Фактор структуры - Structure factor

В физике конденсированных сред и кристаллографии , то статический структурный фактор (или структурный фактор для краткости) представляет собой математическое описание , как материал рассеивает падающего излучения. Структурный фактор является важным инструментом при интерпретации картин рассеяния ( интерференционных картин ), полученных в экспериментах по дифракции рентгеновских лучей , электронов и нейтронов .

Как ни странно, используются два разных математических выражения, оба называемые «структурным фактором». Обычно пишется один ; это более широко справедливо и связывает наблюдаемую дифрагированную интенсивность, приходящуюся на один атом, с интенсивностью, создаваемой единичным рассеивающим элементом. Другой обычно пишется или и действителен только для систем с дальним позиционным порядком - кристаллы. Это выражение связывает амплитуду и фазу пучка , дифрагированного с помощью плоскостей кристалла ( являются индексы Миллера плоскостей) в том , что производимые одной единицы рассеяния при вершинах примитивной элементарной ячейки . не является частным случаем ; дает интенсивность рассеяния, но дает амплитуду. Квадрат модуля дает интенсивность рассеяния. определено для идеального кристалла и используется в кристаллографии, в то время как наиболее полезно для неупорядоченных систем. Для частично упорядоченных систем, таких как кристаллические полимеры, очевидно, что существует перекрытие, и при необходимости специалисты будут переключаться с одного выражения на другое. ${\ Displaystyle S (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F_ {hk \ ell}}$${\ displaystyle (hk \ ell)}$${\ displaystyle (hk \ ell)}$${\ displaystyle F_ {hk \ ell}}$${\ Displaystyle S (\ mathbf {q})}$${\ Displaystyle S (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle F_ {hk \ ell}}$${\ displaystyle | F_ {hk \ ell} | ^ {2}}$${\ displaystyle F_ {hk \ ell}}$${\ Displaystyle S (\ mathbf {q})}$

Статический структурный фактор измеряется без разрешения энергии рассеянных фотонов / электронов / нейтронов. Измерения с разрешением по энергии дают динамический структурный фактор . Отражение в кристаллической решетке описывается точками обратной решетки.

Вывод ${\ Displaystyle S (\ mathbf {q})}$

Рассмотрим рассеяние луча с длиной волны совокупностью частиц или атомов, неподвижных в определенных положениях . Предположим, что рассеяние слабое, так что амплитуда падающего луча постоянна во всем объеме образца ( приближение Борна ), а поглощением, преломлением и многократным рассеянием можно пренебречь ( кинематическая дифракция ). Направление любой рассеянной волны определяется ее вектором рассеяния . , где и ( ) - волновые векторы рассеянного и падающего пучков , - угол между ними. Для упругого рассеяния и , ограничивая возможный диапазон (см. Сферу Эвальда ). Амплитуда и фаза этой рассеянной волны будет векторной суммой рассеянных волн от всех атомов.${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathbf {R} _ {j}, j = 1, \, \ ldots, \, N}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ Displaystyle \ mathbf {q} = \ mathbf {k_ {s}} - \ mathbf {k_ {o}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k_ {s}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k_ {o}}}$${\ displaystyle | \ mathbf {k_ {s}} | = | \ mathbf {k_ {0}} | = 2 \ pi / \ lambda}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {s} | = | \ mathbf {k_ {o}} |}$${\ displaystyle q = | \ mathbf {q} | = {{\ frac {4 \ pi} {\ lambda}} \ sin (\ theta / 2)}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ Displaystyle \ Psi _ {s} (\ mathbf {q}) = \ sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} \ mathrm {e} ^ {- я \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {R} _ {j}}}$

Для сборки атомов, является атомным формфактором от -го атома. Интенсивность рассеяния получается умножением этой функции на ее комплексно сопряженную ${\ displaystyle f_ {j}}$${\ displaystyle j}$

${\ Displaystyle I (\ mathbf {q}) = \ Psi _ {s} (\ mathbf {q}) \ times \ Psi _ {s} ^ {*} (\ mathbf {q}) = \ sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} \ mathrm {e} ^ {- i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {R} _ {j}} \ times \ sum _ {k = 1} ^ {N } f_ {k} \ mathrm {e} ^ {i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {R} _ {k}} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sum _ {k = 1 } ^ {N} f_ {j} f_ {k} \ mathrm {e} ^ {- i \ mathbf {q} \ cdot (\ mathbf {R} _ {j} - \ mathbf {R} _ {k}) }}$

( 1 )

Структурный фактор определяется как эта интенсивность, нормированная на ${\ Displaystyle 1 / \ сумма _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} ^ {2}}$

${\ Displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ frac {1} {\ sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} ^ {2}}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sum _ {k = 1} ^ {N} f_ {j} f_ {k} \ mathrm {e} ^ {- i \ mathbf {q} \ cdot (\ mathbf {R} _ {j} - \ mathbf {R} _ {k})}}$

( 2 )

Если все атомы идентичны, то уравнение ( 1 ) принимает вид, и поэтому ${\ displaystyle I (\ mathbf {q}) = f ^ {2} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathrm {e} ^ {- i \ mathbf {q} \ cdot (\ mathbf {R} _ {j} - \ mathbf {R} _ {k})}}$${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} ^ {2} = Nf ^ {2}}$

${\ Displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathrm {е } ^ {- я \ mathbf {q} \ cdot (\ mathbf {R} _ {j} - \ mathbf {R} _ {k})}}$

( 3 )

Еще одно полезное упрощение - если материал изотропен, например, порошок или простая жидкость. Тогда интенсивность зависит от и, и уравнение ( 2 ) упрощается до уравнения дебаевского рассеяния: ${\ displaystyle q = | \ mathbf {q} |}$${\ displaystyle r_ {jk} = | \ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {k} |}$

${\ Displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ frac {1} {\ sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} ^ {2}}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sum _ {k = 1} ^ {N} f_ {j} f_ {k} {\ frac {\ sin (qr_ {jk})} {qr_ {jk}}}}$

( 4 )

