Суперкоммутативная алгебра - Supercommutative algebra
В математике , суперкоммутативны (ассоциативная) алгебра является супералгеброй (т.е. Z 2 - градуированная алгебра ), что для любых двух однородных элементов х , у нас есть
где | х | обозначает оценку элемента и составляет 0 или 1 (в Z 2 ) в зависимости от того, четная или нечетная оценка, соответственно.
Эквивалентно, это супералгебра, в которой суперкоммутатор
![{\ Displaystyle [х, у] = ху - (- 1) ^ {| х || у |} ух}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0484e6a70a7eb05b7adebe88fbd8af1a7e0b08)
всегда исчезает. Алгебраические структуры, которые суперкоммутативны в указанном выше смысле, иногда называют косо-коммутативными ассоциативными алгебрами, чтобы подчеркнуть антикоммутацию, или, чтобы подчеркнуть градуировку, градуированно-коммутативными или, если понимается суперкоммутативность, просто коммутативными .
Любая коммутативная алгебра является суперкоммутативной алгеброй, если задана тривиальная градуировка (т.е. все элементы четны). Алгебры Грассмана (также известные как внешние алгебры ) являются наиболее распространенными примерами нетривиальных суперкоммутативных алгебр. Суперцентр любой супералгебры есть множество элементов , которые supercommute со всеми элементами, и суперкоммутативная алгебра.
Даже подалгебра из суперкоммутативной алгебры всегда является коммутативной алгеброй . То есть даже элементы всегда коммутируют. С другой стороны, нечетные элементы всегда антикоммутируют. То есть,
для нечетных x и y . В частности, квадрат любого нечетного элемента x обращается в нуль, когда 2 обратимо:
Таким образом, коммутативная супералгебра (с двумя обратимыми и одной компонентой ненулевой степени) всегда содержит нильпотентные элементы.
Z -градуироваиный антикоммутативная алгебра со свойством , что х 2 = 0 для любого элемент х нечетного класса (независимо от того , 2 обратит) называется Переменная алгеброй .