Распределение соотношения - Ratio distribution

Распределение отношения (также известное как распределение фактора ) представляет собой распределение вероятностей строятся как распределение коэффициента от случайных величин , имеющих два других известных распределений. Учитывая две (обычно независимые ) случайные величины X и Y , распределение случайной величины Z , которое формируется как отношение Z = X / Y, является распределением отношения .

Примером может служить распределение Коши (также называемое распределением нормального отношения ), которое представляет собой отношение двух нормально распределенных переменных с нулевым средним. Два других распределения, часто используемых в тестовой статистике, также являются распределениями соотношений: t- распределение возникает из гауссовой случайной величины, деленной на независимую случайную величину с распределением хи , в то время как F- распределение происходит из отношения двух независимых распределенных хи-квадрат. случайные переменные. В литературе рассматривались более общие распределения соотношений.

Часто распределения соотношений имеют « тяжелый хвост» , и может быть трудно работать с такими распределениями и разработать соответствующий статистический тест . Метод, основанный на медиане , был предложен в качестве «временного решения».

Алгебра случайных величин

Отношение один типа алгебры для случайных величин: относящийся к распределению соотношений является распределением продукта , распределение суммы и распределение разности . В более общем смысле можно говорить о комбинациях сумм, разностей, произведений и соотношений. Многие из этих распределений описаны в книге Мелвина Д. Спрингера 1979 года «Алгебра случайных величин» .

Алгебраические правила, известные для обычных чисел, не применимы к алгебре случайных величин. Например, если продукт C = AB и соотношение D = C / A, это не обязательно означает, что распределения D и B одинаковы. Действительно, для распределения Коши наблюдается особый эффект : произведение и отношение двух независимых распределений Коши (с одним и тем же параметром масштаба и параметром местоположения, установленным на ноль) дадут одно и то же распределение. Это становится очевидным , когда в отношении распределения Коши как само по себе распределение отношение двух гауссовых распределений нулевых средств: Рассмотрим две случайные величины Коши, и каждый построен из двух гауссовых распределений и затем ${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle C_ {2}}$${\ Displaystyle C_ {1} = G_ {1} / G_ {2}}$${\ displaystyle C_ {2} = G_ {3} / G_ {4}}$

${\ displaystyle {\ frac {C_ {1}} {C_ {2}}} = {\ frac {{G_ {1}} / {G_ {2}}} {{G_ {3}} / {G_ {4) }}}} = {\ frac {G_ {1} G_ {4}} {G_ {2} G_ {3}}} = {\ frac {G_ {1}} {G_ {2}}} \ times {\ гидроразрыв {G_ {4}} {G_ {3}}} = C_ {1} \ times C_ {3},}$

где . Первый член - это отношение двух распределений Коши, а последний член - произведение двух таких распределений. ${\ Displaystyle C_ {3} = G_ {4} / G_ {3}}$

Вывод

Способ получения отношения распределения из совместного распределения двух других случайных величин X, Y с совместным pdf заключается в интегрировании следующей формы ${\ Displaystyle Z = X / Y}$${\ displaystyle p_ {X, Y} (x, y)}$

${\ displaystyle p_ {Z} (z) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | y | \, p_ {X, Y} (zy, y) \, dy.}$

Если две переменные независимы, тогда это становится ${\ Displaystyle p_ {XY} (x, y) = p_ {X} (x) p_ {Y} (y)}$

${\ displaystyle p_ {Z} (z) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | y | \, p_ {X} (zy) p_ {Y} (y) \, dy.}$

Это может быть непросто. В качестве примера возьмем классическую задачу о соотношении двух стандартных гауссовских отсчетов. Совместный PDF-файл

${\ displaystyle p_ {X, Y} (x, y) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ exp (- {\ frac {x ^ {2}} {2}}) \ exp (- {\ frac {y ^ {2}} {2}})}$

Определяя, у нас есть ${\ Displaystyle Z = X / Y}$

${\ displaystyle p_ {Z} (z) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | y | \, \ exp (- {\ frac {(zy) ^ {2}} {2}}) \, \ exp (- {\ frac {y ^ {2}} {2}}) \, dy}$

${\ displaystyle \; \; \; \; = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | y | \, \ exp (- {\ гидроразрыв {y ^ {2} (z ^ {2} +1)} {2}}) \, dy}$

Используя известный определенный интеграл, получаем ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \, x \, \ exp (-cx ^ {2}) dx = {\ frac {1} {2c}}}$

${\ displaystyle p_ {Z} (z) = {\ frac {1} {\ pi (z ^ {2} +1)}}}$

что распределение Коши, или Стьюдента т распределение с п = 1 ,

Преобразование Меллина также было предложено для вывода распределений отношений.

В случае положительных независимых переменных действуйте следующим образом. На диаграмме показано разделимое двумерное распределение, которое имеет поддержку в положительном квадранте, и мы хотим найти pdf отношения . Заштрихованный объем над линией представляет совокупное распределение функции, умноженное на логическую функцию . Плотность сначала интегрируется в горизонтальные полосы; горизонтальная полоса на высоте y простирается от x = 0 до x = Ry и имеет возрастающую вероятность . Во- вторых, интегрировать горизонтальные полосы вверх по всем у дает объем вероятности выше линии ${\ Displaystyle f_ {x, y} (x, y) = f_ {x} (x) f_ {y} (y)}$${\ displaystyle x, y> 0}$${\ Displaystyle R = X / Y}$${\ Displaystyle у = х / R}$${\ displaystyle f_ {x, y} (x, y)}$${\ Displaystyle X / Y \ leq R}$${\ displaystyle f_ {y} (y) dy \ int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dx}$

${\ Displaystyle F_ {R} (R) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {y} (y) \ left (\ int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dx \ right) dy}$

Наконец, дифференцируйте, чтобы получить pdf . ${\ displaystyle F_ {R} (R) {\ text {wrt. }}Р}$${\ displaystyle f_ {R} (R)}$

${\ displaystyle f_ {R} (R) = {\ frac {d} {dR}} \ left [\ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {y} (y) \ left (\ int _ {0 } ^ {Ry} f_ {x} (x) dx \ right) dy \ right]}$

Перенесем дифференцирование внутрь интеграла:

${\ displaystyle f_ {R} (R) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {y} (y) \ left ({\ frac {d} {dR}} \ int _ {0} ^ { Ry} f_ {x} (x) dx \ right) dy}$

и с тех пор

${\ displaystyle {\ frac {d} {dR}} \ int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dx = yf_ {x} (Ry)}$

тогда

${\ Displaystyle f_ {R} (R) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {y} (y) \; f_ {x} (Ry) \; y \; dy}$

В качестве примера найдите pdf отношения R, когда

${\ displaystyle f_ {x} (x) = \ alpha e ^ {- \ alpha x}, \; \; \; \; f_ {y} (y) = \ beta e ^ {- \ beta y}, \ ; \; \; х, у \ geq 0}$

У нас есть

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {Ry} f_ {x} (x) dx = -e ^ {- \ alpha x} \ vert _ {0} ^ {Ry} = 1-e ^ {- \ alpha Ry}}$

таким образом

${\ displaystyle {\ begin {align} F_ {R} (R) & = \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {y} (y) \ left (1-e ^ {- \ alpha Ry} \ справа) dy = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ beta e ^ {- \ beta y} \ left (1-e ^ {- \ alpha Ry} \ right) dy \\ & = 1 - {\ frac {\ alpha R} {\ beta + \ alpha R}} \\ & = {\ frac {R} {{\ tfrac {\ beta} {\ alpha}} + R}} \ end {выравнивается}}}$

