Кольцо Бэра - Baer ring

В абстрактной алгебре и функциональном анализе , Бэра колец , Baer * -кольцами , риккартовы кольца , риккартовы * -кольцами и AW * -алгебр различные попытки дать алгебраический аналог алгебры фон Неймана , используя аксиомы о аннигиляторов различных множеств.

Любая алгебра фон Неймана является * -кольцом Бэра, и большая часть теории проекций в алгебрах фон Неймана может быть распространена на все * -кольца Бэра. Например, * -кольца Бэра можно разделить на типы I, II и III. так же, как алгебры фон Неймана.

В литературе левые кольца Рикарта также называются левыми PP-кольцами . («Принципал подразумевает проективный»: см. Определения ниже.)

Определения

• Идемпотент кольца является элементом е , которое обладает свойством , что по электронной ² = е .
• Левые аннуляторное множество является${\ Displaystyle X \ substeq R}$${\ Displaystyle \ {г \ в р \ мид рХ = \ {0 \} \}}$
• (Слева) риккартовое кольцо представляет собой кольцо , удовлетворяющее любые из следующих условий:

1. левый аннулятор любого отдельного элемента в R порождается (как левый идеал) идемпотентным элементом.
2. (Для унитальных колец) левый аннулятор любого элемента является прямым слагаемым R .
3. Все главные левые идеалы (идеалы вида Rx ) являются проективными R- модулями.

• Baer кольцо имеет следующие определения:

1. Левый аннигилятор любого подмножества R порождается (как левый идеал) идемпотентным элементом.
2. (Для унитальных колец) Левый аннулятор любого подмножества R является прямым слагаемым R . Для колец с единицей замена всех вхождений «left» на «right» дает эквивалентное определение, то есть определение симметрично слева и справа.

В теории операторов определения немного усиливаются, требуя, чтобы кольцо R имело инволюцию . Поскольку это делает R изоморфным своему противоположному кольцу R ^op , определение Rickart * -кольца симметрично слева и справа. ${\ displaystyle *: R \ rightarrow R}$

• Проекция в * -кольце является идемпотентным р т самосопряженный ( р * = р ).
• Риккартовый * -кольцо является * -кольцом таким образом, что левый аннулятор любого элемента генерируются (как левый идеал) проекцией.
• Бэра * -кольцо является * -кольцом таким образом, что левый аннулятор любого подмножества порождаются (как левый идеал) проекцией.
• AW * -алгебра , введенный Капланским (1951) , является С * -алгеброй , который также является Бэр * -кольцо.

Примеры

• Поскольку главные левые идеалы наследственного слева кольца или полунаследственного слева кольца проективны, ясно, что оба типа являются кольцами Рикарта слева. Сюда входят регулярные кольца фон Неймана , которые являются полунаследственными слева и справа. Если фон Нейман регулярного кольцо R также вправо или влево сам инъективен , то R является Baer.
• Любое полупростое кольцо является бэровским, поскольку все левые и правые идеалы являются слагаемыми в R , включая аннуляторы.
• Любой домен является Baer, поскольку все уничтожители являются для аннулятора 0, что , кроме R , и оба , и R являются слагаемыми R .${\ displaystyle \ {0 \}}$${\ displaystyle \ {0 \}}$
• Кольцо ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве является кольцом Бэра, а также бэровским * -кольцом с инволюцией *, задаваемой сопряженным.
• Алгебры фон Неймана являются примерами всех перечисленных выше типов колец.

Свойства

Проекции в * -кольце Рикарта образуют решетку , которая является полной, если кольцо является * -кольцом Бэра.

Смотрите также

• Баер * -полугруппа

Ноты

Ссылки

• Баер, Рейнхольд (1952), Линейная алгебра и проективная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-486-44565-6, Руководство по ремонту  0052795
• Бербериан, Стерлинг К. (1972), Baer * -rings , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 195 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05751-2, Руководство по ремонту  0429975
• Капланские, Ирвинг (1951), "Проекция в банаховых алгебр", Анналы математики , вторая серия 53 (2): 235-249, DOI : 10,2307 / 1969540 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969540 , МР  0042067
• Каплански, И. (1968), Кольца операторов , Нью-Йорк: WA Benjamin, Inc.
• Риккартовыми, CE (1946), "Банаховы алгебры с операцией присоединенного", Анналы математики , второй серии 47 (3): 528-550, DOI : 10,2307 / 1969091 , JSTOR  1969091 , МР  0017474
• Л.А. Скорняков (2001) [1994], "Регулярное кольцо (в смысле фон Неймана)" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Л.А. Скорняков (2001) [1994], "Кольцо Рикарта" , Энциклопедия математики , EMS Press
• JDM Wright (2001) [1994], "AW * algebra" , Энциклопедия математики , EMS Press