Стандартный нормальный стол - Standard normal table

Стандартная нормальная таблица , которая также называется единичная нормаль таблицы или Z таблицы , является математической таблицей для значений Ф, которые являются значением интегральной функции распределения от нормального распределения . Он используется для определения вероятности того, что статистика наблюдается ниже, выше или между значениями стандартного нормального распределения и, соответственно, любого нормального распределения . Поскольку таблицы вероятностей не могут быть напечатаны для каждого нормального распределения, так как существует бесконечное множество нормальных распределений, обычной практикой является преобразование нормального в стандартное нормальное, а затем использование стандартной нормальной таблицы для поиска вероятностей.

Нормальное и стандартное нормальное распределение

Нормальные распределения - это симметричные колоколообразные распределения, которые полезны при описании реальных данных. Стандартное нормальное распределение, представленное буквой Z, является нормальным распределением , имеющий среднее значение , равное 0 и стандартное отклонение от 1.

Преобразование

Если X - случайная величина из нормального распределения со средним значением μ и стандартным отклонением σ, ее Z-оценка может быть вычислена из X путем вычитания μ и деления на стандартное отклонение:

${\ Displaystyle Z = {\ гидроразрыва {X- \ mu} {\ sigma}}}$

Если - среднее значение выборки размера n из некоторой совокупности, в которой среднее значение равно μ, а стандартное отклонение - σ, стандартная ошибка равна σ / √ n : ${\ displaystyle {\ overline {X}}}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {{\ overline {X}} - \ mu} {\ sigma / {\ sqrt {n}}}}}$

Если - сумма выборки размера n из некоторой совокупности, в которой среднее значение равно μ, а стандартное отклонение - σ, ожидаемая сумма равна n μ, а стандартная ошибка равна σ √ n : ${\ displaystyle \ sum {X}}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {\ sum {X} -n \ mu} {\ sigma {\ sqrt {n}}}}}$

Чтение таблицы Z

Форматирование / верстка

Таблицы Z обычно составлены следующим образом:

• Метка строк содержит целую часть и первый десятичный знак Z.
• Метка столбцов содержит второй десятичный знак Z.
• Значения в таблице представляют собой вероятности, соответствующие типу таблицы. Эти вероятности представляют собой расчеты площади под нормальной кривой от начальной точки (0 для кумулятивного от среднего , отрицательная бесконечность для кумулятивного и положительная бесконечность для дополнительного кумулятивного ) до Z.

Пример: чтобы найти 0,69 , нужно просмотреть строки, чтобы найти 0,6, а затем по столбцам до 0,09, что даст вероятность 0,25490 для кумулятивной таблицы от среднего или 0,75490 для кумулятивной таблицы.

Поскольку кривая нормального распределения симметрична, вероятности обычно задаются только для положительных значений Z. Пользователь должен использовать дополнительную операцию над абсолютным значением Z, как в примере ниже.

Типы столов

Таблицы Z используют как минимум три различных соглашения:

Суммарно от среднего

дает вероятность того, что статистика находится между 0 (средним) и Z. Пример: Вероятность (0 ≤ Z ≤ 0,69) = 0,2549

Кумулятивная

дает вероятность того, что статистика меньше Z. Это соответствует области распределения ниже Z. Пример: Prob (Z ≤ 0,69) = 0,7549.

Дополнительный кумулятивный

дает вероятность того, что статистика больше Z. Это равняется области распределения выше Z.

Пример: найти вероятность ( Z  ≥ 0,69). Поскольку это часть площади над Z, пропорция, которая больше Z, находится путем вычитания Z из 1. То есть Prob ( Z  ≥ 0,69) = 1 - Prob (Z ≤ 0,69) или Prob ( Z   ≥ 0,69). = 1 - 0,7549 = 0,2451.

Примеры таблиц

Суммарно от среднего (от 0 до Z)

Эта таблица дает вероятность того, что статистика находится между 0 (средним) и Z.

${\ displaystyle f (z) = \ Phi (z) - {\ frac {1} {2}}}$

Значения рассчитываются с использованием кумулятивной функции стандартного нормального распределения со средним значением, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, обычно обозначаемым заглавной греческой буквой ( фи ), представляет собой интеграл ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ displaystyle \ Phi (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {z} e ^ {- t ^ {2} / 2} \ , dt}$

${\ displaystyle \ Phi}$(z) относится к функции ошибок или erf ( z ).