Дифференциация относительно R дает pdf для R

${\ displaystyle f_ {R} (R) = {\ frac {d} {dR}} \ left ({\ frac {R} {{\ tfrac {\ beta} {\ alpha}} + R}} \ right) = {\ frac {\ tfrac {\ beta} {\ alpha}} {\ left ({\ tfrac {\ beta} {\ alpha}} + R \ right) ^ {2}}}}$

Моменты случайных соотношений

Из Меллина теории, для распределения существующего только на положительной полуоси , мы имеем тождественный продукт при условии , являются независимыми. В случае отношения таких выборок , чтобы использовать это тождество, необходимо использовать моменты обратного распределения. Установите такой, что . Таким образом, если моменты и можно определить отдельно, то можно найти моменты . Моменты определяются из обратного PDF-файла , часто выполняемого упражнения. В простейшем случае . ${\ Displaystyle х \ geq 0}$${\ displaystyle \ operatorname {E} [(UV) ^ {p}] = \ operatorname {E} [U ^ {p}] \; \; \ operatorname {E} [V ^ {p}]}$${\ Displaystyle U, \; V}$${\ Displaystyle \ OperatorName {E} [(X / Y) ^ {p}]}$${\ displaystyle 1 / Y = Z}$${\ displaystyle \ operatorname {E} [(XZ) ^ {p}] = \ operatorname {E} [X ^ {p}] \; \ operatorname {E} [Y ^ {- p}]}$${\ displaystyle X ^ {p}}$${\ displaystyle Y ^ {- p}}$${\ Displaystyle X / Y}$${\ displaystyle Y ^ {- p}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ operatorname {E} [Y ^ {- p}] = \ int _ {0} ^ {\ infty} y ^ {- p} f_ {y} (y) \, dy}$

Для иллюстрации позвольте взять образец из стандартного гамма-распределения. ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle х ^ {\ альфа -1} е ^ {- х} / \ Гамма (\ альфа)}$чей момент .${\ displaystyle p ^ {th}}$${\ Displaystyle \ Гамма (\ альфа + р) / \ Гамма (\ альфа)}$

${\ Displaystyle Z = Y ^ {- 1}}$выбирается из обратного гамма-распределения с параметром и имеет формат PDF . Моменты этого pdf ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \; \ Gamma ^ {- 1} (\ beta) z ^ {1+ \ beta} e ^ {- 1 / z}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [Z ^ {p}] = \ operatorname {E} [Y ^ {- p}] = {\ frac {\ Gamma (\ beta -p)} {\ Gamma (\ beta) }}, \; p <\ beta.}$

Умножение соответствующих моментов дает

${\ displaystyle \ operatorname {E} [(X / Y) ^ {p}] = \ operatorname {E} [X ^ {p}] \; \ operatorname {E} [Y ^ {- p}] = {\ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)}} {\ frac {\ Gamma (\ beta -p)} {\ Gamma (\ beta)}}, \; p <\ beta. }$

Независимо, известно, что соотношение двух выборок гаммы соответствует распределению Beta Prime: ${\ Displaystyle R = X / Y}$

${\ Displaystyle е _ {\ бета '} (г, \ альфа, \ бета) = В (\ альфа, \ бета) ^ {- 1} г ^ {\ альфа -1} (1 + г) ^ {- (\ альфа + \ бета)}}$ чьи моменты ${\ displaystyle \ operatorname {E} [R ^ {p}] = {\ frac {\ mathrm {B} (\ alpha + p, \ beta -p)} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta) }}}$

Мы имеем замену , которая согласуется с результатом моментов выше. ${\ Displaystyle \ mathrm {B} (\ альфа, \ бета) = {\ гидроразрыва {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)} {\ Gamma (\ alpha + \ beta)}}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {E} [R ^ {p}] = {\ frac {\ Gamma (\ alpha + p) \ Gamma (\ beta -p)} {\ Gamma (\ alpha + \ beta)}} { \ Bigg /} {\ frac {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)} {\ Gamma (\ alpha + \ beta)}} = {\ frac {\ Gamma (\ alpha + p) \ Gamma (\ beta -p)} {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)}}}$

Средние и дисперсии случайных соотношений

В разделе « Распределение продукта », выведенном из теории преобразования Меллина (см. Раздел выше), обнаружено, что среднее значение произведения независимых переменных равно произведению их средних значений. В случае отношений имеем

${\ Displaystyle \ OperatorName {E} (X / Y) = \ OperatorName {E} (X) \ OperatorName {E} (1 / Y)}$

что в терминах вероятностных распределений эквивалентно

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X / Y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf_ {x} (x) \, dx \ times \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y ^ {- 1} f_ {y} (y) \, dy}$

Обратите внимание, что ${\ displaystyle \ operatorname {E} (1 / Y) \ neq {\ frac {1} {\ operatorname {E} (Y)}} {\ text {т.е. }} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y ^ {- 1} f_ {y} (y) \, dy \ neq {\ frac {1} {\ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} yf_ {y} (y) \, dy}}}$

Дисперсия отношения независимых переменных равна

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Var} (X / Y) & = \ operatorname {E} ([X / Y] ^ {2}) - \ operatorname {E ^ {2}} (X / Y) \\ & = \ operatorname {E} (X ^ {2}) \ operatorname {E} (1 / Y ^ {2}) - \ operatorname {E} ^ {2} (X) \ operatorname {E} ^ {2} (1 / Y) \ конец {выровнено}}}$

Распределения нормального отношения

Некоррелированное центральное нормальное соотношение

Когда X и Y независимы и имеют гауссово распределение с нулевым средним, форма их распределения отношения является распределением Коши . Это можно получить, установив, а затем показывая, что имеет круговую симметрию. Для двумерного некоррелированного гауссовского распределения имеем ${\ Displaystyle Z = X / Y = \ загар \ тета}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} p (x, y) & = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ tfrac {1} {2}} x ^ { 2}} \ times {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ tfrac {1} {2}} y ^ {2}} \\ & = {\ tfrac {1 } {2 \ pi}} e ^ {- {\ tfrac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2})} \\ & = {\ tfrac {1} {2 \ pi} } e ^ {- {\ tfrac {1} {2}} r ^ {2}} {\ text {with}} r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} \ end {выровнено} }}$

Если является функцией только r, то равномерно распределена на, поэтому задача сводится к нахождению распределения вероятностей Z при отображении ${\ Displaystyle р (х, у)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle [0,2 \ pi] {\ text {с плотностью}} 1/2 \ pi}$

${\ Displaystyle Z = X / Y = \ загар \ тета}$

По сохранению вероятности имеем

${\ displaystyle p_ {z} (z) | dz | = p _ {\ theta} (\ theta) | d \ theta |}$

и с тех пор ${\ Displaystyle дз / д \ тета = 1 / \ соз ^ {2} \ тета}$

${\ displaystyle p_ {z} (z) = {\ frac {p _ {\ theta} (\ theta)} {| dz / d \ theta |}} = {\ tfrac {1} {2 \ pi}} {\ cos ^ {2} \ theta}}$

и установив получаем ${\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta = {\ frac {1} {1 + (\ tan \ theta) ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 + z ^ {2}}} }$

${\ displaystyle p_ {z} (z) = {\ frac {1/2 \ pi} {1 + z ^ {2}}}}$

Здесь есть ложный коэффициент 2. Фактически, два значения карты совпадают с одним и тем же значением z , плотность удваивается, и конечный результат ${\ displaystyle \ theta {\ text {через интервал}} \ pi}$

