденция людей давать ответ 1/2 игнорирует тот факт, что надзиратель мог подбросить монетку до того, как дал свой ответ. Надзиратель, возможно, ответил, потому что должен быть освобожден, и подбросил монетку. Или должен быть освобожден. Но вероятности двух событий не равны. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$

Джудея Перл (1988) использовал вариант этого примера, чтобы продемонстрировать, что обновление убеждений должно зависеть не только от наблюдаемых фактов, но и от эксперимента (то есть запроса), который привел к этим фактам.

Связанные проблемы и приложения

• Парадокс мальчика или девочки
• Принцип ограниченного выбора , приложение в карточной игре- бридж
• Дилемма заключенного , проблема теории игр
• Проблема Спящей красавицы
• Проблема с двумя конвертами

Примечания

использованная литература

• Фредерик Мостеллер : Пятьдесят проблем в теории вероятностей . Dover 1987 (перепечатка), ISBN  0-486-65355-2 , стр. 28–29 ( ограниченная онлайн-версия , стр. 28, в Google Книгах )
• Ричард Исаак: радости вероятности . Springer 1995, ISBN  978-0-387-94415-9 , стр. 24–27 ( ограниченная онлайн-версия , стр. 24, в Google Книгах )