${\ displaystyle \ Phi (z) = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {2}}} \ right) \ Правильно]}$

Обратите внимание, что для z = 1, 2, 3 получаем (после умножения на 2 для учета интервала [-z, z]) результаты f (z) = 0,6827, 0,9545, 0,9974, характерные для 68–95– 99.7 правило .

Накопительное (меньше Z)

Эта таблица дает вероятность того, что статистика меньше Z (т. Е. Между отрицательной бесконечностью и Z).

z	- 0,00	- 0,01	- 0,02	- 0,03	- 0,04	- 0,05	- 0,06	- 0,07	- 0,08	- 0,09
-4,0	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002
-3,9	0,00005	0,00005	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00003	0,00003
-3,8	0,00007	0,00007	0,00007	0,00006	0,00006	0,00006	0,00006	0,00005	0,00005	0,00005
-3,7	0,00011	0,00010	0,00010	0,00010	0,00009	0,00009	0,00008	0,00008	0,00008	0,00008
-3,6	0,00016	0,00015	0,00015	0,00014	0,00014	0,00013	0,00013	0,00012	0,00012	0,00011
-3,5	0,00023	0,00022	0,00022	0,00021	0,00020	0,00019	0,00019	0,00018	0,00017	0,00017
-3,4	0,00034	0,00032	0,00031	0,00030	0,00029	0,00028	0,00027	0,00026	0,00025	0,00024
-3,3	0,00048	0,00047	0,00045	0,00043	0,00042	0,00040	0,00039	0,00038	0,00036	0,00035
-3,2	0,00069	0,00066	0,00064	0,00062	0,00060	0,00058	0,00056	0,00054	0,00052	0,00050
-3,1	0,00097	0,00094	0,00090	0,00087	0,00084	0,00082	0,00079	0,00076	0,00074	0,00071
-3,0	0,00135	0,00131	0,00126	0,00122	0,00118	0,00114	0,00111	0,00107	0,00104	0,00100
-2,9	0,00187	0,00181	0,00175	0,00169	0,00164	0,00159	0,00154	0,00149	0,00144	0,00139
-2,8	0,00256	0,00248	0,00240	0,00233	0,00226	0,00219	0,00212	0,00205	0,00199	0,00193
-2,7	0,00347	0,00336	0,00326	0,00317	0,00307	0,00298	0,00289	0,00280	0,00272	0,00264
-2,6	0,00466	0,00453	0,00440	0,00427	0,00415	0,00402	0,00391	0,00379	0,00368	0,00357
-2,5	0,00621	0,00604	0,00587	0,00570	0,00554	0,00539	0,00523	0,00508	0,00494	0,00480
-2,4	0,00820	0,00798	0,00776	0,00755	0,00734	0,00714	0,00695	0,00676	0,00657	0,00639
-2,3	0,01072	0,01044	0,01017	0,00990	0,00964	0,00939	0,00914	0,00889	0,00866	0,00842
