Круг шара - Circle of a sphere

Маленький круг сферы.

${\ Displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2}}$ , где C - центр сферы, A - центр малого круга, а B - точка на границе малого круга. Следовательно, зная радиус сферы и расстояние от плоскости малого круга до C, радиус малого круга можно определить с помощью теоремы Пифагора.

Круг сферы является круг , который лежит на сфере . Такой круг может быть образован как пересечение сферы и плоскости или двух сфер. Круг на сфере, плоскость которого проходит через центр сферы, называется большим кругом ; в противном случае это маленький кружок . Круги сферы имеют радиус меньше или равный радиусу сферы, с равенством, когда круг является большим кругом.

На земле

В географической системе координат на глобусе, то параллели из широты небольшие кружки, с экватором единственный большой круг. Напротив, все меридианы по долготе , спаренные с их противоположным меридианом в другом полушарии , образуют большие круги.

Связанная терминология

Диаметр сферы, проходящей через центр круга, называется его осью, а концы этого диаметра - его полюсами . Окружность сферы также может быть определена как набор точек на заданном угловом расстоянии от заданного полюса.

Пересечение сферы и плоскости

Когда пересечение сферы и плоскости не пусто или не единственная точка, это круг. Это можно увидеть следующим образом:

Пусть S представляет собой сферу с центром O , P плоскости , которая пересекает S . Нарисуйте OE перпендикулярно P и встречи P на E . Пусть A и B - любые две разные точки на пересечении. Тогда AOE и BOE - прямоугольные треугольники с общей стороной OE и равными гипотенузами AO и BO . Следовательно, оставшиеся стороны AE и BE равны. Это доказывает , что все точки пересечения находятся на одинаковом расстоянии от точки Е в плоскости Р , другими словами , все точки пересечения лежат на окружности С с центром Е . Это доказывает , что пересечение P и S содержится в C . Обратите внимание, что OE - это ось круга.

Рассмотрим теперь точку D на окружности С . Поскольку C лежит в P , то D тоже . С другой стороны, треугольники AOE и DOE представляют собой прямоугольные треугольники с общей стороной OE и равными участками EA и ED . Таким образом, гипотенузы АО и DO равны, и равны радиусу S , так что D лежит в S . Это доказывает , что С содержится в пересечении Р и S .

Как следствие, на сфере есть ровно один круг, который можно провести через три заданные точки.

Доказательство может быть расширено, чтобы показать, что все точки на окружности находятся на общем угловом расстоянии от одного из его полюсов.

Сфера-сфера пересечения

Чтобы показать, что нетривиальное пересечение двух сфер является окружностью, предположим (без ограничения общности), что одна сфера (с радиусом ) центрирована в начале координат. Точки на этой сфере удовлетворяют ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}.}$

Также без ограничения общности предположим, что вторая сфера с радиусом центрирована в точке положительной оси x на расстоянии от начала координат. Его точки удовлетворяют ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle (xa) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}.}$

Пересечение сфер - это множество точек, удовлетворяющих обоим уравнениям. Вычитание уравнений дает

${\ displaystyle {\ begin {align} (xa) ^ {2} -x ^ {2} & = r ^ {2} -R ^ {2} \\ a ^ {2} -2ax & = r ^ {2} -R ^ {2} \\ x & = {\ frac {a ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2}} {2a}}. \ End {align}}}$

В особом случае сферы концентрические. Есть две возможности: если сферы совпадают, а пересечение - это вся сфера; если , сферы не пересекаются, а пересечение пусто. Когда a не равно нулю, пересечение лежит в вертикальной плоскости с этой координатой x, которая может пересекать обе сферы, касаться обеих сфер или быть внешним по отношению к обеим сферам. Результат следует из предыдущего доказательства для пересечений сферы и плоскости. ${\ displaystyle a = 0}$${\ Displaystyle R = r}$${\ Displaystyle R \ not = r}$

Смотрите также

• Пересечение линии и плоскости
• Пересечение линии и сферы

Рекомендации

• Хоббс, Калифорния (1921). Твердая геометрия . GH Kent. стр. 397 и сл  .

дальнейшее чтение

• Sykes, M .; Комсток, CE (1922). Твердая геометрия . Рэнд МакНелли. стр. 81 и сл  .