${\ displaystyle p_ {z} (z) = {\ frac {1 / \ pi} {1 + z ^ {2}}}, \; \; - \ infty <z <\ infty}$

Когда любое из двух нормальных распределений не является центральным, тогда результат распределения отношения намного сложнее и приводится ниже в сжатой форме, представленной Дэвидом Хинкли . Однако тригонометрический метод для отношения распространяется на радиальные распределения, такие как двумерные нормали или двумерное значение Стьюдента t, в котором плотность зависит только от радиуса . Он не распространяется на отношение двух независимых t- распределений Стьюдента, которые дают отношение Коши, показанное в разделе ниже для одной степени свободы. ${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

Некоррелированное нецентральное нормальное соотношение

В отсутствие корреляции , то функция плотности вероятности двух нормальных величин Х = N ( μ _X , σ _Х ² ) и Y = N ( μ _Y , σ _Y ² ) соотношение Z = X / Y дается в точности следующих выражение, полученное из нескольких источников: ${\ displaystyle ({\ text {cor}} (X, Y) = 0)}$

${\ Displaystyle p_ {Z} (z) = {\ frac {b (z) \ cdot d (z)} {a ^ {3} (z)}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {x} \ sigma _ {y}}} \ left [\ Phi \ left ({\ frac {b (z)} {a (z)}} \ right) - \ Phi \ left ( - {\ frac {b (z)} {a (z)}} \ right) \ right] + {\ frac {1} {a ^ {2} (z) \ cdot \ pi \ sigma _ {x} \ сигма _ {y}}} e ^ {- {\ frac {c} {2}}}}$

куда

${\ displaystyle a (z) = {\ sqrt {{\ frac {1} {\ sigma _ {x} ^ {2}}} z ^ {2} + {\ frac {1} {\ sigma _ {y} ^ {2}}}}}}$

${\ displaystyle b (z) = {\ frac {\ mu _ {x}} {\ sigma _ {x} ^ {2}}} z + {\ frac {\ mu _ {y}} {\ sigma _ {y } ^ {2}}}}$

${\ displaystyle c = {\ frac {\ mu _ {x} ^ {2}} {\ sigma _ {x} ^ {2}}} + {\ frac {\ mu _ {y} ^ {2}} { \ sigma _ {y} ^ {2}}}}$

${\ displaystyle d (z) = e ^ {\ frac {b ^ {2} (z) -ca ^ {2} (z)} {2a ^ {2} (z)}}}$

и - нормальная кумулятивная функция распределения : ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ displaystyle \ Phi (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} \, {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {1} { 2}} и ^ {2}} \ дю \}$.

При определенных условиях возможно нормальное приближение с вариацией:

${\ displaystyle \ sigma _ {z} ^ {2} = {\ frac {\ mu _ {x} ^ {2}} {\ mu _ {y} ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ sigma _ {x} ^ {2}} {\ mu _ {x} ^ {2}}} + {\ frac {\ sigma _ {y} ^ {2}} {\ mu _ {y} ^ {2} }}\Правильно)}$

Коррелированное центральное нормальное соотношение

Вышеупомянутое выражение становится более сложным, когда переменные X и Y коррелируют. Если и получено более общее распределение Коши ${\ displaystyle \ mu _ {x} = \ mu _ {y} = 0 {\ text {but}} \ sigma _ {X} \ neq \ sigma _ {Y}}$${\ displaystyle \ rho \ neq 0}$

${\ displaystyle p_ {Z} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {\ beta} {(z- \ alpha) ^ {2} + \ beta ^ {2}}}, }$

где ρ - коэффициент корреляции между X и Y и

${\ displaystyle \ alpha = \ rho {\ frac {\ sigma _ {x}} {\ sigma _ {y}}},}$

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ sigma _ {x}} {\ sigma _ {y}}} {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}}.}$

Сложное распределение также было выражено конфлюэнтной гипергеометрической функцией Куммера или функцией Эрмита .

Коррелированное нецентральное нормальное соотношение

Приближение к коррелированному нецентральному нормальному отношению

Преобразование в лог-домен было предложено Кацем (1978) (см. Биномиальный раздел ниже). Пусть отношение будет

${\ displaystyle T \ sim {\ frac {\ mu _ {x} + \ mathbb {N} (0, \ sigma _ {x} ^ {2})} {\ mu _ {y} + \ mathbb {N} (0, \ sigma _ {y} ^ {2})}} = {\ frac {\ mu _ {x} + X} {\ mu _ {y} + Y}} = {\ frac {\ mu _ { x}} {\ mu _ {y}}} {\ frac {1 + {\ frac {X} {\ mu _ {x}}}} {1 + {\ frac {Y} {\ mu _ {y} }}}}}$.

Возьмите журналы, чтобы получить

${\ displaystyle \ log _ {e} (T) = \ log _ {e} \ left ({\ frac {\ mu _ {x}} {\ mu _ {y}}} \ right) + \ log _ { e} \ left (1 + {\ frac {X} {\ mu _ {x}}} \ right) - \ log _ {e} \ left (1 + {\ frac {Y} {\ mu _ {y} }}\Правильно)}$.

С тех пор асимптотически ${\ displaystyle \ log _ {e} (1+ \ delta) = \ delta - {\ frac {\ delta ^ {2}} {2}} + {\ frac {\ delta ^ {3}} {3}} + \ точки}$

${\ displaystyle \ log _ {e} (T) \ приблизительно \ log _ {e} \ left ({\ frac {\ mu _ {x}} {\ mu _ {y}}} \ right) + {\ frac {X} {\ mu _ {x}}} - {\ frac {Y} {\ mu _ {y}}} \ sim \ log _ {e} \ left ({\ frac {\ mu _ {x}} {\ mu _ {y}}} \ right) + \ mathbb {N} \ left (0, {\ frac {\ sigma _ {x} ^ {2}} {\ mu _ {x} ^ {2}} } + {\ frac {\ sigma _ {y} ^ {2}} {\ mu _ {y} ^ {2}}} \ right)}$.

В качестве альтернативы Гири (1930) предположил, что

${\ Displaystyle т \ приблизительно {\ гидроразрыва {\ му _ {у} T- \ mu _ {x}} {\ sqrt {\ sigma _ {y} ^ {2} T ^ {2} -2 \ rho \ sigma _ {x} \ sigma _ {y} T + \ sigma _ {x} ^ {2}}}}}$

имеет приблизительно стандартное гауссово распределение : это преобразование было названо преобразованием Гири – Хинкли ; аппроксимация хороша, если Y в принципе не принимает отрицательные значения . ${\ displaystyle \ mu _ {y}> 3 \ sigma _ {y}}$

Точное коррелированное нецентральное нормальное соотношение

Гири показал, как коррелированное отношение может быть преобразовано в форму, близкую к гауссовой, и разработал приближение для зависимости от вероятности того, что отрицательные значения знаменателя будут исчезающе малыми. Более поздний анализ коррелированных соотношений Филлера является точным, но при использовании с современными математическими пакетами необходимо соблюдать осторожность, и аналогичные проблемы могут возникнуть в некоторых уравнениях Марсальи. Фам-Гиа исчерпывающе обсудил эти методы. Коррелированные результаты Хинкли точны, но ниже показано, что условие коррелированного отношения может быть просто преобразовано в некоррелированное условие, поэтому требуются только упрощенные уравнения Хинкли, приведенные выше, а не полная версия коррелированного отношения. ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle х + \ му _ {х} <0}$

Пусть соотношение будет:

${\ displaystyle z = {\ frac {x + \ mu _ {x}} {y + \ mu _ {y}}}}$

в которых коррелированные нормальные переменные с нулевым средним и дисперсиями имеют такие средства записи , которые становятся некоррелированными и имеют стандартное отклонение ${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2}, \ sigma _ {y} ^ {2}}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle \ mu _ {x}, \ mu _ {y}.}$${\ displaystyle x '= x- \ rho y \ sigma _ {x} / \ sigma _ {y}}$${\ displaystyle x ', y}$${\ displaystyle x '}$

${\ displaystyle \ sigma _ {x} '= \ sigma _ {x} {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}}.}$

Соотношение:

${\ displaystyle z = {\ frac {x '+ \ rho y \ sigma _ {x} / \ sigma _ {y} + \ mu _ {x}} {y + \ mu _ {y}}}}$

инвариантен относительно этого преобразования и сохраняет тот же PDF-файл. Член в числителе производится разъемным путем расширения: ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {x '+ \ rho y \ sigma _ {x} / \ sigma _ {y} + \ mu _ {x}} = x' + \ mu _ {x} - \ rho \ mu _ {y} {\ frac {\ sigma _ {x}} {\ sigma _ {y}}} + \ rho (y + \ mu _ {y}) {\ frac {\ sigma _ {x}} {\ sigma _ {y} }}}$

получить

${\ displaystyle z = {\ frac {x '+ \ mu _ {x}'} {y + \ mu _ {y}}} + \ rho {\ frac {\ sigma _ {x}} {\ sigma _ {y }}}}$

в котором и z теперь стало отношением некоррелированных нецентральных нормальных выборок с инвариантным z- смещением. ${\ textstyle \ mu '_ {x} = \ mu _ {x} - \ rho \ mu _ {y} {\ frac {\ sigma _ {x}} {\ sigma _ {y}}}}$

Наконец, чтобы быть точным, pdf отношения для коррелированных переменных находится путем ввода измененных параметров и в приведенное выше уравнение Хинкли, которое возвращает pdf для коррелированного отношения с постоянным смещением на . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ sigma _ {x} ', \ mu _ {x}', \ sigma _ {y}, \ mu _ {y}}$${\ displaystyle \ rho '= 0}$${\ displaystyle - \ rho {\ frac {\ sigma _ {x}} {\ sigma _ {y}}}}$${\ displaystyle z}$

На приведенных выше рисунках показан пример положительно коррелированного отношения, в котором заштрихованные клинья представляют приращение площади, выбранной заданным соотношением, которое накапливает вероятность того, что они перекрывают распределение. Теоретическое распределение, полученное из обсуждаемых уравнений в сочетании с уравнениями Хинкли, хорошо согласуется с результатом моделирования с использованием 5000 выборок. На верхнем рисунке легко понять, что для отношения клин почти полностью обходит массу распределения, и это совпадает с областью, близкой к нулю, в теоретической PDF. И наоборот, чем меньше значение, тем выше вероятность того, что линия приближается к нулю. ${\ displaystyle \ sigma _ {x} = \ sigma _ {y} = 1, \ mu _ {x} = 0, \ mu _ {y} = 0,5, \ rho = 0,975}$${\ Displaystyle х / у \ в [г, г + \ дельта]}$${\ Displaystyle г = х / у = 1}$${\ displaystyle x / y}$

Это преобразование будет признано тем же, что использовалось Гири (1932) в качестве частичного результата в его уравнении viii, но вывод и ограничения которого вряд ли были объяснены. Таким образом , первая часть преобразования Гири к приближенному гауссовости в предыдущем разделе , на самом деле точная и не зависит от положительности Y . Результат смещения также согласуется с коррелированным распределением гауссова отношения «Коши» с нулевым средним в первом разделе. Марсалья применил тот же результат, но использовал нелинейный метод для его достижения.

Комплексное нормальное соотношение

Отношение коррелированных циркулярно-симметричных комплексных нормально распределенных переменных с нулевым средним было определено Baxley et. al. Совместное распределение x, y равно

${\ displaystyle f_ {x, y} (x, y) = {\ frac {1} {\ pi ^ {2} | \ Sigma |}} \ exp {\ Biggr (} - {\ begin {bmatrix} x \ \ y \ end {bmatrix}} ^ {H} \ Sigma ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} {\ Biggr)}}$

куда

${\ displaystyle \ Sigma = {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {x} ^ {2} & \ rho \ sigma _ {x} \ sigma _ {y} \\\ rho ^ {*} \ sigma _ {x } \ sigma _ {y} & \ sigma _ {y} ^ {2} \ end {bmatrix}}, \; \; x = x_ {r} + ix_ {i}, \; \; y = y_ {r } + iy_ {i}}$

${\ Displaystyle (.) ^ {H}}$ является эрмитовым транспонированием и

${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {r} + i \ rho _ {i} = \ operatorname {E} {\ bigg (} {\ frac {xy ^ {*}} {\ sigma _ {x} \ sigma _ {y}}} {\ bigg)} \; \; \ in \; \ left | \ mathbb {C} \ right | \ leq 1}$

PDF-файл оказался ${\ Displaystyle Z = X / Y}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f_ {z} (z_ {r}, z_ {i}) & = {\ frac {1- | \ rho | ^ {2}} {\ pi \ sigma _ {x} ^ {2} \ sigma _ {y} ^ {2}}} {\ Biggr (} {\ frac {| z | ^ {2}} {\ sigma _ {x} ^ {2}}} + {\ frac {1} {\ sigma _ {y} ^ {2}}} - 2 {\ frac {\ rho _ {r} z_ {r} - \ rho _ {i} z_ {i}} {\ sigma _ {x } \ sigma _ {y}}} {\ Biggr)} ^ {- 2} \\ & = {\ frac {1- | \ rho | ^ {2}} {\ pi \ sigma _ {x} ^ {2 } \ sigma _ {y} ^ {2}}} {\ Biggr (} \; \; {\ Biggr |} {\ frac {z} {\ sigma _ {x}}} - {\ frac {\ rho ^ {*}} {\ sigma _ {y}}} {\ Biggr |} ^ {2} + {\ frac {1- | \ rho | ^ {2}} {\ sigma _ {y} ^ {2}} } {\ Biggr)} ^ {- 2} \ end {выровнены}}}$

В обычном случае мы получаем ${\ displaystyle \ sigma _ {x} = \ sigma _ {y}}$

${\ displaystyle f_ {z} (z_ {r}, z_ {i}) = {\ frac {1- | \ rho | ^ {2}} {\ pi \ left (\; \; | z- \ rho ^ {*} | ^ {2} + 1- | \ rho | ^ {2} \ right) ^ {2}}}}$

Также приведены другие результаты в закрытой форме для CDF.