Альтернативный вывод дает хорошее понимание, но использует преобразование Фурье и свертку . В общем, рассмотрим скалярную (действительную) величину, определенную в объеме ; это может соответствовать, например, распределению массы или заряда или показателю преломления неоднородной среды. Если скалярная функция интегрируема, мы можем записать ее преобразование Фурье как . В борновском приближении амплитуда рассеянной волны, соответствующая вектору рассеяния, пропорциональна преобразованию Фурье . Когда изучаемая система состоит из ряда идентичных компонентов (атомов, молекул, коллоидных частиц и т. Д.), Каждый из которых имеет распределение массы или заряда, то общее распределение можно рассматривать как свертку этой функции с набором дельта-функции . ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ textstyle \ psi (\ mathbf {q}) = \ int _ {V} \ phi (\ mathbf {r}) \ exp (-i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle \ textstyle \ psi (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle F (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}) = \ sum _ {j = 1} ^ {N} f (\ mathbf {r} - \ mathbf {R} _ {j}) = f (\ mathbf {r }) \ ast \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {R} _ {j}),}$

( 5 )

с положениями частиц, как и раньше. Используя то свойство, что преобразование Фурье сверточного продукта является просто произведением преобразований Фурье двух множителей, мы имеем , так что: ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbf {R} _ {j}, j = 1, \, \ ldots, \, N}$${\ displaystyle \ textstyle \ psi (\ mathbf {q}) = f (\ mathbf {q}) \ times \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ exp (-i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {R} _ {j})}$

${\ displaystyle I (\ mathbf {q}) = \ left | f (\ mathbf {q}) \ right | ^ {2} \ times \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {N} \ mathrm { e} ^ {- i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {R} _ {j}} \ right) \ times \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathrm {e} ^ { я \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {R} _ {k}} \ right) = \ left | f (\ mathbf {q}) \ right | ^ {2} \ sum _ {j = 1} ^ { N} \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathrm {e} ^ {- i \ mathbf {q} \ cdot (\ mathbf {R} _ {j} - \ mathbf {R} _ {k} )}.}$

( 6 )

Это явно то же самое, что и уравнение ( 1 ) со всеми идентичными частицами, за исключением того, что здесь явно показано как функция от . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$

Как правило, положения частиц не фиксируются, и измерения проводятся в течение конечного времени экспозиции и с макроскопическим образцом (намного большим, чем расстояние между частицами). Таким образом, экспериментально доступная интенсивность является усредненной ; нам не нужно указывать, обозначает ли это среднее по времени или по ансамблю . Чтобы принять это во внимание, мы можем переписать уравнение ( 3 ) как: ${\ displaystyle \ textstyle \ langle I (\ mathbf {q}) \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ rangle}$

${\ Displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ frac {1} {N}} \ left \ langle \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathrm {e} ^ {- i \ mathbf {q} \ cdot (\ mathbf {R} _ {j} - \ mathbf {R} _ {k})} \ right \ rangle.}$

( 7 )

Идеальные кристаллы

В кристалле составляющие частицы расположены периодически, с трансляционной симметрией, образуя решетку . Кристаллическую структуру можно описать как решетку Браве с группой атомов, называемой базисом, помещенной в каждую точку решетки; то есть [кристаллическая структура] = [решетка] [базис]. Если решетка бесконечна и полностью регулярна, система представляет собой идеальный кристалл . Для такой системы только набор определенных значений может дать рассеяние, а амплитуда рассеяния для всех остальных значений равна нулю. Этот набор значений образует решетку, называемую обратной решеткой , которая является преобразованием Фурье кристаллической решетки реального пространства. ${\ displaystyle \ ast}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$

В принципе, коэффициент рассеяния можно использовать для определения рассеяния на идеальном кристалле; в простом случае, когда в основе лежит один атом в начале координат (и снова пренебрегая всем тепловым движением, так что нет необходимости в усреднении), все атомы имеют идентичное окружение. Уравнение ( 1 ) можно записать как ${\ Displaystyle S (\ mathbf {q})}$

${\ Displaystyle I (\ mathbf {q}) = f ^ {2} \ left | \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ mathrm {e} ^ {- я \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {R} _ {j}} \ right | ^ {2}}$и .${\ Displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ frac {1} {N}} \ left | \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ mathrm {e} ^ {- я \ mathbf {q } \ cdot \ mathbf {R} _ {j}} \ right | ^ {2}}$

Структурный фактор - это просто квадрат модуля преобразования Фурье решетки, который показывает направления, в которых рассеяние может иметь ненулевую интенсивность. При этих значениях волна от каждой точки решетки находится в фазе. Значение структурного фактора одинаково для всех этих узлов обратной решетки, а интенсивность меняется только за счет изменения с . ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$

Единицы

Единицы амплитуды структурного фактора зависят от падающего излучения. Для рентгеновской кристаллографии они кратны единице рассеяния на отдельном электроне (2,82 мкм); для рассеяния нейтронов атомными ядрами обычно используется единица длины рассеяния m. ${\ displaystyle \ times 10 ^ {- 15}}$${\ displaystyle 10 ^ {- 14}}$

В приведенном выше обсуждении используются волновые векторы и . Однако в кристаллографии часто используются волновые векторы и . Следовательно, при сравнении уравнений из разных источников фактор может появляться и исчезать, и для получения правильных численных результатов требуется забота о поддержании согласованных величин. ${\ displaystyle | \ mathbf {k} | = 2 \ pi / \ lambda}$${\ displaystyle | \ mathbf {q} | = 4 \ pi \ sin \ theta / \ lambda}$${\ displaystyle | \ mathbf {s} | = 1 / \ lambda}$${\ displaystyle | \ mathbf {g} | = 2 \ sin \ theta / \ lambda}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

Значение ${\ displaystyle F_ {hk \ ell}}$

В кристаллографии основание и решетка рассматриваются отдельно. Для идеального кристалла решетка дает обратную решетку , которая определяет положения (углы) дифрагированных лучей, а базис дает структурный фактор, который определяет амплитуду и фазу дифрагированных лучей: ${\ displaystyle F_ {hkl}}$

${\ displaystyle F_ {hk \ ell} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} \ mathrm {e} ^ {[- 2 \ pi i (hx_ {j} + ky_ {j} + \ ell z_ {j})]},}$

( 8 )

