Формула вращения Родригеса - Rodrigues' rotation formula

В теории трехмерного вращения , формула вращения Родриги , названная в честь Олинд Родригли , является эффективным алгоритмом для вращения вектора в пространстве, дала ось и угол поворота . В более широком смысле, это можно использовать для преобразования всех трех базисных векторов для вычисления матрицы вращения в $SO (3)$ , группе всех матриц вращения, из представления ось-угол . Другими слова, формула Родриги обеспечивает алгоритм для вычисления экспоненциального отображения из $так (3)$ , то алгебры Ли из $SO (3)$ , к $SO (3)$ без фактического вычисления полной матричной экспоненты.

Заявление

Если $v$ - вектор в $ℝ 3,$ а $k$ - единичный вектор, описывающий ось вращения, вокруг которой $v$ вращается на угол $θ$ согласно правилу правой руки , формула Родригеса для повернутого вектора $v rot$ имеет вид

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rot}} = \ mathbf {v} \ cos \ theta + (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}) \ sin \ theta + \ mathbf {k } ~ (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {v}) (1- \ cos \ theta) \ ,.}$

Смысл приведенной выше формулы состоит в том, что первый член масштабирует вектор вниз, а второй наклоняет его (посредством сложения векторов ) к новому положению вращения. Третий член повторно добавляет высоту (относительно ), потерянную первым членом. ${\ displaystyle {\ textbf {k}}}$

Альтернативное утверждение состоит в том, чтобы записать вектор оси как произведение $a \times b$ любых двух ненулевых векторов $a$ и $b,$ которые определяют плоскость вращения, а угол $θ$ измеряется от $a$ к $b$ . Полагая $α$ обозначить угол между этими векторами, два угла & $thetas$ ; и $α$ не обязательно равны, но они измеряются в том же самом смысле. Тогда вектор единичной оси можно записать

{\ displaystyle \ mathbf {k} = {\ frac {\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}} {| \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} |}} = {\ frac {\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}} {| \ mathbf {a} || \ mathbf {b} | \ sin \ alpha}} \ ,.}

Эта форма может быть более полезной, когда задействованы два вектора, определяющие плоскость. Примером в физике является прецессия Томаса, которая включает вращение, заданное формулой Родригеса, в терминах двух неколлинеарных скоростей наддува, а ось вращения перпендикулярна их плоскости.

Вывод

Формула вращения Родригеса вращает

v

на угол

θ

вокруг вектора

k

, разлагая его на компоненты, параллельные и перпендикулярные

k

, и вращая только перпендикулярный компонент.

Векторная геометрия формулы вращения Родригеса, а также разложение на параллельную и перпендикулярную составляющие.

Пусть $k$ будет единичным вектором, определяющим ось вращения, и пусть $v$ будет любым вектором, который вращается вокруг $k$ на угол $θ$ ( правило правой руки , против часовой стрелки на рисунке).

Используя скалярное произведение и кросс-произведение , вектор $v$ можно разложить на компоненты, параллельные и перпендикулярные оси $k$ ,

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {\ parallel} + \ mathbf {v} _ {\ perp} \ ,,}

где компонент, параллельный $k,$ равен

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ parallel} = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {k}) \ mathbf {k}}

называется вектор проекции из $V$ на $к$ , и компонент , перпендикулярной $к$ является

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp} = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {\ parallel} = \ mathbf {v} - (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {v} ) \ mathbf {k} = - \ mathbf {k} \ times (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {v})}

называется вектор отказ от $V$ от $к$ .

Вектор $k \times v$ можно рассматривать как копию $v ⊥,$ повернутую против часовой стрелки на 90 ° относительно $k$ , поэтому их величины равны, но направления перпендикулярны. Точно так же вектор $k \times (k \times v)$ копия $v ⊥$ повернут против часовой стрелки на $180 °$ вокруг $k$ , так что $k \times (k \times v)$ и $v ⊥$ равны по величине, но в противоположных направлениях (т.е. другое, отсюда и знак минус). Расширение векторного тройного произведения устанавливает связь между параллельными и перпендикулярными компонентами, для справки формула имеет вид $a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c для$ любых трех векторов $a$ , $b$ , $c$ .

