Модуль Specht - Specht module

В математике модуль Шпехта - одно из представлений симметрических групп, изученных Вильгельмом Шпехтом  ( 1935 ). Они индексируются разбиениями, и в характеристике 0 модули Шпехта разбиений n образуют полный набор неприводимых представлений симметрической группы в n точках.

Определение

Зафиксируем разбиение λ числа n и коммутативное кольцо k . Разбиение определяет диаграмму Юнга с n клетками. Юнга формы А , является способ маркировки коробок этой диаграммы Юнга по различным номерам . ${\ Displaystyle 1, \ точки, п}$

Таблоид является классом эквивалентности таблиц Юнга , где две разметки эквивалентными , если один получается из другого перестановкой записи каждой строки. Пусть для каждой таблицы Юнга T формы λ - соответствующий таблоид. Симметрическая группа по n точкам действует на множестве таблиц Юнга формы λ. Следовательно, он действует на таблоиды и на бесплатный k -модуль V, взяв за основу таблоиды. ${\ Displaystyle \ {Т \}}$

Для таблицы Юнга T формы λ пусть

${\ Displaystyle E_ {T} = \ сумма _ {\ sigma \ in Q_ {T}} \ epsilon (\ sigma) \ {\ sigma (T) \} \ in V}$

где Q _T - подгруппа перестановок, сохраняющая (как наборы) все столбцы T, и знак перестановки σ. Шпехтовский модуль разбиения λ - это модуль, порожденный элементами E _T, когда T пробегает все таблицы формы λ. ${\ Displaystyle \ epsilon (\ sigma)}$

Модуль Шпехта имеет базис из элементов Е _Т для Т стандартную таблицу Юнга .

Мягкое введение в конструкцию модуля Шпехта можно найти в Разделе 1 «Многогранники Шпехта и матроиды Шпехта».

Состав

Над полями характеристики 0 модули Шпехта неприводимы и образуют полный набор неприводимых представлений симметрической группы.

Разбиение называется p -регулярным, если в нем нет p частей одинакового (положительного) размера. Над полями характеристики p > 0 модули Шпехта приводимы. Для p -регулярных разбиений они имеют единственный неприводимый фактор, и эти неприводимые факторы образуют полный набор неприводимых представлений.

использованная литература

• Андерсен, Хеннинг Хаар (2001) [1994], "Шпехтовский модуль" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Джеймс, Г.Д. (1978), "Глава 4: Шпехтовские модули", Теория представлений симметрических групп , Лекционные заметки по математике, 682 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , с. 13, DOI : 10.1007 / BFb0067712 , ISBN 978-3-540-08948-3, MR  0513828
• Джеймс, Гордон; Кербер, Адальберт (1981), Теория представлений симметрической группы , Энциклопедия математики и ее приложений, 16 , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, Руководство по ремонту  0644144
• Шпехт, W. (1935), "Die irreduziblen Darstellungen дер symmetrischen Gruppe", Mathematische Zeitschrift , 39 (1): 696-711, DOI : 10.1007 / BF01201387 , ISSN  0025-5874