где сумма ведется по всем атомам в элементарной ячейке, - координаты положения -го атома, а - коэффициент рассеяния -го атома. Координаты имеют направления и размеры векторов решетки . То есть (0,0,0) находится в точке решетки, начале положения в элементарной ячейке; (1,0,0) находится в следующей точке решетки, а (1/2, 1/2, 1/2) находится в центре тела элементарной ячейки. определяет точку обратной решетки, которая соответствует плоскости реального пространства, определяемой индексами Миллера (см . закон Брэгга ). ${\ displaystyle x_ {j}, y_ {j}, z_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle f_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle x_ {j}, y_ {j}, z_ {j}}$${\ displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}}$${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$${\ displaystyle (hkl)}$${\ displaystyle (ч \ mathbf {a ^ {*}}, k \ mathbf {b ^ {*}}, l \ mathbf {c ^ {*}})}$ ${\ displaystyle (hkl)}$

${\ displaystyle F_ {hk \ ell}}$- векторная сумма волн от всех атомов в элементарной ячейке. Атом в любой точке решетки имеет нулевой опорный фазовый угол для всех, с тех пор всегда является целым числом. Волна, рассеянная от атома в точке (1/2, 0, 0), будет в фазе, если она четная, и не в фазе, если она нечетная. ${\ displaystyle hk \ ell}$${\ displaystyle (hx_ {j} + ky_ {j} + \ ell z_ {j})}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h}$

Опять же, может оказаться полезным альтернативное представление с использованием свертки. Поскольку [кристаллическая структура] = [решетка] [базис], [кристаллическая структура] = [решетка] [базис]; то есть рассеяние [обратная решетка] [структурный фактор]. ${\ displaystyle \ ast}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ times {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ propto}$${\ displaystyle \ times}$

Примеры в 3-D${\ displaystyle F_ {hk \ ell}}$

Объемно-центрированный кубический (ОЦК)

Для объемно-центрированной кубической решетки Браве ( cI ) мы используем точки и что приводит нас к ${\ displaystyle (0,0,0)}$${\ displaystyle ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}})}$

${\ displaystyle F_ {hk \ ell} = \ sum _ {j} f_ {j} e ^ {- 2 \ pi i (hx_ {j} + ky_ {j} + \ ell z_ {j})} = f \ left [1+ \ left (e ^ {- i \ pi} \ right) ^ {h + k + \ ell} \ right] = f \ left [1 + (- 1) ^ {h + k + \ ell} \ right ]}$

и, следовательно

${\ displaystyle F_ {hk \ ell} = {\ begin {case} 2f, & h + k + \ ell = {\ text {even}} \\ 0, & h + k + \ ell = {\ text {odd}} \ end {случаи}}}$

Гранецентрированный кубический (FCC)

FCC решетка является решеткой Бравы, и ее преобразование Фурье является кубической объемноцентрированной решеткой. Однако, чтобы получить без этого ярлыка, рассмотрите ГЦК-кристалл с одним атомом в каждой точке решетки как примитивную или простую кубическую с базисом из 4 атомов, в начале координат и в трех соседних центрах граней , и . Уравнение ( 8 ) принимает вид ${\ displaystyle F_ {hk \ ell}}$${\ Displaystyle x_ {j}, y_ {j}, z_ {j} = (0,0,0)}$${\ displaystyle x_ {j}, y_ {j}, z_ {j} = \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}}, 0 \ right)}$${\ displaystyle \ left (0, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ right)}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}}, 0, {\ frac {1} {2}} \ right)}$

${\ Displaystyle F_ {hk \ ell} = f \ sum _ {j = 1} ^ {4} \ mathrm {e} ^ {[- 2 \ pi i (hx_ {j} + ky_ {j} + \ ell z_ {j})]} = f \ left [1+ \ mathrm {e} ^ {[- i \ pi (h + k)]} + \ mathrm {e} ^ {[- i \ pi (k + \ ell) ]} + \ mathrm {e} ^ {[- i \ pi (h + \ ell)]} \ right] = f \ left [1 + (- 1) ^ {h + k} + (- 1) ^ {k + \ ell} + (- 1) ^ {h + \ ell} \ right]}$

с результатом

${\ displaystyle F_ {hk \ ell} = {\ begin {case} 4f, & h, k, \ ell \ \ {\ mbox {все четные или все нечетные}} \\ 0, & h, k, \ ell \ \ { \ mbox {смешанная четность}} \ end {case}}}$

Наиболее интенсивный дифракционный пик от материала, кристаллизующегося в структуре ГЦК, обычно имеет вид (111). Пленки FCC-материалов, таких как золото, имеют тенденцию к росту в ориентации (111) с треугольной симметрией поверхности. Нулевая дифрагированная интенсивность для группы дифрагированных пучков (здесь смешанной четности) называется систематическим отсутствием. ${\ displaystyle h, k, \ ell}$

Кристаллическая структура алмаза

Алмаз кубическая кристаллическая структура имеет место, например , алмаз ( углерод ), олово , и большинство полупроводников . В элементарной кубической ячейке 8 атомов. Мы можем рассматривать структуру как простую кубику с базисом из 8 атомов, в положениях

${\ displaystyle {\ begin {align} x_ {j}, y_ {j}, z_ {j} = & (0, \ 0, \ 0) & \ left ({\ frac {1} {2}}, \ {\ frac {1} {2}}, \ 0 \ right) \ & \ left (0, \ {\ frac {1} {2}}, \ {\ frac {1} {2}} \ right) и \ left ({\ frac {1} {2}}, \ 0, \ {\ frac {1} {2}} \ right) \\ & \ left ({\ frac {1} {4}}, \ { \ frac {1} {4}}, \ {\ frac {1} {4}} \ right) и \ left ({\ frac {3} {4}}, \ {\ frac {3} {4}} , \ {\ frac {1} {4}} \ right) \ & \ left ({\ frac {1} {4}}, \ {\ frac {3} {4}}, \ {\ frac {3} {4}} \ right) & \ left ({\ frac {3} {4}}, \ {\ frac {1} {4}}, \ {\ frac {3} {4}} \ right) \\ \ конец {выровнено}}}$

Но сравнивая это с приведенным выше FCC, мы видим, что проще описать структуру как FCC с базисом из двух атомов в (0, 0, 0) и (1/4, 1/4, 1/4). На этом основании уравнение ( 8 ) принимает следующий вид:

${\ displaystyle F_ {hk \ ell} ({\ rm {{base}) = f \ sum _ {j = 1} ^ {2} \ mathrm {e} ^ {[- 2 \ pi i (hx_ {j}) + ky_ {j} + \ ell z_ {j})]} = f \ left [1+ \ mathrm {e} ^ {[- i \ pi / 2 (h + k + \ ell)]} \ right] = f \ left [1 + (- i) ^ {h + k + \ ell} \ right]}}}$

И тогда структурный фактор для кубической структуры алмаза является произведением этого и структурного фактора для приведенного выше FCC (включая атомный форм-фактор только один раз).