-2,2	0,01390	0,01355	0,01321	0,01287	0,01255	0,01222	0,01191	0,01160	0,01130	0,01101
-2,1	0,01786	0,01743	0,01700	0,01659	0,01618	0,01578	0,01539	0,01500	0,01463	0,01426
-2,0	0,02275	0,02222	0,02169	0,02118	0,02068	0,02018	0,01970	0,01923	0,01876	0,01831
-1,9	0,02872	0,02807	0,02743	0,02680	0,02619	0,02559	0,02500	0,02442	0,02385	0,02330
-1,8	0,03593	0,03515	0,03438	0,03362	0,03288	0,03216	0,03144	0,03074	0,03005	0,02938
-1,7	0,04457	0,04363	0,04272	0,04182	0,04093	0,04006	0,03920	0,03836	0,03754	0,03673
-1,6	0,05480	0,05370	0,05262	0,05155	0,05050	0,04947	0,04846	0,04746	0,04648	0,04551
-1,5	0,06681	0,06552	0,06426	0,06301	0,06178	0,06057	0,05938	0,05821	0,05705	0,05592
-1,4	0,08076	0,07927	0,07780	0,07636	0,07493	0,07353	0,07215	0,07078	0,06944	0,06811
-1,3	0,09680	0,09510	0,09342	0,09176	0,09012	0,08851	0,08692	0,08534	0,08379	0,08226
-1,2	0,11507	0,11314	0,11123	0,10935	0,10749	0,10565	0,10383	0,10204	0,10027	0,09853
-1,1	0,13567	0,13350	0,13136	0,12924	0,12714	0,12507	0,12302	0,12100	0,11900	0,11702
-1,0	0,15866	0,15625	0,15386	0,15151	0,14917	0,14686	0,14457	0,14231	0,14007	0,13786
-0,9	0,18406	0,18141	0,17879	0,17619	0,17361	0,17106	0,16853	0,16602	0,16354	0,16109
-0,8	0,21186	0,20897	0,20611	0,20327	0.20045	0,19766	0,19489	0,19215	0,18943	0,18673
-0,7	0,24196	0,23885	0,23576	0,23270	0,22965	0,22663	0,22363	0,22065	0,21770	0,21476
-0,6	0,27425	0,27093	0,26763	0,26435	0,26109	0,25785	0,25463	0,25143	0,24825	0,24510
-0,5	0,30854	0,30503	0,30153	0,29806	0,29460	0,29116	0,28774	0,28434	0,28096	0,27760
-0,4	0,34458	0,34090	0,33724	0,33360	0,32997	0,32636	0,32276	0,31918	0,31561	0,31207
-0,3	0,38209	0,37828	0,37448	0,37070	0,36693	0,36317	0,35942	0,35569	0,35197	0,34827
-0,2	0,42074	0,41683	0,41294	0,40905	0,40517	0,40129	0,39743	0,39358	0,38974	0,38591
-0,1	0,46017	0,45620	0,45224	0,44828	0,44433	0,44038	0,43644	0,43251	0,42858	0,42465
-0,0	0,50000	0,49601	0,49202	0,48803	0,48405	0,48006	0,47608	0,47210	0,46812	0,46414
z	- 0,00	- 0,01	- 0,02	- 0,03	- 0,04	- 0,05	- 0,06	- 0,07	- 0,08	- 0,09