График показывает pdf отношения двух комплексных нормальных переменных с коэффициентом корреляции . Пик pdf возникает примерно при комплексном сопряжении уменьшенного значения . ${\ Displaystyle \ rho = 0,7 \ ехр (я \ пи / 4)}$${\ displaystyle \ rho}$

Равномерное распределение соотношения

С двумя независимыми случайными величинами, которые следуют равномерному распределению , например,

${\ displaystyle p_ {X} (x) = {\ begin {cases} 1 \ qquad 0 <x <1 \\ 0 \ qquad {\ text {else}} \ end {cases}}}$

соотношение распределения становится

${\ displaystyle p_ {Z} (z) = {\ begin {cases} 1/2 \ qquad & 0 <z <1 \\ {\ frac {1} {2z ^ {2}}} \ qquad & z \ geq 1 \ \ 0 \ qquad & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

Распределение отношения Коши

Если две независимые случайные величины, каждая из X и Y подчиняется распределению Коши с медианой, равной нулю, и коэффициентом формы.${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle p_ {X} (x | a) = {\ frac {a} {\ pi (a ^ {2} + x ^ {2})}}}$

тогда распределение отношения для случайной величины будет ${\ Displaystyle Z = X / Y}$

${\ displaystyle p_ {Z} (z | a) = {\ frac {1} {\ pi ^ {2} (z ^ {2} -1)}} \ ln (z ^ {2}).}$

Это распределение не зависит от Springer, и результат, указанный Springer (стр. 158, вопрос 4.6), неверен. Распределение соотношений похоже на распределение произведений случайной величины, но не то же самое : ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle W = XY}$

${\ displaystyle p_ {W} (w | a) = {\ frac {a ^ {2}} {\ pi ^ {2} (w ^ {2} -a ^ {4})}} \ ln \ left ( {\ frac {w ^ {2}} {a ^ {4}}} \ right).}$

В более общем плане, если каждая из двух независимых случайных величин X и Y подчиняется распределению Коши с медианой, равной нулю, и коэффициентом формы и соответственно, то: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

1. Распределение отношения для случайной величины : ${\ Displaystyle Z = X / Y}$

${\ displaystyle p_ {Z} (z | a, b) = {\ frac {ab} {\ pi ^ {2} (b ^ {2} z ^ {2} -a ^ {2})}} \ ln \ left ({\ frac {b ^ {2} z ^ {2}} {a ^ {2}}} \ right).}$

2. Распределение продукта для случайной величины : ${\ displaystyle W = XY}$

${\ displaystyle p_ {W} (w | a, b) = {\ frac {ab} {\ pi ^ {2} (w ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2})}} \ ln \ left ({\ frac {w ^ {2}} {a ^ {2} b ^ {2}}} \ right).}$

Результат для распределения соотношений можно получить из распределения продуктов, заменив на${\ displaystyle b}$${\ displaystyle {\ frac {1} {b}}.}$

Соотношение стандартной нормальной формы к стандартной униформе

Если X имеет стандартное нормальное распределение, а Y имеет стандартное равномерное распределение, то Z  =  X  /  Y имеет распределение, известное как распределение косой черты , с функцией плотности вероятности

${\ displaystyle p_ {Z} (z) = {\ begin {case} \ left [\ varphi (0) - \ varphi (z) \ right] / z ^ {2} \ quad & z \ neq 0 \\\ varphi (0) / 2 \ quad & z = 0, \\\ end {case}}}$

где φ ( z ) - функция плотности вероятности стандартного нормального распределения.

Хи-квадрат, гамма, бета-распределения

Пусть X - нормальное (0,1) распределение, Y и Z - распределения хи-квадрат с m и n степенями свободы соответственно, все независимые, с . потом ${\ displaystyle f _ {\ chi} (x, k) = {\ frac {x ^ {{\ frac {k} {2}} - 1} e ^ {- x / 2}} {2 ^ {k / 2 } \ Gamma (k / 2)}}}$

${\ displaystyle {\ frac {X} {\ sqrt {Y / m}}} ​​\ sim t_ {m}}$ в распределении Стьюдента

${\ displaystyle {\ frac {Y / m} {Z / n}} = F_ {m, n}}$ т.е. распределение F-критерия Фишера

${\ displaystyle {\ frac {Y} {Y + Z}} \ sim \ beta ({\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2}})}$бета - распределение

${\ displaystyle \; \; {\ frac {Y} {Z}} \ sim \ beta '({\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2}})}$бета простое распределение

Если , нецентральная хи-квадрат распределение , а и не зависит от то ${\ Displaystyle V_ {1} \ sim {\ chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} (\ lambda)}$${\ Displaystyle V_ {2} \ sim {\ chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} (0)}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle V_ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {V_ {1} / k_ {1}} {V_ {2} / k_ {2}}} \ sim F '_ {k_ {1}, k_ {2}} (\ lambda)}$, нецентральное F-распределение .

${\ displaystyle {\ frac {m} {n}} F '_ {m, n} = \ beta' ({\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2}}) {\ текст {или}} F '_ {m, n} = \ beta' ({\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2}}, 1, {\ tfrac {n} {m }})}$ определяет , F-распределение плотности Фишера, PDF отношения двух хи-квадратов с m, n степенями свободы. ${\ displaystyle F '_ {m, n}}$

Функция CDF плотности Фишера, найденная в F- таблицах, определена в статье о простом бета-распределении . Если мы введем таблицу F- тестов с m = 3, n = 4 и вероятностью 5% в правом хвосте, критическое значение окажется равным 6,59. Это совпадает с интегралом

${\ Displaystyle F_ {3,4} (6.59) = \ int _ {6.59} ^ {\ infty} \ beta '(x; {\ tfrac {m} {2}}, {\ tfrac {n} {2} }, 1, {\ tfrac {n} {m}}) dx = 0,05}$

Если , где , то ${\ Displaystyle U \ sim \ Gamma (\ alpha _ {1}, 1), V \ sim \ Gamma (\ alpha _ {2}, 1)}$${\ displaystyle \ Gamma (x; \ alpha, 1) = {\ frac {x ^ {\ alpha -1} e ^ {- x}} {\ Gamma (\ alpha)}}}$

${\ displaystyle {\ frac {U} {U + V}} \ sim \ beta (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}), \ qquad {\ text {ожидание}} = {\ frac {\ альфа _ {1}} {\ альфа _ {1} + \ альфа _ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {U} {V}} \ sim \ beta '(\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}), \ qquad \ qquad {\ text {ожидание}} = {\ frac { \ alpha _ {1}} {\ alpha _ {2} -1}}, \; \ alpha _ {2}> 1}$

${\ displaystyle {\ frac {V} {U}} \ sim \ beta '(\ alpha _ {2}, \ alpha _ {1}), \ qquad \ qquad {\ text {ожидание}} = {\ frac { \ alpha _ {2}} {\ alpha _ {1} -1}}, \; \ alpha _ {1}> 1}$

Если тогда${\ Displaystyle U \ sim \ Gamma (х; \ альфа, 1)}$${\ displaystyle \ theta U \ sim \ Gamma (x; \ alpha, \ theta) = {\ frac {x ^ {\ alpha -1} e ^ {- {\ frac {x} {\ theta}}}} { \ theta ^ {k} \ Gamma (\ alpha)}}}$

Если , то, изменяя масштаб параметра до единицы, мы имеем ${\ Displaystyle U \ sim \ Gamma (\ alpha _ {1}, \ theta _ {1}), \; V \ sim \ Gamma (\ alpha _ {2}, \ theta _ {2})}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ frac {\ frac {U} {\ theta _ {1}}} {{\ frac {U} {\ theta _ {1}}} + {\ frac {V} {\ theta _ {2 }}}}} = {\ frac {\ theta _ {2} U} {\ theta _ {2} U + \ theta _ {1} V}} \ sim \ beta (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ frac {U} {\ theta _ {1}}} {\ frac {V} {\ theta _ {2}}}} = {\ frac {\ theta _ {2}} { \ theta _ {1}}} {\ frac {U} {V}} \ sim \ beta '(\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2})}$

таким образом ${\ displaystyle {\ frac {U} {V}} \ sim \ beta '(\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, 1, {\ frac {\ theta _ {1}} {\ theta _ {2}}}) \ quad {\ text {and}} \ operatorname {E} \ left [{\ frac {U} {V}} \ right] = {\ frac {\ theta _ {1}} {\ тета _ {2}}} {\ frac {\ alpha _ {1}} {\ alpha _ {2} -1}}}$