${\ Displaystyle F_ {hk \ ell} = f \ left [1 + (- 1) ^ {h + k} + (- 1) ^ {k + \ ell} + (- 1) ^ {h + \ ell} \ right ] \ times \ left [1 + (- i) ^ {h + k + \ ell} \ right]}$

с результатом

• Если h, k, ℓ имеют смешанную четность (нечетные и четные значения вместе), первый член (FCC) равен нулю, поэтому ${\ displaystyle | F_ {hk \ ell} | ^ {2} = 0}$
• Если h, k, ℓ все четные или все нечетные, то первый член (FCC) равен 4
  • если h + k + ℓ нечетное, то ${\ Displaystyle F_ {hk \ ell} = 4f (1 \ pm i), | F_ {hk \ ell} | ^ {2} = 32f ^ {2}}$
  • если h + k + ℓ четно и точно делится на 4 ( ), то${\ Displaystyle ч + к + \ ell = 4n}$${\ Displaystyle F_ {hk \ ell} = 4f \ times 2, | F_ {hk \ ell} | ^ {2} = 64f ^ {2}}$
  • если h + k + ℓ четно, но не делится точно на 4 ( ), второй член равен нулю и${\ Displaystyle ч + к + \ ell \ neq 4n}$${\ displaystyle | F_ {hk \ ell} | ^ {2} = 0}$

Эти точки описываются следующими уравнениями:

${\ Displaystyle F_ {hk \ ell} = {\ begin {case} 8f, & h + k + \ ell = 4N \\ 4 (1 \ pm i) f, & h + k + \ ell = 2N + 1 \\ 0, & h + k + \ ell = 4N + 2 \\\ end {case}}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow | F_ {hk \ ell} | ^ {2} = {\ begin {cases} 64f ^ {2}, & h + k + \ ell = 4N \\ 32f ^ {2}, & h + k + \ ell = 2N + 1 \\ 0, & h + k + \ ell = 4N + 2 \\\ end {case}}}$

где - целое число. ${\ displaystyle N}$

Кристаллическая структура цинковой обманки

Структура цинковой обманки похожа на структуру алмаза, за исключением того, что она представляет собой соединение двух различных взаимопроникающих решеток ГЦК, а не одного и того же элемента. Обозначая два элемента в соединении как и , результирующий структурный фактор равен ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle F_ {hk \ ell} = {\ begin {cases} 4 (f_ {A} + f_ {B}), & h + k + \ ell = 4N \\ 4 (f_ {A} \ pm if_ {B} ), & h + k + \ ell = 2N + 1 \\ 4 (f_ {A} -f_ {B}), & h + k + \ ell = 4N + 2 \\\ end {case}}}$

Хлорид цезия

Хлорид цезия представляет собой простую кубическую кристаллическую решетку с основой из Cs в (0,0,0) и Cl в (1/2, 1/2, 1/2) (или наоборот, это не имеет значения). Уравнение ( 8 ) принимает вид

${\ displaystyle F_ {hk \ ell} = \ sum _ {j = 1} ^ {2} f_ {j} \ mathrm {e} ^ {[- 2 \ pi i (hx_ {j} + ky_ {j} + \ ell z_ {j})]} = \ left [f_ {Cs} + f_ {Cl} \ mathrm {e} ^ {[- i \ pi (h + k + \ ell)]} \ right] = \ left [ f_ {Cs} + f_ {Cl} (- 1) ^ {h + k + \ ell} \ right]}$

Тогда мы приходим к следующему результату для структурного фактора при рассеянии на плоскости : ${\ displaystyle (hk \ ell)}$

${\ displaystyle F_ {hk \ ell} = {\ begin {case} (f_ {Cs} + f_ {Cl}), & h + k + \ ell & {\ text {even}} \\ (f_ {Cs} -f_ {Cl}), & h + k + \ ell & {\ text {odd}} \ end {case}}}$

а для рассеянной интенсивности ${\ displaystyle | F_ {hk \ ell} | ^ {2} = {\ begin {case} (f_ {Cs} + f_ {Cl}) ^ {2}, & h + k + \ ell & {\ text {even} } \\ (f_ {Cs} -f_ {Cl}) ^ {2}, & h + k + \ ell & {\ text {odd}} \ end {case}}}$

Гексагональный плотноупакованный (HCP)

В кристалле HCP, таком как графит , две координаты включают начало координат и следующую плоскость вверх по оси c, расположенную в c / 2, и, следовательно , что дает нам ${\ Displaystyle \ влево (0,0,0 \ вправо)}$${\ Displaystyle \ влево (1 / 3,2 / 3,1 / 2 \ вправо)}$

${\ displaystyle F_ {hk \ ell} = f \ left [1 + e ^ {2 \ pi i \ left ({\ tfrac {h} {3}} + {\ tfrac {2k} {3}} + {\ tfrac {\ ell} {2}} \ right)} \ right]}$

Исходя из этого, удобно определить фиктивную переменную , и оттуда рассматривать модуль в квадрате, поэтому, следовательно, ${\ Displaystyle Икс \ эквив ч / 3 + 2к / 3 + \ ell / 2}$

