Гипотеза о дзета-функции Сельберга - Selberg's zeta function conjecture

В математике гипотеза Сельберга , названная в честь Атле Сельберга , представляет собой теорему о плотности нулей дзета-функции Римана ζ (1/2 +  it ). Известно, что функция имеет бесконечно много нулей на этой прямой в комплексной плоскости: вопрос в том, насколько плотно они сгруппированы. Результаты по этому вопросу может быть сформулирована в терминах N ( T ), функция подсчета нулей на линии , для которых значение т удовлетворяет условию 0 ≤ т ≤ Т .

Задний план

В 1942 г. Атле Сельберг исследовал проблему гипотезы Харди – Литтлвуда 2 ; и он доказал, что для любого

${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

существуют

${\ Displaystyle Т_ {0} = Т_ {0} (\ varepsilon)> 0}$

и

${\ Displaystyle с = с (\ varepsilon)> 0,}$

так что для

${\ displaystyle T \ geq T_ {0}}$

и

${\ displaystyle H = T ^ {0,5+ \ varepsilon}}$

неравенство

${\ Displaystyle N (T + H) -N (T) \ geq cH \ log T}$

Справедливо.

В свою очередь, Сельберг высказал гипотезу, касающуюся более коротких интервалов, а именно, что можно уменьшить значение показателя a = 0,5 в

${\ displaystyle H = T ^ {0.5+ \ varepsilon}.}$

Доказательство гипотезы

В 1984 г. Анатолий Карацуба доказал, что для фиксированного, удовлетворяющего условию ${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ Displaystyle 0 <\ varepsilon <0,001,}$

достаточно большое T и

${\ displaystyle H = T ^ {a + \ varepsilon},}$ ${\ displaystyle a = {\ tfrac {27} {82}} = {\ tfrac {1} {3}} - {\ tfrac {1} {246}},}$

интервал ординаты t ( T ,  T  +  H ) содержит не менее cH  ln  T вещественных нулей дзета-функции Римана

${\ displaystyle \ zeta {\ Bigl (} {\ tfrac {1} {2}} + it {\ Bigr)};}$

тем самым подтвердив гипотезу Сельберга. Оценки Сельберга и Карацубы не могут быть улучшены в отношении порядка роста при T  → + ∞.

Дальнейшая работа

В 1992 г. Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельберга верен для «почти всех» интервалов ( T ,  T  +  H ], H  =  T ^ε , где ε - сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод Карацубы позволяет исследовать нули дзета-функция Римана на «сверхкоротких» промежутках критической линии, то есть на интервалах ( Т ,  Т  +  Н ], длина H которых растет медленнее , чем любой, даже сколь угодно малой степени Т .

В частности, он доказал, что для любых заданных чисел ε, ε _1, удовлетворяющих условиям 0 <ε, ε ₁ <1, почти все интервалы ( T ,  T  +  H ] при H  ≥ exp [(ln  T ) ^ε ] содержат не менее H  (ln  T ) ^{1 - ε ₁} нулей функции ζ (1/2 +  it ), что весьма близко к условному результату, вытекающему из гипотезы Римана .

Ссылки