т.е. если тогда${\ displaystyle X \ sim \ beta '(\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, 1,1)}$${\ displaystyle \ theta X \ sim \ beta '(\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, 1, \ theta)}$

Более конкретно, поскольку

${\ displaystyle \ beta '(x; \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, 1, R) = {\ frac {1} {R}} \ beta' ({\ frac {x} {R }}; \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2})}$

если тогда ${\ Displaystyle U \ sim \ Gamma (\ alpha _ {1}, \ theta _ {1}), V \ sim \ Gamma (\ alpha _ {2}, \ theta _ {2})}$

${\ displaystyle {\ frac {U} {V}} \ sim {\ frac {1} {R}} \ beta '({\ frac {x} {R}}; \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}) = {\ frac {\ left ({\ frac {x} {R}} \ right) ^ {\ alpha _ {1} -1}} {\ left (1 + {\ frac {x} { R}} \ right) ^ {\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2}}}} \ cdot {\ frac {1} {\; R \; B (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2})}}, \; \; x \ geq 0}$

куда

${\ displaystyle R = {\ frac {\ theta _ {1}} {\ theta _ {2}}}, \; \; \; B (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}) = { \ frac {\ Gamma (\ alpha _ {1}) \ Gamma (\ alpha _ {2})} {\ Gamma (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2})}}}$

Распределения Рэлея

Если X, Y являются независимыми выборками из распределения Рэлея , отношение Z = X / Y следует распределению ${\ displaystyle f_ {r} (r) = re ^ {- r ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2}}, \; \; r \ geq 0}$

${\ displaystyle f_ {z} (z) = {\ frac {2z} {(1 + z ^ {2}) ^ {2}}}, \; \; z \ geq 0}$

и имеет cdf

${\ displaystyle F_ {z} (z) = 1 - {\ frac {1} {1 + z ^ {2}}} = {\ frac {z ^ {2}} {1 + z ^ {2}}} , \; \; \; z \ geq 0}$

Единственным параметром распределения Рэлея является масштабирование. Распределение следующих ${\ Displaystyle Z = \ альфа X / Y}$

${\ displaystyle f_ {z} (z, \ alpha) = {\ frac {2 \ alpha z} {(\ alpha + z ^ {2}) ^ {2}}}, \; \; z> 0}$

и имеет cdf

${\ Displaystyle F_ {z} (z, \ альфа) = {\ гидроразрыва {z ^ {2}} {\ alpha + z ^ {2}}}, \; \; \; z \ geq 0}$

Дробное гамма-распределение (включая хи, хи-квадрат, экспоненциальное, Рэлея и Вейбулла)

Обобщенная гамма - распределение является

${\ displaystyle f (x; a, d, r) = {\ frac {r} {\ Gamma (d / r) a ^ {d}}} x ^ {d-1} e ^ {- (x / a ) ^ {r}} \; x \ geq 0; \; \; a, \; d, \; r> 0}$

который включает в себя регулярную гамму, хи, хи-квадрат, экспоненциальное распределение, распределения Рэлея, Накагами и Вейбулла с использованием дробных степеней.

Если ${\ Displaystyle U \ sim f (x; a_ {1}, d_ {1}, r), \; \; V \ sim f (x; a_ {2}, d_ {2}, r) {\ text { независимы, и}} W = U / V}$

тогда ${\ textstyle g (w) = {\ frac {r \ left ({\ frac {a_ {1}} {a_ {2}}} \ right) ^ {d_ {2}}} {B \ left ({\ frac {d_ {1}} {r}}, {\ frac {d_ {2}} {r}} \ right)}} {\ frac {w ^ {- d_ {2} -1}} {\ left ( 1+ \ left ({\ frac {a_ {2}} {a_ {1}}} \ right) ^ {- r} w ^ {- r} \ right) ^ {\ frac {d_ {1} + d_ { 2}} {r}}}}, \; \; w> 0}$

куда ${\ Displaystyle В (u, v) = {\ гидроразрыва {\ Gamma (u) \ Gamma (v)} {\ Gamma (u + v)}}}$

Моделирование смеси различных масштабных коэффициентов

В приведенных выше соотношениях гамма-выборки, U , V могут иметь разные размеры выборки, но должны быть взяты из одного и того же распределения с одинаковым масштабированием . ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}}$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ alpha -1} e ^ {- {\ frac {x} {\ theta}}}} {\ theta ^ {k} \ Gamma (\ alpha)}}}$${\ displaystyle \ theta}$

В ситуациях, когда U и V масштабируются по-разному, преобразование переменных позволяет определить модифицированный pdf случайного отношения. Пусть где произвольно и, сверху . ${\ displaystyle X = {\ frac {U} {U + V}} = {\ frac {1} {1 + B}}}$${\ Displaystyle U \ sim \ Gamma (\ alpha _ {1}, \ theta), V \ sim \ Gamma (\ alpha _ {2}, \ theta), \ theta}$${\ displaystyle X \ sim Beta (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}), B = V / U \ sim Beta '(\ alpha _ {2}, \ alpha _ {1})}$

Произвольно масштабируйте V , определяя${\ displaystyle Y \ sim {\ frac {U} {U + \ varphi V}} = {\ frac {1} {1+ \ varphi B}}, \; \; 0 \ leq \ varphi \ leq \ infty}$

Имеем и подстановка в Y дает${\ Displaystyle B = {\ гидроразрыва {1-X} {X}}}$${\ Displaystyle Y = {\ гидроразрыва {X} {\ varphi + (1- \ varphi) X}}, dY / dX = {\ frac {\ varphi} {(\ varphi + (1- \ varphi) X) ^ {2}}}}$

Преобразование X в Y дает${\ Displaystyle f_ {Y} (Y) = {\ frac {f_ {X} (X)} {| dY / dX |}} = {\ frac {\ beta (X, \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2})} {\ varphi / [\ varphi + (1- \ varphi) X] ^ {2}}}}$

Отмечая, что мы, наконец, имеем ${\ Displaystyle X = {\ гидроразрыва {\ varphi Y} {1- (1- \ varphi) Y}}}$

${\ displaystyle f_ {Y} (Y, \ varphi) = {\ frac {\ varphi} {[1- (1- \ varphi) Y] ^ {2}}} \ beta \ left ({\ frac {\ varphi Y} {1- (1- \ varphi) Y}}, \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2} \ right), \; \; \; 0 \ leq Y \ leq 1}$

Таким образом, если и затем распределяется как с${\ Displaystyle U \ sim \ Gamma (\ alpha _ {1}, \ theta _ {1})}$${\ Displaystyle V \ sim \ Gamma (\ alpha _ {2}, \ theta _ {2})}$
${\ Displaystyle Y = {\ гидроразрыва {U} {U + V}}}$${\ displaystyle f_ {Y} (Y, \ varphi)}$${\ Displaystyle \ varphi = {\ гидроразрыва {\ theta _ {2}} {\ theta _ {1}}}}$

Распределение Y ограничено здесь интервалом [0,1]. Его можно обобщить путем масштабирования так, что если тогда ${\ Displaystyle Y \ sim f_ {Y} (Y, \ varphi)}$

${\ Displaystyle \ Theta Y \ sim f_ {Y} (Y, \ varphi, \ Theta)}$

куда ${\ Displaystyle f_ {Y} (Y, \ varphi, \ Theta) = {\ frac {\ varphi / \ Theta} {[1- (1- \ varphi) Y / \ Theta] ^ {2}}} \ beta \ left ({\ frac {\ varphi Y / \ Theta} {1- (1- \ varphi) Y / \ Theta}}, \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2} \ right), \; \ ; \; 0 \ leq Y \ leq \ Theta}$