Компонент, параллельный оси, не изменит ни величину, ни направление при вращении,

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ parallel \ mathrm {rot}} = \ mathbf {v} _ {\ parallel} \ ,,}

только перпендикулярный компонент изменит направление, но сохранит свою величину, согласно

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ left | \ mathbf {v} _ {\ perp \ mathrm {rot}} \ right | & = \ left | \ mathbf {v} _ {\ perp} \ right | \, , \\\ mathbf {v} _ {\ perp \ mathrm {rot}} & = \ cos (\ theta) \ mathbf {v} _ {\ perp} + \ sin (\ theta) \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v} _ {\ perp} \ ,, \ end {выровнено}}}

и поскольку $k$ и $v ∥$ параллельны, их перекрестное произведение равно нулю $k \times v ∥ = 0$ , так что

{\ displaystyle \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v} _ {\ perp} = \ mathbf {k} \ times \ left (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {\ parallel} \ right) = \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v} - \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v} _ {\ parallel} = \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}}

и это следует

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp \ mathrm {rot}} = \ cos (\ theta) \ mathbf {v} _ {\ perp} + \ sin (\ theta) \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v} \ ,.}

Этот поворот правильный, поскольку векторы $v ⊥$ и $k \times v$ имеют одинаковую длину, а $k \times v$ - это $v ⊥,$ повернутые против часовой стрелки на $90 °$ вокруг $k$ . Соответствующее масштабирование $v ⊥$ и $k \times v$ с использованием тригонометрических функций синуса и косинуса дает повернутую перпендикулярную составляющую. Форма повернутого компонента аналогична радиальному вектору в двумерных плоских полярных координатах $(r, θ)$ в декартовом базисе.

{\ displaystyle \ mathbf {r} = r \ cos (\ theta) \ mathbf {e} _ {x} + r \ sin (\ theta) \ mathbf {e} _ {y} \ ,,}

где $e x$ , $e y$ - единичные векторы в указанных направлениях.

Теперь полный повернутый вектор

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rot}} = \ mathbf {v} _ {\ parallel \ mathrm {rot}} + \ mathbf {v} _ {\ perp \ mathrm {rot}} \, ,}

Подставляя определения $v rot$ и $v ⊥rot$ в уравнение, $получаем$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rot}} & = \ mathbf {v} _ {\ parallel} + \ cos (\ theta) \, \ mathbf {v} _ { \ perp} + \ sin (\ theta) \, \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v} \\ & = \ mathbf {v} _ {\ parallel} + \ cos (\ theta) \ left (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {\ parallel} \ right) + \ sin (\ theta) \, \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v} \\ & = \ cos (\ theta) \, \ mathbf {v} + (1- \ cos \ theta) \ mathbf {v} _ {\ parallel} + \ sin (\ theta) \, \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v} \\ & = \ cos (\ theta) \, \ mathbf {v} + (1- \ cos \ theta) (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {k} + \ sin (\ theta) \, \ mathbf {к} \ раз \ mathbf {v} \ конец {выровнено}}}

Матричные обозначения

Представляя $v$ и $k \times v$ как матрицы столбцов , перекрестное произведение может быть выражено как матричное произведение

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}) _ {x} \\ (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}) _ {y} \\ ( \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}) _ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} k_ {y} v_ {z} -k_ {z} v_ {y} \\ k_ {z} v_ {x} -k_ {x} v_ {z} \\ k_ {x} v_ {y} -k_ {y} v_ {x} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & - k_ {z} & k_ {y} \\ k_ {z} & 0 & -k_ {x} \\ - k_ {y} & k_ {x} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {x} \\ v_ {y} \\ v_ {z} \ end {bmatrix}} \ ,.}

Позволить $К$ обозначают « матрицу кросс-продукт » для единичного вектора $к$ ,

{\ displaystyle \ mathbf {K} = \ left [{\ begin {array} {ccc} 0 & -k_ {z} & k_ {y} \\ k_ {z} & 0 & -k_ {x} \\ - k_ {y} & k_ {x} & 0 \ end {array}} \ right] \ ,,}

то есть

{\ Displaystyle \ mathbf {K} \ mathbf {v} = \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}}

для любого вектора $v$ . (Фактически, $K$ - единственная матрица с этим свойством. Она имеет собственные значения 0 и $\pm i$ ).

Отсюда следует, что итерация перекрестного произведения эквивалентна умножению на матрицу перекрестного произведения слева; конкретно:

{\ displaystyle \ mathbf {K} (\ mathbf {K} \ mathbf {v}) = \ mathbf {K} ^ {2} \ mathbf {v} = \ mathbf {k} \ times (\ mathbf {k} \ раз \ mathbf {v}) \ ,.}