z	+ 0,00	+ 0,01	+ 0,02	+ 0,03	+ 0,04	+ 0,05	+ 0,06	+ 0,07	+ 0,08	+ 0,09
0,0	0,50000	0,50399	0,50798	0,51197	0,51595	0,51994	0,52392	0,52790	0,53188	0,53586
0,1	0,53983	0,54380	0,54776	0,55172	0,55567	0,55962	0,56360	0,56749	0,57142	0,57535
0,2	0,57926	0,58317	0,58706	0,59095	0,59483	0,59871	0,60257	0,60642	0,61026	0,61409
0,3	0,61791	0,62172	0,62552	0,62930	0,63307	0,63683	0,64058	0,64431	0,64803	0,65173
0,4	0,65542	0,65910	0,66276	0,66640	0,67003	0,67364	0,67724	0,68082	0,68439	0,68793
0,5	0,69146	0,69497	0,69847	0,70194	0,70540	0,70884	0,71226	0,71566	0,71904	0,72240
0,6	0,72575	0,72907	0,73237	0,73565	0,73891	0,74215	0,74537	0,74857	0,75175	0,75490
0,7	0,75804	0,76115	0,76424	0,76730	0,77035	0,77337	0,77637	0,77935	0,78230	0,78524
0,8	0,78814	0,79103	0,79389	0,79673	0,79955	0,80234	0,80511	0,80785	0,81057	0,81327
0,9	0,81594	0,81859	0,82121	0,82381	0,82639	0,82894	0,83147	0,83398	0,83646	0,83891
1.0	0,84134	0,84375	0,84614	0,84849	0,85083	0,85314	0,85543	0,85769	0,85993	0,86214
1.1	0,86433	0,86650	0,86864	0,87076	0,87286	0,87493	0,87698	0,87900	0,88100	0,88298
1.2	0,88493	0,88686	0,88877	0,89065	0,89251	0,89435	0,89617	0,89796	0,89973	0,90147
1.3	0,90320	0,90490	0,90658	0,90824	0,90988	0,91149	0,91308	0,91466	0,91621	0,91774
1.4	0,91924	0,92073	0,92220	0,92364	0,92507	0,92647	0,92785	0,92922	0,93056	0,93189
1.5	0,93319	0,93448	0,93574	0,93699	0,93822	0,93943	0,94062	0,94179	0,94295	0,94408
1.6	0,94520	0,94630	0,94738	0,94845	0,94950	0,95053	0,95154	0,95254	0,95352	0,95449
1,7	0,95543	0,95637	0,95728	0,95818	0,95907	0,95994	0,96080	0,96164	0,96246	0,96327
1,8	0,96407	0,96485	0,96562	0,96638	0,96712	0,96784	0,96856	0,96926	0,96995	0,97062
1.9	0,97128	0,97193	0,97257	0,97320	0,97381	0,97441	0,97500	0,97558	0,97615	0,97670
2.0	0,97725	0,97778	0,97831	0,97882	0,97932	0,97982	0,98030	0,98077	0,98124	0,98169
2.1	0,98214	0,98257	0,98300	0,98341	0,98382	0,98422	0,98461	0,98500	0,98537	0,98574
2.2	0,98610	0,98645	0,98679	0,98713	0,98745	0,98778	0,98809	0,98840	0,98870	0,98899
2.3	0,98928	0,98956	0,98983	0,99010	0,99036	0,99061	0,99086	0,99111	0,99134	0,99158
2,4	0,99180	0,99202	0,99224	0,99245	0,99266	0,99286	0,99305	0,99324	0,99343	0,99361
2,5	0,99379	0,99396	0,99413	0,99430	0,99446	0,99461	0,99477	0,99492	0,99506	0,99520
2,6	0,99534	0,99547	0,99560	0,99573	0,99585	0,99598	0,99609	0,99621	0,99632	0,99643
2,7	0,99653	0,99664	0,99674	0,99683	0,99693	0,99702	0,99711	0,99720	0,99728	0,99736
2,8	0,99744	0,99752	0,99760	0,99767	0,99774	0,99781	0,99788	0,99795	0,99801	0,99807
2,9	0,99813	0,99819	0,99825	0,99831	0,99836	0,99841	0,99846	0,99851	0,99856	0,99861
3.0	0,99865	0,99869	0,99874	0,99878	0,99882	0,99886	0,99889	0,99893	0,99896	0,99900
3.1	0,99903	0,99906	0,99910	0,99913	0,99916	0,99918	0,99921	0,99924	0,99926	0,99929
3.2	0,99931	0,99934	0,99936	0,99938	0,99940	0,99942	0,99944	0,99946	0,99948	0,99950
3.3	0,99952	0,99953	0,99955	0,99957	0,99958	0,99960	0,99961	0,99962	0,99964	0,99965
3,4	0,99966	0,99968	0,99969	0,99970	0,99971	0,99972	0,99973	0,99974	0,99975	0,99976
3.5	0,99977	0,99978	0,99978	0,99979	0,99980	0,99981	0,99981	0,99982	0,99983	0,99983
3,6	0,99984	0,99985	0,99985	0,99986	0,99986	0,99987	0,99987	0,99988	0,99988	0,99989
3,7	0,99989	0,99990	0,99990	0,99990	0,99991	0,99991	0,99992	0,99992	0,99992	0,99992
3,8	0,99993	0,99993	0,99993	0,99994	0,99994	0,99994	0,99994	0,99995	0,99995	0,99995
3.9	0,99995	0,99995	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99997	0,99997
4.0	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99998	0,99998	0,99998	0,99998
z	+ 0,00	+ 0,01	+ 0,02	+ 0,03	+ 0,04	+ 0,05	+ 0,06	+ 0,07	+ 0,08	+ 0,09