${\ Displaystyle | F | ^ {2} = е ^ {2} \ влево (1 + е ^ {2 \ pi iX} \ вправо) \ влево (1 + е ^ {- 2 \ pi iX} \ вправо) = f ^ {2} \ left (2 + e ^ {2 \ pi iX} + e ^ {- 2 \ pi iX} \ right) = f ^ {2} \ left (2 + 2 \ cos [2 \ pi X ] \ right) = f ^ {2} \ left (4 \ cos ^ {2} \ left [\ pi X \ right] \ right)}$

Это приводит нас к следующим условиям для структурного фактора:

${\ displaystyle | F_ {hk \ ell} | ^ {2} = {\ begin {case} 0, & h + 2k = 3N {\ text {and}} \ ell {\ text {нечетное,}} \\ 4f ^ {2}, & h + 2k = 3N {\ text {and}} \ ell {\ text {четное,}} \\ 3f ^ {2}, & h + 2k = 3N \ pm 1 {\ text {и} } \ ell {\ text {нечетно,}} \\ f ^ {2}, & h + 2k = 3N \ pm 1 {\ text {and}} \ ell {\ text {четно}} \\\ end { случаи}}}$

Совершенные кристаллы в одном и двух измерениях

Обратную решетку легко построить в одном измерении: для частиц на линии с периодом обратная решетка представляет собой бесконечный массив точек с промежутками . В двух измерениях всего пять решеток Браве . Соответствующие обратные решетки обладают той же симметрией, что и прямая решетка. Двухмерные решетки отлично подходят для демонстрации простой дифракционной геометрии на плоском экране, как показано ниже. Уравнения (1) - (7) для структурного фактора применяются с вектором рассеяния ограниченной размерности, а кристаллографический структурный фактор может быть определен в 2-D как . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle 2 \ pi / a}$${\ Displaystyle S (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle F_ {hk} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} \ mathrm {e} ^ {[- 2 \ pi i (hx_ {j} + ky_ {j})]} }$

Однако помните, что настоящие двумерные кристаллы, такие как графен, существуют в трехмерном пространстве. Обратная решетка двухмерного гексагонального листа, который существует в трехмерном пространстве на плоскости, представляет собой шестиугольный массив линий, параллельных оси или, которые простираются до и пересекают любую плоскость констант в шестиугольном массиве точек. ${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z ^ {*}}$${\ displaystyle \ pm \ infty}$${\ displaystyle z}$

На рисунке показано построение одного вектора двумерной обратной решетки и его связь с экспериментом по рассеянию.

Параллельный пучок с волновым вектором падает на квадратную решетку параметра . Рассеянная волна обнаруживаются под определенным углом, который определяет волновой вектор выходящего пучка, (в предположении упругого рассеяния , ). В равной степени можно определить вектор рассеяния и построить гармоническую картину . В изображенном примере интервал этого рисунка совпадает с расстоянием между рядами частиц:, так что вклады в рассеяние от всех частиц синфазны (конструктивная интерференция). Таким образом, общий сигнал по направлению сильный и принадлежит обратной решетке. Легко показать, что эта конфигурация удовлетворяет закону Брэгга . ${\ Displaystyle \ mathbf {к} _ {я}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {o}}$${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {o} | = | \ mathbf {k} _ {i} |}$${\ displaystyle \ mathbf {q} = \ mathbf {k} _ {o} - \ mathbf {k} _ {i}}$${\ Displaystyle \ ехр (я \ mathbf {д} \ mathbf {г})}$${\ Displaystyle д = 2 \ пи / а}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {o}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$

Несовершенные кристаллы

Технически идеальный кристалл должен быть бесконечным, поэтому конечный размер - это несовершенство. Настоящие кристаллы всегда имеют дефекты порядка помимо их конечного размера, и эти дефекты могут иметь огромное влияние на свойства материала. Андре Гинье предложил широко используемое различие между несовершенствами, которые сохраняют дальний порядок кристалла, которые он назвал беспорядком первого типа, и теми, которые его разрушают, назвал беспорядком второго рода . Примером первого является тепловая вибрация; Пример второго - некоторая плотность дислокаций.

Можно использовать общеприменимый структурный фактор, чтобы учесть влияние любого дефекта. В кристаллографии эти эффекты рассматриваются отдельно от структурного фактора , поэтому отдельные факторы для размерных или тепловых эффектов вводятся в выражения для интенсивности рассеяния, оставляя неизменным фактор идеальной кристаллической структуры. Поэтому подробное описание этих факторов при моделировании кристаллографической структуры и определении структуры с помощью дифракции нецелесообразно в данной статье. ${\ Displaystyle S (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle F_ {hkl}}$

Конечные эффекты

Для конечного кристалла означает, что суммы в уравнениях 1-7 теперь превышают конечное . Эффект легче всего продемонстрировать с помощью одномерной решетки точек. Сумма фазовых факторов представляет собой геометрический ряд, а структурный фактор принимает вид: ${\ Displaystyle S (q)}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle S (q) = {\ frac {1} {N}} \ left | {\ frac {1- \ mathrm {e} ^ {- iNqa}} {1- \ mathrm {e} ^ {- iqa }}} \ right | ^ {2} = {\ frac {1} {N}} \ left [{\ frac {\ sin (Nqa / 2)} {\ sin (qa / 2)}} \ right] ^ {2}.}$

Эта функция показана на рисунке для разных значений . Когда рассеяние от каждой частицы находится в фазе, то есть когда рассеяние происходит в точке обратной решетки , сумма амплитуд должна быть равна, а значит, и максимумы интенсивности . Если взять приведенное выше выражение и оценить предел с использованием, например, правила Л'Опиталя ), это показано на рисунке. В средней точке (по прямой оценке) ширина пика уменьшается вроде . В большом пределе пики становятся бесконечно острыми дельта-функциями Дирака, обратной решеткой идеальной одномерной решетки. ${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle д = 2к \ пи / а}$${\ Displaystyle \ propto N}$${\ displaystyle \ propto N ^ {2}}$${\ Displaystyle S (q)}$${\ Displaystyle S (д \ к 0)}$${\ Displaystyle S (д = 2к \ пи / а) = N}$${\ Displaystyle S (д = (2k + 1) \ пи / а) = 1 / N}$${\ displaystyle 1 / N}$${\ displaystyle N}$