${\ displaystyle \ Theta Y}$ тогда образец из ${\ displaystyle {\ frac {\ Theta U} {U + \ varphi V}}}$

Взаимные образцы из бета-дистрибутивов

Хотя это и не соотношения двух переменных, полезны следующие тождества для одной переменной:

Если тогда${\ Displaystyle Х \ сим \ бета (\ альфа, \ бета)}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ frac {X} {1-X}} \ sim \ beta '(\ alpha, \ beta)}$

Если тогда${\ Displaystyle \ mathbf {Y} \ sim \ beta '(\ alpha, \ beta)}$${\ Displaystyle у = {\ гидроразрыва {1} {\ mathbf {Y}}} \ sim \ beta '(\ beta, \ alpha)}$

объединение последних двух уравнений дает

Если тогда .${\ Displaystyle Х \ сим \ бета (\ альфа, \ бета)}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ frac {1} {X}} - 1 \ sim \ beta '(\ beta, \ alpha)}$

Если тогда${\ Displaystyle \ mathbf {Y} \ sim \ beta '(\ alpha, \ beta)}$${\ displaystyle y = {\ frac {\ mathbf {Y}} {1+ \ mathbf {Y}}} \ sim \ beta (\ alpha, \ beta)}$

поскольку ${\ displaystyle {\ frac {1} {1+ \ mathbf {Y}}} = {\ frac {\ mathbf {Y} ^ {- 1}} {\ mathbf {Y} ^ {- 1} +1}} \ сим \ бета (\ бета, \ альфа)}$

тогда

${\ Displaystyle 1+ \ mathbf {Y} \ sim \ {\; \ beta (\ beta, \ alpha) \; \} ^ {- 1}}$, распределение обратных отсчетов.${\ Displaystyle \ бета (\ бета, \ альфа)}$

Если и ${\ Displaystyle U \ sim \ Gamma (\ alpha, 1), V \ sim \ Gamma (\ beta, 1) {\ text {then}} {\ frac {U} {V}} \ sim \ beta '(\ альфа, \ бета)}$

${\ displaystyle {\ frac {U / V} {1 + U / V}} = {\ frac {U} {V + U}} \ sim \ beta (\ alpha, \ beta)}$

Дальнейшие результаты можно найти в статье об обратном распределении .

• Если являются независимыми экспоненциальными случайными величинами со средним значением μ , то X  -  Y - это двойная экспоненциальная случайная величина со средним значением 0 и масштабом  μ .${\ Displaystyle X, \; Y}$

Биномиальное распределение

Этот результат был впервые получен Кацем и др. В 1978 году.

Предположим, что X  ~ Binomial ( n , p ₁ ) и Y  ~ Binomial ( m , p ₂ ) и X , Y независимы. Пусть T = ( X / n ) / ( Y / m ).

Тогда log ( T ) приблизительно нормально распределен со средним логарифмом ( p ₁ / p ₂ ) и дисперсией ((1 / p ₁ ) - 1) / n  + ((1 / p ₂ ) - 1) / m .

Распределение биномиального отношения имеет значение в клинических испытаниях: если распределение T известно, как указано выше, можно оценить вероятность того, что данное соотношение возникнет чисто случайно, то есть ложноположительное испытание. В ряде работ сравнивается надежность различных приближений для биномиального отношения.

Пуассоновские и усеченные распределения Пуассона.

В отношении переменных Пуассона R = X / Y существует проблема, заключающаяся в том, что Y равно нулю с конечной вероятностью, поэтому R не определено. Чтобы противостоять этому, мы рассматриваем усеченное, или цензурированное, отношение R '= X / Y', при котором нулевые выборки Y не учитываются. Более того, во многих медицинских обследованиях существуют систематические проблемы с надежностью нулевых выборок как X, так и Y, и может быть хорошей практикой в ​​любом случае игнорировать нулевые выборки.

Вероятность того, что нулевой образец Пуассона является общим pdf усеченного слева распределения Пуассона, составляет ${\ displaystyle e ^ {- \ lambda}}$

${\ displaystyle {\ tilde {p}} _ {x} (x; \ lambda) = {\ frac {1} {1-e ^ {- \ lambda}}} {\ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {x}} {x!}}, \; \; \; x \ in 1,2,3, \ cdots}$

что в сумме равно единице. Следуя Коэну, для n независимых испытаний многомерный усеченный PDF равен

${\ Displaystyle {\ тильда {p}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}; \ lambda) = {\ frac {1} {(1-e ^ {- \ lambda} ) ^ {n}}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {x_ {i}}} {x_ {i}!}}, \ ; \; \; x_ {i} \ in 1,2,3, \ cdots}$

и вероятность журнала становится

${\ Displaystyle L = \ пер ({\ тильда {p}}) = - п \ пер (1-е ^ {- \ лямбда}) - п \ лямбда + \ пер (\ лямбда) \ сумма _ {1} ^ {n} x_ {i} - \ ln \ prod _ {1} ^ {n} (x_ {i}!), \; \; \; x_ {i} \ in 1,2,3, \ cdots}$

При дифференцировании получаем

${\ displaystyle dL / d \ lambda = {\ frac {-n} {1-e ^ {- \ lambda}}} + {\ frac {1} {\ lambda}} \ sum _ {i = 1} ^ { n} x_ {i}}$

а установка в ноль дает оценку максимального правдоподобия ${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} _ {ML}}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ hat {\ lambda}} _ {ML}} {1-e ^ {- {\ hat {\ lambda}} _ {ML}}}} = {\ frac {1} { n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = {\ bar {x}}}$

Обратите внимание, что таким образом усеченная оценка максимального правдоподобия , хотя и верна как для усеченного, так и для неусеченного распределений, дает усеченное среднее значение, которое сильно смещено по сравнению с неусеченным. Тем не менее , представляется , что является достаточной статистикой для так зависит от данных только через выборочное среднее в предыдущем уравнении , которое согласуется с методологией обычного распределения Пуассона . ${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} \ rightarrow 0 {\ text {then}} {\ bar {x}} \ rightarrow 1}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} _ {ML}}$${\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$

При отсутствии каких-либо решений в закрытой форме следующая приблизительная реверсия для усеченного действительна во всем диапазоне . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle 0 \ leq \ lambda \ leq \ infty; \; 1 \ leq {\ bar {x}} \ leq \ infty}$

${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} = {\ bar {x}} - e ^ {- ({\ bar {x}} - 1)} - 0,07 ({\ bar {x}} - 1) e ^ {- 0,666 ({\ bar {x}} - 1)} + \ epsilon, \; \; \; | \ epsilon | <0,006}$

который сравнивается с необрезанной версией, которая просто . Принятие соотношения является допустимой операцией, даже если может использоваться модель без усечения, а модель с усечением влево. ${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} = {\ bar {x}}}$${\ displaystyle R = {\ hat {\ lambda}} _ {X} / {\ hat {\ lambda}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} _ {Y}}$

Асимптотика больших (и граница Крамера – Рао ) имеет вид ${\ displaystyle n \ lambda {\ text {дисперсия}} {\ hat {\ lambda}}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Var} ({\ hat {\ lambda}}) \ geq - \ left (\ mathbb {E} \ left [{\ frac {\ delta ^ {2} L} {\ delta \ lambda ^ {2}}} \ right] _ {\ lambda = {\ hat {\ lambda}}} \ right) ^ {- 1}}$

