Дзета-функция Сельберга - Selberg zeta function

Дзета-функция Сельберга была введена Сельберг  ( 1 956 ). Это аналог известной дзета-функции Римана.

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}$

где - множество простых чисел. Дзета-функция Сельберга использует длины простых замкнутых геодезических вместо простых чисел. Если является подгруппой SL (2, R ) , ассоциированная дзета-функция Сельберга определяется следующим образом: ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle \ zeta _ {\ Gamma} (s) = \ prod _ {p} (1-N (p) ^ {- s}) ^ {- 1},}$

или же

${\ Displaystyle Z _ {\ Gamma} (s) = \ prod _ {p} \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1-N (p) ^ {- sn}),}$

где p пробегает классы сопряженности простых геодезических (эквивалентно классы сопряженности примитивных гиперболических элементов ), а N ( p ) обозначает длину p (эквивалентно квадрату большего собственного значения p ). ${\ displaystyle \ Gamma}$

Для любой гиперболической поверхности конечной площади существует ассоциированная дзета-функция Сельберга ; эта функция является мероморфной функцией, определенной на комплексной плоскости . Дзета-функция определяется в терминах замкнутых геодезических поверхности.

Нули и полюсы дзета-функции Сельберга Z ( s ) могут быть описаны в терминах спектральных данных поверхности.

Нули стоят в следующих точках:

1. Для каждой формы возврата с собственным значением существует нуль в точке . Порядок нуля равен размерности соответствующего собственного подпространства. (Форма возврата - это собственная функция оператора Лапласа – Бельтрами, имеющего разложение Фурье с нулевым постоянным членом.) ${\ displaystyle s_ {0} (1-s_ {0})}$${\ displaystyle s_ {0}}$
2. Дзета-функция также имеет нуль на каждом полюсе определителя матрицы рассеяния . Порядок нуля равен порядку соответствующего полюса матрицы рассеяния. ${\ displaystyle \ phi (s)}$

Дзета-функция также имеет полюсы в точках и может иметь нули или полюсы . ${\ Displaystyle 1/2- \ mathbb {N}}$${\ displaystyle - \ mathbb {N}}$

Дзета - функция Ихары считается р-адических (и теории графов) аналог дзета - функции Сельберга.

Дзета-функция Сельберга для модульной группы

Для случая, когда поверхность есть , где - модулярная группа , дзета-функция Сельберга представляет особый интерес. В этом частном случае дзета-функция Сельберга тесно связана с дзета-функцией Римана . ${\ displaystyle \ Gamma \ backslash \ mathbb {H} ^ {2}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

В этом случае определитель матрицы рассеяния определяется выражением:

${\ Displaystyle \ varphi (s) = \ pi ^ {1/2} {\ frac {\ Gamma (s-1/2) \ zeta (2s-1)} {\ Gamma (s) \ zeta (2s)} }.}$

В частности, мы видим, что если дзета-функция Римана имеет нуль в точке , то определитель матрицы рассеяния имеет полюс в точке , и, следовательно, дзета-функция Сельберга имеет нуль в точке . ${\ displaystyle s_ {0}}$${\ displaystyle s_ {0} / 2}$${\ displaystyle s_ {0} / 2}$

использованная литература

• Фишер, Юрген (1987), подход к формуле следа Сельберга с помощью дзета-функции Сельберга , Lecture Notes in Mathematics, 1253 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0077696 , ISBN   978-3-540-15208-8 , Руководство по ремонту   0892317
• Хейхал, Деннис А. (1976), Формула следа Сельберга для PSL (2, R). Vol. I , Конспект лекций по математике, Vol. 548, 548 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0079608 , MR   0439755
• Хейхал, Деннис А. (1983), Формула следа Сельберга для PSL (2, R). Vol. 2 , Конспект лекций по математике, 1001 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0061302 , ISBN   978-3-540-12323-1 , Руководство по ремонту   0711197
• Иванец, Х. Спектральные методы автоморфных форм, Американское математическое общество, второе издание, 2002.
• Сельберг, Атле (1956), "Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле", J. Indian Math. Soc. , New Series, 20 : 47–87, MR   0088511.
• Венков, А.Б. Спектральная теория автоморфных функций. Proc. Стеклова. Inst. Математика, 1982.
• Сунада Т. L-функции в геометрии и некоторых приложениях // Тр. Taniguchi Symp. 1985, "Кривизна и топология римановых многообразий", Springer Lect. Примечание по математике. 1201 (1986), 266-284.