Дополнительный кумулятивный

Эта таблица дает вероятность того, что статистика больше Z.

${\ Displaystyle е (г) = 1- \ фи (г)}$

z	+0.00	+0,01	+0,02	+0,03	+0,04		+0,05	+0,06	+0,07	+0,08	+0,09
0,0	0,50000	0,49601	0,49202	0,48803	0,48405		0,48006	0,47608	0,47210	0,46812	0,46414
0,1	0,46017	0,45620	0,45224	0,44828	0,44433		0,44038	0,43640	0,43251	0,42858	0,42465
0,2	0,42074	0,41683	0,41294	0,40905	0,40517		0,40129	0,39743	0,39358	0,38974	0,38591
0,3	0,38209	0,37828	0,37448	0,37070	0,36693		0,36317	0,35942	0,35569	0,35197	0,34827
0,4	0,34458	0,34090	0,33724	0,33360	0,32997		0,32636	0,32276	0,31918	0,31561	0,31207
0,5	0,30854	0,30503	0,30153	0,29806	0,29460	0,29116	0,28774	0,28434	0,28096	0,27760
0,6	0,27425	0,27093	0,26763	0,26435	0,26109	0,25785	0,25463	0,25143	0,24825	0,24510
0,7	0,24196	0,23885	0,23576	0,23270	0,22965	0,22663	0,22363	0,22065	0,21770	0,21476
0,8	0,21186	0,20897	0,20611	0,20327	0.20045	0,19766	0,19489	0,19215	0,18943	0,18673
0,9	0,18406	0,18141	0,17879	0,17619	0,17361	0,17106	0,16853	0,16602	0,16354	0,16109
1.0	0,15866	0,15625	0,15386	0,15151	0,14917	0,14686	0,14457	0,14231	0,14007	0,13786
1.1	0,13567	0,13350	0,13136	0,12924	0,12714	0,12507	0,12302	0,12100	0,11900	0,11702
1.2	0,11507	0,11314	0,11123	0,10935	0,10749	0,10565	0,10383	0,10204	0,10027	0,09853
1.3	0,09680	0,09510	0,09342	0,09176	0,09012	0,08851	0,08692	0,08534	0,08379	0,08226
1.4	0,08076	0,07927	0,07780	0,07636	0,07493	0,07353	0,07215	0,07078	0,06944	0,06811
1.5	0,06681	0,06552	0,06426	0,06301	0,06178	0,06057	0,05938	0,05821	0,05705	0,05592
1.6	0,05480	0,05370	0,05262	0,05155	0,05050	0,04947	0,04846	0,04746	0,04648	0,04551
1,7	0,04457	0,04363	0,04272	0,04182	0,04093	0,04006	0,03920	0,03836	0,03754	0,03673
1,8	0,03593	0,03515	0,03438	0,03362	0,03288	0,03216	0,03144	0,03074	0,03005	0,02938
1.9	0,02872	0,02807	0,02743	0,02680	0,02619	0,02559	0,02500	0,02442	0,02385	0,02330
2.0	0,02275	0,02222	0,02169	0,02118	0,02068	0,02018	0,01970	0,01923	0,01876	0,01831
2.1	0,01786	0,01743	0,01700	0,01659	0,01618	0,01578	0,01539	0,01500	0,01463	0,01426
2.2	0,01390	0,01355	0,01321	0,01287	0,01255	0,01222	0,01191	0,01160	0,01130	0,01101
2.3	0,01072	0,01044	0,01017	0,00990	0,00964	0,00939	0,00914	0,00889	0,00866	0,00842
2,4	0,00820	0,00798	0,00776	0,00755	0,00734	0,00714	0,00695	0,00676	0,00657	0,00639
2,5	0,00621	0,00604	0,00587	0,00570	0,00554	0,00539	0,00523	0,00508	0,00494	0,00480
2,6	0,00466	0,00453	0,00440	0,00427	0,00415	0,00402	0,00391	0,00379	0,00368	0,00357
2,7	0,00347	0,00336	0,00326	0,00317	0,00307	0,00298	0,00289	0,00280	0,00272	0,00264
2,8	0,00256	0,00248	0,00240	0,00233	0,00226	0,00219	0,00212	0,00205	0,00199	0,00193
2,9	0,00187	0,00181	0,00175	0,00169	0,00164	0,00159	0,00154	0,00149	0,00144	0,00139
3.0	0,00135	0,00131	0,00126	0,00122	0,00118	0,00114	0,00111	0,00107	0,00104	0,00100
3.1	0,00097	0,00094	0,00090	0,00087	0,00084	0,00082	0,00079	0,00076	0,00074	0,00071
3.2	0,00069	0,00066	0,00064	0,00062	0,00060	0,00058	0,00056	0,00054	0,00052	0,00050
3.3	0,00048	0,00047	0,00045	0,00043	0,00042	0,00040	0,00039	0,00038	0,00036	0,00035
3,4	0,00034	0,00032	0,00031	0,00030	0,00029	0,00028	0,00027	0,00026	0,00025	0,00024
3.5	0,00023	0,00022	0,00022	0,00021	0,00020	0,00019	0,00019	0,00018	0,00017	0,00017
3,6	0,00016	0,00015	0,00015	0,00014	0,00014	0,00013	0,00013	0,00012	0,00012	0,00011
3,7	0,00011	0,00010	0,00010	0,00010	0,00009	0,00009	0,00008	0,00008	0,00008	0,00008
3,8	0,00007	0,00007	0,00007	0,00006	0,00006	0,00006	0,00006	0,00005	0,00005	0,00005
3.9	0,00005	0,00005	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00004	0,00003	0,00003
4.0	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002