Таким образом, предыдущая формула поворота на матричном языке выглядит так:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rot}} & = \ mathbf {v} \ cos \ theta + (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}) \ sin \ theta + \ mathbf {k} ~ (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {v}) (1- \ cos \ theta) \\ & = \ mathbf {v} \ cos \ theta + (\ mathbf {k } \ times \ mathbf {v}) \ sin \ theta + (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {\ perp}) (1- \ cos \ theta) \\ & = \ mathbf {v} \ cos \ theta + (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}) \ sin \ theta + (\ mathbf {v} + \ mathbf {k} \ times (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}) )) (1- \ cos \ theta) \\ & = \ mathbf {v} \ cos \ theta + (\ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}) \ sin \ theta + (\ mathbf {v} + \ mathbf {K} (\ mathbf {K} \ mathbf {v})) (1- \ cos \ theta) \\ & = \ mathbf {v} (\ cos \ theta + 1- \ cos \ theta) + ( \ mathbf {k} \ times \ mathbf {v}) \ sin \ theta + \ mathbf {K} (\ mathbf {K} \ mathbf {v}) (1- \ cos \ theta) \ end {выровнено}}}

Итак, у нас есть:

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rot}} = \ mathbf {v} + (\ sin \ theta) \ mathbf {K} \ mathbf {v} + (1- \ cos \ theta) \ mathbf {K} ^ {2} \ mathbf {v} \ ,, \ quad \ | \ mathbf {K} \ | _ {2} = 1 \ ,.}

Обратите внимание, что коэффициент перед главным членом теперь равен 1 в этой записи: см. Обсуждение группы Ли ниже.

Факторизация $v$ позволяет получить компактное выражение

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rot}} = \ mathbf {R} \ mathbf {v}}

куда

${\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {I} + (\ sin \ theta) \ mathbf {K} + (1- \ cos \ theta) \ mathbf {K} ^ {2}}$

- матрица поворота на угол $θ$ против часовой стрелки вокруг оси $k$ , а $I$ - единичная матрица 3 × 3 . Эта матрица $R$ является элементом группы вращений $SO (3)$ из $ℝ$ $3$ , и $К$ представляет собой элемент алгебры Ли генерации , что группа Ли (заметим , что $К$ кососимметричен, который характеризует ). ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

В терминах матричной экспоненты

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = \ ехр (\ theta \ mathbf {K}) \ ,.}

Чтобы убедиться, что последняя идентичность сохраняется, нужно отметить, что

{\ Displaystyle \ mathbf {R} (\ theta) \ mathbf {R} (\ phi) = \ mathbf {R} (\ theta + \ phi), \ quad \ mathbf {R} (0) = \ mathbf {I } \ ,,}

характеристика однопараметрической подгруппы , т. е. экспоненциальной, и что формулы совпадают для бесконечно малых $θ$ .

Для альтернативного вывода, основанного на этой экспоненциальной зависимости, см. Экспоненциальную карту от до $SO (3)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$ . Для обратного отображения см. Отображение журнала из $SO (3)$ в ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$ .

Ходдж двойного вращения просто , что позволяет извлечение как оси вращения и синус угла вращения от вращения матрицы сам по себе, с обычной неоднозначностью, ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {*} = - \ sin (\ theta) \ mathbf {k}}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ sin (\ theta) & = \ sigma \ left | \ mathbf {R} ^ {*} \ right | \\ [3pt] \ mathbf {k} & = - {\ frac {\ sigma \ mathbf {R} ^ {*}} {\ left | \ mathbf {R} ^ {*} \ right |}} \ end {выровнено}}}

где . Приведенное выше простое выражение является результатом того факта, что двойники Ходжа к и равны нулю, и . ${\ displaystyle \ sigma = \ pm 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {K} ^ {*} = - \ mathbf {k}}$

Однако при применении формулы Родригеса обычная двусмысленность может быть устранена с помощью расширенной формы формулы.

Смотрите также

использованная литература

Леонард Эйлер , "Problema algebraicum obffectiones prorsus singulares memorabile", комментарий 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Акад. Sci. Petropolitanae 15 (1770), 75–106.
Олинд Родриг , "Des Лоис géométriques Квайте régissent ль déplacements d'ООН système солид данс l'Espace, и де л варьирование де coordonnées provenant де КЕС déplacements considérés дез вызывает Независимая Квай peuvent ле produire", Журнал де Mathématiques Pures и др Appliquées 5 (1840 ), 380–440. онлайн .
Дон Кокс, (2006) Исследования в области математической физики , Springer Science + Business Media, LLC. ISBN 0-387-30943-8 . Глава 4, стр. 147 и след. Круговой путь к геометрической алгебре
↑ Лян, Куо Кан (2018). «Эффективное преобразование вращающейся матрицы в ось и угол вращения путем расширения формулы Родригеса». arXiv : 1810.02999 [ cs ].

внешние ссылки

Йохан Э. Мебиус, Вывод формулы Эйлера-Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений. , arXiv Общая математика 2007.
Другой описательный пример см. Http://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles , Крис Хеккер, раздел физики, часть 4. «Третье измерение» - на странице 3, раздел «Ось и угол» , http://chrishecker.com /images/b/bb/Gdmphys4.pdf

Languages

In other projects