Тонкий треугольник - Skinny triangle

В тригонометрии , тощий треугольник является треугольником , высота которого намного больше , чем его основание. Решение таких треугольников может быть значительно упрощено путем использования приближения , что синус малого угла равен этим углом в радианах . Решение особенно просто для тонких треугольников, которые также являются равнобедренными или прямоугольными : в этих случаях можно полностью отказаться от тригонометрических функций или таблиц .

Тонкий треугольник находит применение в геодезии, астрономии и стрельбе.

Равнобедренный треугольник

Таблица ошибок синусоидальной малоугловой аппроксимации

Большие углы	Маленькие углы
угол ошибка (градусы) (радианы) (%) 1 0,017 0,005 2 0,035 0,02 5 0,087 0,13 10 0,175 0,51 15 0,262 1,15 20 0,349 2,06 25 0,436 3,25 30 0,524 4,72 35 год 0,611 6.50 40 0,698 8,61 45 0,785 11.07 50 0,873 13,92 55 0,960 17,19 60 1.047 20,92	угол ошибка (минут) (радианы) ( частей на миллион ) 1 0,0003 0,01 2 0,0006 0,06 5 0,0015 0,35 10 0,0029 1,41 15 0,0044 3,17 20 0,0058 5,64 25 0,0073 8,81 30 0,0087 12,69 35 год 0,0102 17,28 40 0,0116 22,56 45 0,0131 28,56 50 0,0145 35,26 55 0,0160 42,66 60 0,0175 50,77

Приблизительное решение тонкого равнобедренного треугольника, показанного на рисунке 1, выглядит следующим образом:

${\ Displaystyle б \ приблизительно г \ тета \,}$

${\ displaystyle {\ text {area}} \ приблизительно {\ frac {1} {2}} \ theta r ^ {2} \,}$

Это основано на малоугловых приближениях :

${\ Displaystyle \ грех \ тета \ приблизительно \ тета, \ квад \ тета \ ll 1 \,}$

а также

${\ displaystyle \ cos \ theta = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) \ приблизительно 1, \ quad \ theta \ ll 1}$

когда в радианах . ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ theta}$

Доказательство решения тонкого треугольника следует из малоуглового приближения с применением закона синусов . Снова обращаясь к рисунку 1:

${\ displaystyle {\ frac {b} {\ sin \ theta}} = {\ frac {r} {\ sin \ left ({\ frac {\ pi - \ theta} {2}} \ right)}}}$

Этот член представляет собой базовый угол треугольника и является этим значением, потому что сумма внутренних углов любого треугольника (в данном случае два базовых угла плюс θ ) равна π. Применение аппроксимации малых углов к закону синусов, приведенному выше, приводит к ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ pi - \ theta} {2}}}$

${\ displaystyle {\ frac {b} {\ theta}} \ приблизительно {\ frac {r} {1}}}$

что и есть желаемый результат.

Этот результат эквивалентен предположению, что длина основания треугольника равна длине дуги окружности радиуса r, пересеченной углом θ . Ошибка составляет 10% или меньше для углов меньше примерно 43 ° и улучшается квадратично: когда угол уменьшается в k раз , ошибка уменьшается на k ² .

Формула стороны-угла-стороны для площади треугольника:

${\ displaystyle {\ text {area}} = {\ frac {\ sin \ theta} {2}} r ^ {2}}$

Применение малоугловых приближений приводит к

${\ displaystyle {\ text {area}} \ приблизительно {\ frac {1} {2}} \ theta r ^ {2} \,}$

Прямоугольный треугольник

Таблица ошибок малоугловой аппроксимации касательной

Большие углы	Маленькие углы
угол ошибка (градусы) (радианы) (%) 1 0,017 −0,01 5 0,087 -0,25 10 0,175 −1,02 15 0,262 −2,30 20 0,349 -4,09 25 0,436 −6,43 30 0,524 -9,31 35 год 0,611 -12,76 40 0,698 −16,80 45 0,785 −21,46 50 0,873 -26,77 55 0,960 -32,78 60 1.047 -39,54	угол ошибка (минут) (радианы) (частей на миллион) 1 0,0003 -0,03 5 0,0015 −0,71 10 0,0029 −2,82 15 0,0044 −6,35 20 0,0058 -11,28 25 0,0073 -17,63 30 0,0087 -25,38 35 год 0,0102 -34,55 40 0,0116 -45,13 45 0,0131 -57,12 50 0,0145 −70,51 55 0,0160 -85,32 60 0,0175 -101,54

Приблизительное решение правильного тонкого треугольника, показанного на рисунке 3, выглядит следующим образом:

${\ Displaystyle б \ приблизительно ч \ тета}$

Это основано на малоугловом приближении

${\ Displaystyle \ загар \ тета \ приблизительно \ тета, \ квад \ тета \ ll 1}$

которое при подстановке в точное решение

${\ Displaystyle б = час \ загар \ тета \}$

дает желаемый результат.