Эта таблица дает вероятность того, что статистика больше Z, для больших целых Z значений.

z	+0	+1	+2	+3	+4		+5	+6	+7	+8	+9
0	5,00000 E -1	1,58655 E -1	2.27501 E -2	1,34990 E -3	3,16712 E -5		2,86652 E -7	9.86588 E -10	1.27981 E -12	6.22096 E -16	1.12859 E -19
10	7.61985 E -24	1.91066 E -28	1.77648 E -33	6.11716 E -39	7.79354 E -45		3.67097 E -51	6.38875 E -58	4.10600 E -65	9.74095 E -73	8.52722 E -81
20	2,75362 E -89	3,27928 E -98	1.43989 E -107	2.33064 E-117	1.39039 E-127		3.05670 E-138	2.47606 E-149	7.38948 E -161	8.12387 E-173	3,28979 E -185
30	4.90671 E -198	2.69525 E -211	5.45208 E -225	4.06119 E -239	1.11390 E-253		1.12491 E-268	4.18262 E -284	5.72557 E -300	2.88543 E -316	5,35312 E -333
40	3.65589 E -350	9.19086 E -368	8.50515 E -386	2,89707 E -404	3.63224 E -423		1.67618 E -442	2.84699 E -462	1.77976 E -482	4.09484 E -503	3,46743 E -524
50	1.08060 E -545	1.23937 E -567	5.23127 E -590	8.12606 E -613	4.64529 E -636		9.77237 E -660	7.56547 E -684	2.15534 E -708	2.25962 E -733	8.71741 E -759
60	1.23757 E -784	6.46517 E -811	1.24283 E -837	8.79146 E -865	2.28836 E -892		2.19180 E -920	7.72476 E -949	1.00178 E -977	4.78041 E -1007	8,39374 E -1037
70	5.42304 E -1067	1.28921 E -1097	1.12771 E -1128	3.62960 E -1160	4.29841 E-1192		1.87302 E -1224	3.00302 E -1257	1.77155 E -1290	3.84530 E -1324	3.07102 E -1358

Примеры использования

Оценки профессора на экзамене приблизительно распределены нормально со средним значением 80 и стандартным отклонением 5. Доступны только совокупные из средних значений таблицы.

• Какова вероятность того, что студент наберет 82 или меньше?

${\ Displaystyle Р (Икс \ Leq 82) = Р \ влево (Z \ Leq {\ гидроразрыва {82-80} {5}} \ вправо) = Р (Z \ Leq 0,40)}$  ${\ displaystyle = 0,15542 + 0,5 = 0,65542}$

• Какова вероятность того, что студент наберет 90 или более баллов?

${\ Displaystyle P (Икс \ geq 90) = P \ влево (Z \ geq {\ frac {90-80} {5}} \ right) = P (Z \ geq 2.00)}$  ${\ displaystyle = 1-P (Z \ leq 2.00) = 1- (0,47725 + 0,5) = 0,02275}$

• Какова вероятность того, что студент наберет 74 или меньше?

${\ Displaystyle Р (Икс \ Leq 74) = Р \ влево (Z \ Leq {\ гидроразрыва {74-80} {5}} \ вправо) = Р (Z \ Leq -1,20)}$

Поскольку в этой таблице нет негативов, процесс включает в себя следующий дополнительный этап:

${\ Displaystyle Р (Z \ Leq -1.20) = Р (Z \ GEQ 1.20)}$  ${\ displaystyle = 1- (0,38493 + 0,5) = 0,11507}$

• Какова вероятность того, что студент наберет от 74 до 82 баллов?

${\ Displaystyle P (74 \ Leq X \ Leq 82) = P (X \ Leq 82) -P (X \ Leq 74) = 0,65542-0,11507}$ [как в примерах выше] ${\ displaystyle = 0,54035}$

• Какова вероятность того, что в среднем по трем оценкам будет 82 или меньше?

${\ displaystyle P (X \ leq 82) = P \ left (Z \ leq {\ frac {82-80} {5 / {\ sqrt {3}}}} \ right)}$  ${\ displaystyle = P (Z \ leq 0,69) = 0,2549 + 0,5 = 0,7549}$

Смотрите также

использованная литература