в котором замена L дает

${\ displaystyle {\ frac {\ delta ^ {2} L} {\ delta \ lambda ^ {2}}} = - n \ left [{\ frac {\ bar {x}} {\ lambda ^ {2}} } - {\ frac {e ^ {- \ lambda}} {(1-e ^ {- \ lambda}) ^ {2}}} \ right]}$

Затем подставляя из приведенного выше уравнения, мы получаем оценку дисперсии Коэна ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Var} ({\ hat {\ lambda}}) \ geq {\ frac {\ hat {\ lambda}} {n}} {\ frac {(1-e ^ {- {\ hat { \ lambda}}}) ^ {2}} {1 - ({\ hat {\ lambda}} + 1) e ^ {- {\ hat {\ lambda}}}}}}$

Дисперсия точечной оценки среднего , основанная на n попытках, асимптотически уменьшается до нуля при увеличении n до бесконечности. Для небольших он отличается от усеченной дисперсии PDF, например, в Спрингеле, который цитирует дисперсию ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ mathbb {Var} (\ lambda) = {\ frac {\ lambda / n} {1-e ^ {- \ lambda}}} \ left [1 - {\ frac {\ lambda e ^ {- \ лямбда}} {1-е ^ {- \ lambda}}} \ right]}$

для n образцов в усеченном слева PDF-файле, показанном в верхней части этого раздела. Коэн показал, что дисперсия оценки относительно дисперсии pdf`` колеблется от 1 для больших (эффективность 100%) до 2, когда приближается к нулю (эффективность 50%). ${\ displaystyle \ mathbb {Var} ({\ hat {\ lambda}}) / \ mathbb {Var} (\ lambda)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$

Эти оценки среднего и дисперсионного параметров вместе с параллельными оценками для X могут применяться к нормальным или биномиальным приближениям для коэффициента Пуассона. Образцы из испытаний могут не подходить для процесса Пуассона; дальнейшее обсуждение усечения Пуассона проведено Дитцем и Бенингом, и есть запись в Википедии о распределении Пуассона с нулевым усечением .

Двойное распределение Lomax

Это распределение является соотношением двух распределений Лапласа . Пусть Х и Y быть стандартными Лапласа одинаково распределенные случайные величины , и пусть г = Х / Y . Тогда распределение вероятностей z равно

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 (1+ | z |) ^ {2}}}}$

Пусть среднее значение X и Y равно a . Тогда стандартное двойное распределение Ломакса симметрично относительно a .

Это распределение имеет бесконечное среднее значение и дисперсию.

Если Z имеет стандартное двойное распределение Ломакса, то 1 / Z также имеет стандартное двойное распределение Ломакса.

Стандартное распределение Ломакса является унимодальным и имеет более тяжелые хвосты, чем распределение Лапласа.

При 0 < в <1, то ^й момент существует.

${\ Displaystyle E (Z ^ {a}) = {\ frac {\ Gamma (1 + a)} {\ Gamma (1-a)}}}$

где Γ - гамма-функция .

Распределения соотношений в многомерном анализе

Распределения отношений также появляются в многомерном анализе . Если случайные матрицы X и Y подчиняются распределению Уишарта, то отношение детерминантов

${\ Displaystyle \ varphi = | \ mathbf {X} | / | \ mathbf {Y} |}$

пропорциональна произведению независимых F случайных величин. В случае, когда X и Y взяты из независимых стандартизованных распределений Уишарта, то отношение

${\ Displaystyle \ Lambda = {| \ mathbf {X} | / | \ mathbf {X} + \ mathbf {Y} |}}$

имеет лямбда-распределение Уилкса .

Отношения квадратичных форм с матрицами Уишарта

Распределение вероятностей может быть получено из случайных квадратичных форм

${\ displaystyle r = V ^ {T} AV}$

где случайны. Если A является обратной по отношению к другой матрице B, то это в некотором смысле случайное отношение, часто возникающее в задачах оценки методом наименьших квадратов. ${\ displaystyle V {\ text {и / или}} A}$${\ Displaystyle г = V ^ {T} B ^ {- 1} V}$

В гауссовском случае, если A - матрица, полученная из комплексного распределения Уишарта размерности pxp и k степеней свободы с произвольным комплексным вектором с эрмитовым (сопряженным) транспонированием , отношение ${\ displaystyle A \ sim W_ {C} (A_ {0}, k, p)}$${\ displaystyle k \ geq p {\ text {while}} V}$${\ Displaystyle (.) ^ {H}}$

${\ Displaystyle г = к {\ гидроразрыва {V ^ {H} A_ {0} ^ {- 1} V} {V ^ {H} A ^ {- 1} V}}}$

следует гамма-распределению

${\ displaystyle p_ {1} (r) = {\ frac {r ^ {kp} e ^ {- r}} {\ Gamma (k-p + 1)}}, \; \; \; r \ geq 0 }$

Результат возникает при использовании адаптивной винеровской фильтрации методом наименьших квадратов - см. Уравнение (A13) в. Обратите внимание, что в оригинальной статье утверждается, что распространение . ${\ displaystyle p_ {1} (r) = r ^ {kp-1} \; e ^ {- r} \; / \ Gamma (kp)}$

Аналогичным образом , для полного ранга ( с нулевым средним вещественного Уишартом образцов матричных и V случайного вектором независимо от W , отношение ${\ Displaystyle к \ geq p)}$${\ Displaystyle W \ sim W (\ Sigma, k, p)}$

${\ Displaystyle г = {\ гидроразрыва {V ^ {T} \ Sigma ^ {- 1} V} {V ^ {T} W ^ {- 1} V}} \ sim \ chi _ {k-p + 1} ^ {2}}$

Этот результат обычно приписывают Muirhead (1982).

Учитывая комплексную матрицу Уишарта , отношение ${\ displaystyle A \ sim W_ {C} (I, k, p)}$

${\ Displaystyle \ rho = {\ гидроразрыва {(V ^ {H} A ^ {- 1} V) ^ {2}} {V ^ {H} A ^ {- 2} V \ cdot V ^ {H} V }}}$

следует бета-распределению (см. уравнение (47))

${\ displaystyle p_ {2} (\ rho) = (1- \ rho) ^ {p-2} \ rho ^ {k-p + 1} {\ frac {k!} {(k + 1-p)! (п-2)!}}, \; \; \; 0 \ leq \ rho \ leq 1}$

Результат возникает при анализе производительности ограниченной фильтрации методом наименьших квадратов и выводится из более сложного, но в конечном итоге эквивалентного отношения, которое, если тогда ${\ displaystyle A \ sim W_ {C} (A_ {0}, n, p)}$

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {(V ^ {H} A ^ {- 1} V) ^ {2}} {V ^ {H} A ^ {- 1} A_ {0} A ^ {- 1 } V \ cdot V ^ {H} A_ {0} ^ {- 1} V}}}$

В своей простейшей форме, если и тогда отношение квадрата обратного элемента (1,1) к сумме квадратов модулей всех элементов верхней строки имеет распределение ${\ Displaystyle A_ {я, j} \ sim W_ {C} (I, k, p)}$${\ Displaystyle W ^ {я, j} = \ влево (W ^ {- 1} \ вправо) _ {я, j}}$

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {\ left (W ^ {1,1} \ right) ^ {2}} {\ sum _ {j \ in 1..p} | W ^ {1, j} | ^ {2}}} \ sim \ beta (p-1, k-p + 2)}$

Смотрите также

• Отношения между распределениями вероятностей
• Обратное распределение (также известное как обратное распределение)
• Распространение продукции
• Оценка отношения
• Распределение слэша

использованная литература

внешние ссылки

• Распределение соотношений в MathWorld
• Распределение нормального отношения в MathWorld
• Распределения соотношений на MathPages