В кристаллографии , когда используются, является большим, и формальная величины эффект по дифракции принимаются , что то же самое , как выражение для выше вблизи от взаимных точек решетки, . Используя свертку, мы можем описать конечную реальную кристаллическую структуру как [решетка] [базисная] прямоугольная функция , где прямоугольная функция имеет значение 1 внутри кристалла и 0 вне его. Тогда [кристаллическая структура] = [решетка] [базис] [прямоугольная функция]; то есть рассеяние [обратная решетка] [структурный фактор] [ функция sinc ]. Таким образом, интенсивность, которая является дельта-функцией положения идеального кристалла, становится функцией вокруг каждой точки с максимумом , шириной и площадью . ${\ displaystyle F_ {hkl}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ sin (Nqa / 2)} {(qa / 2)}} \ right] ^ {2}}$${\ Displaystyle S (q)}$${\ Displaystyle д \ приблизительно 2к \ пи / а}$${\ displaystyle \ ast}$${\ displaystyle \ times}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ times {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ ast {F}}$${\ displaystyle \ propto}$${\ displaystyle \ times}$${\ displaystyle \ ast}$${\ textstyle \ operatorname {sinc} ^ {2}}$${\ displaystyle \ propto N ^ {2}}$${\ Displaystyle \ propto 1 / N}$${\ Displaystyle \ propto N}$

Расстройство первого вида

Эта модель беспорядка в кристалле исходит из структурного фактора идеального кристалла. Затем в одномерном случае для простоты и с N плоскостями мы начинаем с приведенного выше выражения для идеальной конечной решетки, а затем этот беспорядок изменяется только на мультипликативный коэффициент, чтобы дать ${\ Displaystyle S (q)}$

${\ Displaystyle S (q) = {\ frac {1} {N}} \ left [{\ frac {\ sin (Nqa / 2)} {\ sin (qa / 2)}} \ right] ^ {2} \ exp \ left (-q ^ {2} \ langle \ delta x ^ {2} \ rangle \ right)}$

где беспорядок измеряется среднеквадратичным смещением позиций от их положений в идеальной одномерной решетке:, т.е. , где - небольшое (намного меньшее ) случайное смещение. Для беспорядка первого рода каждое случайное смещение не зависит от других и относительно идеальной решетки. Таким образом, смещения не нарушают поступательный порядок кристалла. Это приводит к тому, что для бесконечных кристаллов ( ) структурный фактор все еще имеет пики Брэгга дельта-функции - ширина пика все еще стремится к нулю при таком беспорядке. Однако он действительно уменьшает амплитуду пиков, и из-за фактора экспоненциального множителя уменьшает пики в больших количествах намного больше, чем пики в малых . ${\ displaystyle x_ {j}}$${\ Displaystyle а (J- (N-1) / 2)}$${\ displaystyle x_ {j} = a (j- (N-1) / 2) + \ delta x}$${\ displaystyle \ delta x}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ delta x}$${\ displaystyle \ delta x}$${\ displaystyle N \ to \ infty}$${\ displaystyle N \ to \ infty}$${\ displaystyle q ^ {2}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$

Структура просто сокращается с помощью члена, зависящего от беспорядка и, потому что все беспорядки первого рода размывают плоскости рассеяния, эффективно уменьшая форм-фактор. ${\ displaystyle q}$

В трех измерениях эффект тот же, структура снова уменьшается на мультипликативный фактор, и этот фактор часто называют фактором Дебая – Валлера . Обратите внимание, что фактор Дебая – Валлера часто приписывают тепловому движению, т.е. они обусловлены тепловым движением, но любые случайные смещения вокруг идеальной решетки, а не только тепловые, будут вносить вклад в фактор Дебая – Валлера. ${\ displaystyle \ delta x}$

Расстройство второго типа

Однако флуктуации, которые вызывают уменьшение корреляций между парами атомов по мере увеличения их разделения, вызывают уширение пиков Брэгга в структурном факторе кристалла. Чтобы увидеть, как это работает, мы рассмотрим одномерную игрушечную модель: стопку тарелок со средним расстоянием между ними . Вывод следует из главы 9 учебника Гинье. Эта модель была впервые разработана и применена к ряду материалов Хоземаном и его сотрудниками на протяжении ряда лет. Гинье и они назвали этот беспорядок второго рода, а Хоземан, в частности, назвал это несовершенное кристаллическое упорядочение паракристаллическим упорядочением. Расстройство первого типа является источником фактора Дебая – Валлера . ${\ displaystyle a}$

Чтобы получить модель, мы начнем с определения (в одном измерении)

${\ displaystyle S (q) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {j, k = 1} ^ {N} \ mathrm {e} ^ {- iq (x_ {j} -x_ {k })}}$

Для начала рассмотрим для простоты бесконечный кристалл, т . Е .. Ниже мы будем рассматривать конечный кристалл с беспорядком второго типа. ${\ displaystyle N \ to \ infty}$

Для нашего бесконечного кристалла мы хотим рассмотреть пары узлов решетки. Для каждой большой плоскости бесконечного кристалла существуют две соседние плоскости, поэтому указанная выше двойная сумма становится единой суммой по парам соседей по обе стороны от атома, в положениях и на расстоянии решетки, раз . Итак, тогда ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle -m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle S (д) = 1 + 2 \ сумма _ {м = 1} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ rm {d}} (\ Delta x) p_ {m} (\ Delta x) \ cos \ left (q \ Delta x \ right)}$

где - функция плотности вероятности для разделения пары плоскостей, расстояние между решетками. Для разделения соседних плоскостей мы предполагаем для простоты, что флуктуации вокруг среднего расстояния между соседями a являются гауссовыми, т. Е. Что ${\ displaystyle p_ {m} (\ Delta x)}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle p_ {1} (\ Delta x) = {\ frac {1} {\ left (2 \ pi \ sigma _ {2} ^ {2} \ right) ^ {1/2}}} \ exp \ left [- \ left (\ Delta xa \ right) ^ {2} / (2 \ sigma _ {2} ^ {2}) \ right]}$

