Проекция стереографической карты - Stereographic map projection

Стереографическая проекция мира к северу от 30 ° ю. Сетка 15 °.

Стереографическая проекция с индикатрисой деформации Тиссо .

Стереографическая проекция , известная также как проекция Planisphere или азимутальная проекция конформной , является конформным отображением проекции , использование которого восходит к глубокой древности. Подобно ортогональной проекции и гномонической проекции , стереографическая проекция является азимутальной проекцией , а на сфере - также перспективной проекцией .

На эллипсоиде определение перспективы стереографической проекции не является конформным, и необходимо внести изменения, чтобы сохранить его азимутальные и конформные свойства. Универсальная полярная стереографическая система координат использует одну такую эллипсоидной реализацию.

История

Карта мира, составленная Румольдом Меркатором в 1587 году с использованием двух экваториальных аспектов стереографической проекции.

Стереографическая проекция, вероятно, была известна в своем полярном аспекте древним египтянам , хотя ее изобретение часто приписывают Гиппарху , который был первым греком, который ее использовал. Его наклонный аспект использовал греческий математик Теон Александрийский в четвертом веке, а его экваториальный аспект использовал арабский астроном Аль-Заркали в одиннадцатом веке. Самое раннее письменное описание этого - Planisphaerium Птолемея , который называет его «проекцией планисферы».

Стереографическая проекция использовалась исключительно для звездных карт до 1507 года, когда Вальтер Ладд из Сен-Дье, Лотарингия, создал первый известный пример стереографической проекции поверхности Земли. Его популярность в картографии возросла после того, как Румольд Меркатор использовал его экваториальный аспект в своем атласе 1595 года. Впоследствии он часто использовался в течение семнадцатого века, а его экваториальный аспект использовался для карт Восточного и Западного полушарий .

В 1695 году Эдмонд Галлей , движимый интересом к звездным картам , опубликовал первое математическое доказательство конформности этой карты . Он использовал недавно созданные инструменты исчисления , изобретенные его другом Исааком Ньютоном .

Формулы

Сферическую форму стереографической проекции обычно выражают в полярных координатах:

${\ displaystyle {\ begin {align} r & = 2R \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \\\ theta & = \ лямбда \ конец {выровнено}}}$

где - радиус сферы, и - широта и долгота соответственно. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ lambda}$

Сфера обычно выбираются для моделирования Земли , когда степень отображенной области превышает несколько сот километров в длине в обоих направлениях. Для карт меньших регионов следует выбирать эллипсоидальную модель , если требуется большая точность.

Эллипсоидальная форма полярной эллипсоидальной проекции использует конформную широту . Существуют различные формы поперечных или наклонных стереографических проекций эллипсоидов. В одном методе используется двойная проекция через конформную сферу, а в других - нет.

Примеры поперечной или наклонной стереографической проекции включают в себя стереографическую проекцию Миллера со сплющенным слоем и наклонную стереографическую проекцию Руссиль .

Характеристики

Как азимутальная проекция, стереографическая проекция точно представляет относительные направления всех больших кругов, проходящих через ее центральную точку. В качестве конформной проекции он повсюду точно отображает углы. Кроме того, в сферической форме стереографическая проекция является единственной картографической проекцией, которая отображает все маленькие кружки в виде кружков.

Трехмерная иллюстрация геометрического построения стереографической проекции.

Сферическая форма стереографической проекции эквивалентна перспективной проекции, в которой точка перспективы находится на точке на земном шаре напротив центральной точки карты.

Поскольку выражение для расходится по мере приближения , стереографическая проекция бесконечно велика, и показать Южный полюс невозможно. Однако можно отображать точки произвольно близко к Южному полюсу, если границы карты простираются достаточно далеко. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$

Производные прогнозы

Параллели на стереографической проекции Галла распределены с тем же интервалом, что и параллели на центральном меридиане поперечной стереографической проекции.

Проекция GS50 формируется путем отображения косой стереографической проекции на комплексную плоскость , а затем преобразуя точки на ней с помощью полинома десятого порядка.

Сравнение проекции стереографической карты и некоторых азимутальных проекций с центром на 90 ° с.ш. в одном масштабе, упорядоченном по высоте проекции в радиусах Земли. (нажмите для подробностей)

использованная литература