Погрешность этого приближения составляет менее 10% для углов 31 ° или меньше.

Приложения

Применение тонкого треугольника происходит в любой ситуации, когда необходимо определить расстояние до удаленного объекта. Это может происходить в геодезии, астрономии, а также в военных целях.

Астрономия

Тонкий треугольник часто используется в астрономии для измерения расстояния до объектов Солнечной системы . Основание треугольника образовано расстоянием между двумя измерительными станциями, а угол θ - это угол параллакса, образованный объектом, видимым двумя станциями. Эта базовая линия обычно очень длинная для лучшей точности; в принципе станции могут быть на противоположных сторонах Земли . Однако это расстояние все еще мало по сравнению с расстоянием до измеряемого объекта (высота треугольника), и решение тонкого треугольника может быть применено и по-прежнему обеспечивает высокую точность. Альтернативный метод измерения базовых углов теоретически возможен, но не так точен. Базовые углы очень близки к прямым, и их необходимо измерять с гораздо большей точностью, чем угол параллакса, чтобы получить такую ​​же точность.

Тот же метод измерения углов параллакса и применения тонкого треугольника можно использовать для измерения расстояний до звезд, по крайней мере, до ближайших. Однако в случае звезд обычно требуется более длинная базовая линия, чем диаметр Земли. Вместо использования двух станций на базовой линии, два измерения выполняются с одной и той же станции в разное время года. В течение промежуточного периода орбита Земли вокруг Солнца перемещает измерительную станцию ​​на большое расстояние, обеспечивая очень длинную базовую линию. Длина этой базовой линии может быть равна большой оси земной орбиты или, что эквивалентно, двум астрономическим единицам (AU). Расстояние до звезды с углом параллакса всего в одну угловую секунду, измеренное на базовой линии в одну а.е., является единицей, известной в астрономии как парсек (пк), и составляет примерно 3,26 световых года . Между расстоянием в парсеках и углом в угловых секундах существует обратная зависимость. Например, две угловые секунды соответствуют расстоянию 0,5 пк, а 0,5 угловой секунды соответствуют расстоянию в два парсека.

Артиллерийское дело

Тонкий треугольник полезен при стрельбе, поскольку он позволяет рассчитывать взаимосвязь между дальностью и размером цели без необходимости стрелку вычислять или искать какие-либо тригонометрические функции . Военные и охотничьи прицелы часто имеют перекрестие калиброванный в миллирадианах , в этом контексте обычно называют просто мила или Mil-точки. Мишень высотой 1 метр и размером 1 мил в прицеле соответствует дальности 1000 метров. Существует обратная зависимость между углом, измеренным в прицеле снайпера, и расстоянием до цели. Например, если размер этой же цели в прицеле составляет 2 мил, то дальность действия составит 500 метров.

Еще одна единица измерения, которая иногда используется в прицелах, - это угловая минута (MOA). Расстояния, соответствующие угловым минутам, не являются точными числами в метрической системе, как в миллирадианах; однако существует удобное приблизительное соответствие целых чисел в британских единицах измерения . Мишень высотой 1 дюйм и размером 1 МОА в прицеле соответствует дальности 100 ярдов . Или, что более полезно, цель высотой 6 футов и размером 4 МОА соответствует дальности 1800 ярдов (чуть больше мили).

Авиация

Простая форма авиационной навигации, точный расчет , основывается на оценке скорости ветра на больших расстояниях для расчета желаемого курса. Поскольку прогнозируемая или сообщаемая скорость ветра редко бывает точной, необходимо регулярно корректировать курс самолета. Тонкие треугольники составляют основу правила 1 из 60 , которое гласит: «После 60 миль ваш курс отклоняется на один градус на каждую милю, на которую вы отклоняетесь от курса». «60» очень близко к 180 / π = 57,30.

Смотрите также

• Бесконечно малые колебания маятника

Рекомендации

Библиография

• Джордж Огден Абелл, Дэвид Моррисон, Сидни К. Вольф, Исследование Вселенной , издательство Saunders College Pub., 1987 ISBN  0-03-005143-6 .
• Джим Брайтхаупт, Физика для продвинутого уровня , Нельсон Торнс, 2000 ISBN  0-7487-4315-4 .
• Чарльз Х. Холброу, Джеймс Н. Ллойд, Джозеф К. Амато, Энрике Гальвес, Бет Паркс, Современная вводная физика , Springer, 2010 ISBN  0-387-79079-9 .
• Срини Васан, Основы фотоники и оптики , Trafford Publishing, 2004 ISBN  1-4120-4138-4 .
• Том А. Варлоу, Огнестрельное оружие, закон и судебная баллистика , Тейлор и Фрэнсис, 1996 ISBN  0-7484-0432-5 .