и мы также предполагаем, что флуктуации между плоскостью и ее соседом, а также между этим соседом и следующей плоскостью независимы. Тогда это просто свертка двух s и т. Д. Поскольку свертка двух гауссианов - это просто еще один гауссиан, мы имеем, что ${\ displaystyle p_ {2} (\ Delta x)}$${\ displaystyle p_ {1} (\ Delta x)}$

${\ displaystyle p_ {m} (\ Delta x) = {\ frac {1} {\ left (2 \ pi m \ sigma _ {2} ^ {2} \ right) ^ {1/2}}} \ exp \ left [- \ left (\ Delta x-ma \ right) ^ {2} / (2m \ sigma _ {2} ^ {2}) \ right]}$

Сумма в этом случае представляет собой просто сумму преобразований Фурье гауссианов, и поэтому ${\ Displaystyle S (q)}$

${\ Displaystyle S (д) = 1 + 2 \ сумма _ {м = 1} ^ {\ infty} г ^ {м} \ соз \ влево (mqa \ right)}$

для . Сумма - это всего лишь действительная часть суммы, поэтому структурный фактор бесконечного, но неупорядоченного кристалла равен ${\ Displaystyle г = \ ехр [-q ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2} / 2]}$${\ Displaystyle \ сумма _ {м = 1} ^ {\ infty} [г \ ехр (iqa)] ^ {м}}$

${\ displaystyle S (q) = {\ frac {1-r ^ {2}} {1 + r ^ {2} -2r \ cos (qa)}}}$

Это имеет пики в максимумах , где . Эти вершины имеют высоту ${\ displaystyle q_ {p} = 2n \ pi / a}$${\ Displaystyle \ соз (q_ {P} а) = 1}$

${\ Displaystyle S (q_ {P}) = {\ frac {1 + r} {1-r}} \ приблизительно {\ frac {4} {q_ {P} ^ {2} \ sigma _ {2} ^ { 2}}} = {\ frac {a ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2}}}}$

т.е. высота последовательных пиков уменьшается пропорционально квадрату пика (и т. д. ). В отличие от эффектов конечного размера, которые расширяют пики, но не уменьшают их высоту, беспорядок снижает высоту пиков. Обратите внимание, что здесь мы предполагаем, что беспорядок является относительно слабым, так что у нас все еще есть относительно хорошо определенные пики. Это предел , где . В этом пределе, вблизи пика можно аппроксимировать с и получить ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q \ sigma _ {2} \ ll 1}$${\ Displaystyle г \ simeq 1-q ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2} / 2}$${\ Displaystyle \ соз (qa) \ simeq 1 - (\ Delta q) ^ {2} а ^ {2} / 2}$${\ displaystyle \ Delta q = q-q_ {P}}$

${\ Displaystyle S (q) \ приблизительно {\ гидроразрыва {S (q_ {P})} {1 + {\ frac {r} {(1-r) ^ {2}}} {\ frac {\ Delta q ^ {2} a ^ {2}} {2}}}} \ приблизительно {\ frac {S (q_ {P})} {1 + {\ frac {\ Delta q ^ {2}} {[q_ {P} ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2} / a] ^ {2} / 2}}}}}$

которая является функцией Лоренца или Коши от FWHM , т. е. FWHM увеличивается как квадрат порядка пика и, следовательно, как квадрат волнового вектора на пике. ${\ displaystyle q_ {P} ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2} / a = 4 \ pi ^ {2} n ^ {2} (\ sigma _ {2} / a) ^ {2} / а}$${\ displaystyle q}$

Наконец, произведение высоты пика и FWHM постоянно и равно в пределе. Для первых нескольких пиков, которые невелики, это только предел. ${\ displaystyle 4 / a}$${\ displaystyle q \ sigma _ {2} \ ll 1}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ sigma _ {2} / а \ ll 1}$

Конечные кристаллы с беспорядком второго рода

Для одномерного кристалла размером ${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle S (q) = 1 + 2 \ сумма _ {м = 1} ^ {N} \ left (1 - {\ frac {m} {N}} \ right) r ^ {m} \ cos \ left (mqa \ right)}$

где множитель в скобках исходит из того факта, что сумма складывается из пар ближайших соседей ( ), следующих ближайших соседей ( ), ... а для кристалла плоскостей есть пары ближайших соседей, пары следующих ближайших соседей , так далее. ${\ displaystyle m = 1}$${\ displaystyle m = 2}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N-1}$${\ displaystyle N-2}$

Жидкости

В отличие от кристаллов, жидкости не имеют дальнего порядка (в частности, нет регулярной решетки), поэтому структурный фактор не имеет резких пиков. Однако они показывают определенную степень ближнего порядка , в зависимости от их плотности и силы взаимодействия между частицами. Жидкости изотропны, поэтому после операции усреднения в уравнении ( 4 ) структурный фактор зависит только от абсолютной величины вектора рассеяния . Для дальнейшей оценки удобно разделить диагональные члены в двойной сумме, фаза которой тождественно равна нулю, и, следовательно, каждый вносит единичную константу: ${\ Displaystyle д = \ влево | \ mathbf {д} \ вправо |}$${\ displaystyle j = k}$

${\ Displaystyle S (q) = 1 + {\ frac {1} {N}} \ left \ langle \ sum _ {j \ neq k} \ mathrm {e} ^ {- я \ mathbf {q} (\ mathbf {R} _ {j} - \ mathbf {R} _ {k})} \ right \ rangle}$.

( 9 )

Можно получить альтернативное выражение для в терминах функции радиального распределения : ${\ Displaystyle S (q)}$ ${\ displaystyle g (r)}$

${\ Displaystyle S (q) = 1 + \ rho \ int _ {V} \ mathrm {d} \ mathbf {r} \, \ mathrm {e} ^ {- я \ mathbf {q} \ mathbf {r}} g (r)}$.

