Лемма о кольце - Ring lemma

Конструкция, показывающая точную оценку кольцевой леммы

В геометрии упаковок кругов в евклидовой плоскости лемма о кольцах дает нижнюю оценку размеров соседних кругов в упаковке кругов.

Заявление

В лемме говорится: Позвольте быть любым целым числом, большим или равным трем. Предположим, что единичная окружность окружена кольцом внутренне непересекающихся окружностей, все касательные к ней, с последовательными окружностями в кольце, касающимися друг друга. Тогда минимальный радиус любого круга в кольце не меньше единицы.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {F_ {2n-3} -1}}}$

где это е число Фибоначчи . ${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle i}$

Последовательность минимальных радиусов, начиная с , начинается ${\ displaystyle n = 3}$

${\ displaystyle 1, {\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {12}}, {\ frac {1} {33}}, {\ frac {1} {88}}, { \ frac {1} {232}}, \ dots}$

и знаменатели в этой последовательности даны как OEIS :  A027941 .

Известны также обобщения на трехмерное пространство.

Строительство

Можно построить бесконечную последовательность окружностей, каждая из которых содержит кольца , точно удовлетворяющие оценке леммы о кольцах, показывающей, что она плотная. Эта конструкция позволяет рассматривать полуплоскости как вырожденные окружности бесконечного радиуса и включает дополнительные касания между окружностями помимо тех, которые требуются в формулировке леммы. Он начинается с размещения единичного круга между двумя параллельными полуплоскостями; в геометрии окружностей они считаются касательными друг к другу в бесконечно удаленной точке . Каждая последующая окружность после этих первых двух касается центральной единичной окружности и двух последних добавленных окружностей; см. рисунок для первых шести кругов (включая две полуплоскости), построенных таким образом. Первые круги этой конструкции образуют кольцо, минимальный радиус которого может быть вычислен по теореме Декарта и совпадать с радиусом, указанным в лемме о кольце. Эта конструкция может быть преобразована в кольцо конечных окружностей без дополнительных касаний, минимальный радиус которого сколь угодно близок к этой границе. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

История

Версия леммы о кольце с более слабой оценкой была впервые доказана Бертоном Родином и Деннисом Салливаном в рамках их доказательства гипотезы Уильяма Терстона о том, что упаковки кругов можно использовать для аппроксимации конформных отображений . Лоуэлл Хансен дал рекуррентное соотношение для максимально точной нижней границы, а Дов Ааронов нашел выражение в замкнутой форме для той же границы.

Приложения

Помимо своего первоначального приложения к конформному отображению, теорема об упаковке окружностей и лемма о кольцах играют ключевую роль в доказательстве Кесегом, Пахом и Палвёльджи того, что плоские графы ограниченной степени могут быть построены с ограниченным числом наклона .

использованная литература