( 10 )

Идеальный газ

В предельном случае отсутствия взаимодействия система представляет собой идеальный газ, и структурный фактор полностью лишен признаков: поскольку нет корреляции между положениями и различных частиц (они являются независимыми случайными величинами ), поэтому недиагональные члены в Уравнение ( 9 ) в среднем к нулю: . ${\ Displaystyle S (q) = 1}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {j}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {k}}$${\ Displaystyle \ langle \ ехр [-i \ mathbf {q} (\ mathbf {R} _ {j} - \ mathbf {R} _ {k})] \ rangle = \ langle \ exp (-i \ mathbf { q} \ mathbf {R} _ {j}) \ rangle \ langle \ exp (i \ mathbf {q} \ mathbf {R} _ {k}) \ rangle = 0}$

High- предел${\ displaystyle q}$

Даже для взаимодействующих частиц при большом векторе рассеяния структурный фактор становится равным 1. Этот результат следует из уравнения ( 10 ), поскольку является преобразованием Фурье «регулярной» функции и, таким образом, стремится к нулю при высоких значениях аргумента . Это рассуждение неверно для идеального кристалла, где функция распределения имеет бесконечно острые пики. ${\ Displaystyle S (q) -1}$${\ displaystyle g (r)}$${\ displaystyle q}$

Нижний предел${\ displaystyle q}$

В нижнем пределе, когда система исследуется на больших масштабах, структурный фактор содержит термодинамическую информацию, связанную с изотермической сжимаемостью жидкости уравнением сжимаемости : ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ chi _ {T}}$

${\ displaystyle \ lim _ {q \ rightarrow 0} S (q) = \ rho \, k _ {\ mathrm {B}} T \, \ chi _ {T} = k _ {\ mathrm {B}} T \ left ({\ frac {\ partial \ rho} {\ partial p}} \ right)}$.

Жидкости с твердыми сферами

В модели твердых сфер частицы описываются как непроницаемые сферы с радиусом ; таким образом, их межцентровое расстояние, и они не испытывают взаимодействия за пределами этого расстояния. Их потенциал взаимодействия можно записать как: ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r \ geq 2R}$

${\ displaystyle V (r) = {\ begin {cases} \ infty & {\ text {for}} r <2R, \\ 0 & {\ text {for}} r \ geq 2R. \ end {cases}}}$

Эта модель имеет аналитическое решение в приближении Перкуса – Йевика . Хотя он сильно упрощен, он дает хорошее описание систем от жидких металлов до коллоидных суспензий. На рисунке структурный фактор для жидкости с твердыми сферами показан на рисунке для объемных долей от 1% до 40%. ${\ displaystyle \ Phi}$

Полимеры

В полимерных системах справедливо общее определение ( 4 ); элементарные составляющие теперь являются мономерами, составляющими цепи. Однако, поскольку структурный фактор является мерой корреляции между положениями частиц, можно разумно ожидать, что эта корреляция будет различной для мономеров, принадлежащих к одной и той же цепи или к разным цепям.

Предположим, что объем содержит идентичные молекулы, каждая из которых состоит из мономеров, так что ( также известна как степень полимеризации ). Мы можем переписать ( 4 ) как: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle N_ {c}}$${\ displaystyle N_ {p}}$${\ Displaystyle N_ {c} N_ {p} = N}$${\ displaystyle N_ {p}}$

${\ Displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ frac {1} {N_ {c} N_ {p}}} \ left \ langle \ sum _ {\ alpha \ beta = 1} ^ {N_ {c} } \ sum _ {jk = 1} ^ {N_ {p}} \ mathrm {e} ^ {- i \ mathbf {q} (\ mathbf {R} _ {\ alpha j} - \ mathbf {R} _ { \ beta k})} \ right \ rangle = {\ frac {1} {N_ {c} N_ {p}}} \ left \ langle \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {N_ {c}} \ sum _ {jk = 1} ^ {N_ {p}} \ mathrm {e} ^ {- i \ mathbf {q} (\ mathbf {R} _ {\ alpha j} - \ mathbf {R} _ {\ alpha k })} \ right \ rangle + {\ frac {1} {N_ {c} N_ {p}}} \ left \ langle \ sum _ {\ alpha \ neq \ beta = 1} ^ {N_ {c}} \ сумма _ {jk = 1} ^ {N_ {p}} \ mathrm {e} ^ {- i \ mathbf {q} (\ mathbf {R} _ {\ alpha j} - \ mathbf {R} _ {\ beta k})} \ right \ rangle}$,

( 11 )

где индексами обозначены разные молекулы и разные мономеры вдоль каждой молекулы. В правой части мы разделили внутримолекулярные ( ) и межмолекулярные ( ) термины. Используя эквивалентность цепочек, ( 11 ) можно упростить: ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ displaystyle j, k}$${\ Displaystyle \ альфа = \ бета}$${\ displaystyle \ alpha \ neq \ beta}$

${\ Displaystyle S (\ mathbf {q}) = \ underbrace {{\ frac {1} {N_ {p}}} \ left \ langle \ sum _ {jk = 1} ^ {N_ {p}} \ mathrm { e} ^ {- i \ mathbf {q} (\ mathbf {R} _ {j} - \ mathbf {R} _ {k})} \ right \ rangle} _ {S_ {1} (q)} + { \ frac {N_ {c} -1} {N_ {p}}} \ left \ langle \ sum _ {jk = 1} ^ {N_ {p}} \ mathrm {e} ^ {- i \ mathbf {q} (\ mathbf {R} _ {1j} - \ mathbf {R} _ {2k})} \ right \ rangle}$,

( 12 )

где - фактор одноцепочечной структуры. ${\ Displaystyle S_ {1} (q)}$

Смотрите также

• R-фактор (кристаллография)
• Функция Паттерсона

Примечания

использованная литература

1. Альс-Нильсен, Н. и МакМорроу, Д. (2011). Элементы современной рентгеновской физики (2-е издание). Джон Вили и сыновья.
2. Гинье, А. (1963). Дифракция рентгеновского излучения. В кристаллах, несовершенных кристаллах и аморфных телах. WH Freeman and Co.
3. Чандлер, Д. (1987). Введение в современную статистическую механику . Издательство Оксфордского университета.
4. Хансен, Дж. П. и Макдональд, И. Р. (2005). Теория простых жидкостей (3-е издание). Академическая пресса.
5. Тераока, И. (2002). Полимерные растворы: введение в физические свойства. Джон Вили и сыновья.

внешние ссылки

• Учебное пособие по структурному фактору находится в Йоркском университете .
• Определение${\ displaystyle F_ {hkl}}$ по IUCr
• Изучение кристаллографии от CSIC